滬科版數(shù)學(xué)九年級24.5三角形的內(nèi)切圓

三角形的內(nèi)切圓CBADFEOrluzishu1.直線與圓的3種位置關(guān)系:2.有關(guān)切線的內(nèi)容：〔1〕切線的判定〔判定定理〕.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.〔2〕切線的性質(zhì)〔定理〕：圓的切線垂直于過切點的半徑.〔3〕切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.3.主要輔助線：作過切點的半徑(垂直關(guān)系).“題中假設(shè)有圓切線，圓心切點連一連〞

復(fù)習(xí)1、確定一個圓的位置與大小的條件是什么？①.圓心與半徑2、表達角平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。判定：到這個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。3、以下圖中△ABC與圓O的關(guān)系？△ABC是圓O的內(nèi)接三角形；圓O是△ABC的外接圓圓心O點叫△ABC的外心或②.不在同一直線上的三點ABCO回憶

如圖是一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？ABCABC思考：1．如圖，假設(shè)⊙O與∠ABC的兩邊相切，那么圓心O的位置有什么特點？圓心0在∠ABC的平分線上。

2．如圖2，如果⊙O與△ABC的內(nèi)角∠ABC的兩邊相切，且與內(nèi)角∠ACB的兩邊也相切，那么此⊙O的圓心在什么位置？圓心0在∠BAC,∠ABC與∠ACB的三個角的角平分線的交點上。OMABCNO圖2ABC作法：

ABC1、作∠B、∠C的平分線

BM和CN，交點為I。

I2．過點I作ID⊥BC，垂足為D。

3．以I為圓心，ID為半徑作⊙I.⊙I就是所求的圓。

MND你能畫出圓嗎?這樣的圓可以作出幾個?為什么?.∵直線BE和CF只有一個交點I,并且點I到△ABC三邊的距離相等(為什么?),∴因此和△ABC三邊都相切的圓可以作出一個,并且只能作一個.三角形與圓的位置關(guān)系A(chǔ)BCI●┓●EF定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。1.三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；性質(zhì)：CBADFEOr2.三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上；老師提示:多邊形的邊與圓的位置關(guān)系稱為切.多邊形的頂點與圓的位置關(guān)系稱為接名稱確定方法圖形性質(zhì)

內(nèi)心〔三角形內(nèi)切圓的圓心〕三角形三邊中垂線的交點三角形三條角平分線的交點(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．〔1〕到三邊的距離相等；〔2〕OA、OB、OC分別平分三個內(nèi)角；〔3〕內(nèi)心在三角形內(nèi)部．

外心(三角形外接圓的圓心)1、如圖1，△ABC是⊙O的

三角形.⊙O是△ABC的

圓，點O叫△ABC的

，它是三角形

的交點.外接內(nèi)接外心三邊中垂線3、如圖2，△DEF是⊙I的

三角形，⊙I是△DEF的

圓，點I是△DEF的

心，它是三角形_______

交點。2、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做

，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的

，這個三角形叫做

.ABCO．圖1IDEF．圖2三角形的內(nèi)切圓內(nèi)心圓的外切三角形外切內(nèi)切內(nèi)角平分線穩(wěn)固概念：1、判斷題：

(1)三角形內(nèi)心到三角形各頂點的距離相等.

(2)三角形的外心到三角形各邊的距離相等.

(3)三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部.

(4)菱形一定有內(nèi)切圓.

(5)矩形一定有內(nèi)切圓.圓內(nèi)接平行四邊形是矩形圓外切平行四邊形是_______DACBD·O·ABCDO菱形例2：如圖，在△ABC中，∠ABC=43°，∠ACB＝61°，點I是內(nèi)心，求∠BIC的度數(shù)。

IA243BC1〔1〕假設(shè)∠A=80°，那么∠BOC=度。13020如圖，在△ABC中，點O是內(nèi)心，ABCO)1(32)4(〔2〕假設(shè)∠BOC=100°，那么∠A=度。〔3〕試探索：∠A與∠BOC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。

∠BOC=90o+∠A12老師提示：等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓是兩個同心圓。CABRrOD（A）1∶∶

（B）1∶2∶

（C）1∶∶2

（D）1∶2∶3

1、等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓的半徑和高的比為〔〕D〔A〕梯形〔B〕菱形〔C〕矩形〔D〕平行四邊形2、以下圖形中，一定有內(nèi)切圓的四邊形是〔〕B：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，求AF、BD和CE的長。CBAEDFOr切線垂直角平分線等角切線長等線段·BDEFOCA如圖，△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,△ABC的周長為l,求△ABC的面積S.解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，面積為S，那么△ABC的內(nèi)切圓的半徑r＝結(jié)論2Sa＋b＋c·ABCEDFO如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓.求：Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑r.設(shè)AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O與Rt△ABC的三邊都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD則有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF那么OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2結(jié)論設(shè)Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑

r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c·ABCEDFO如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓.〔1〕求Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑.〔2〕假設(shè)移動點O的位置，使⊙O保持與△ABC的邊AC、BC都相切，求⊙O的半徑r的取值范圍。設(shè)AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O與Rt△ABC的三邊都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD則有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：〔1〕設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF那么OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由可得四邊形ODCE為正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為1?！?〕如下圖，設(shè)與BC、AC相切的最大圓與BC、AC的切點分別為B、D,連結(jié)OB、OD,那么四邊形BODC為正方形?！BODC∴OB＝BC＝3∴半徑r的取值范圍為0＜r≤3點評幾何問題代數(shù)化是解決幾何問題的一種重要方法。小結(jié)：三角形的內(nèi)切圓〔1〕三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心〔2〕三角形的內(nèi)心是三角形各角平分線的交點〔3〕三角形內(nèi)心到三邊的距離相等〔4〕三角形面積〔C為三角形周長，r為內(nèi)切圓半徑〕(5)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為r

與

各邊長a、b、c的關(guān)系是如圖，PA與PB分別切⊙O于A、B兩點，C是上任意一點，過C作⊙O的切線交PA及PB于