八年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強化題型）（北師大版）：實數(shù)的有理化（強化）（原卷版）

專題2.3實數(shù)的有理化【例題精講】在進(jìn)行二次根式簡化時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可將其進(jìn)一步簡化：；（一；（二；（三以上這種化簡的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡：；（四（1）化簡（2）請用不同的方法化簡．①參照（三式得②步驟（四式得（3）化簡：．閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個數(shù)，，使且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡．解：，．請你仿照上面的方法，化簡下列各式：（1）；（2）．【題組訓(xùn)練】1．閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：．（1）請用其中一種方法化簡；（2）化簡：．2．閱讀下列解題過程：；．請回答下列問題：（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出的結(jié)果為；（2）利用上面提供的解法，請化簡：．3．閱讀下面計算過程：；請解決下列問題（1）根據(jù)上面的規(guī)律，請直接寫出．（2）利用上面的解法，請化簡：．（3）你能根據(jù)上面的知識化簡嗎？若能，請寫出化簡過程．4．閱讀下面問題：；；．試求：（1）的值；（2）的值；（3）為正整數(shù)）的值．5．觀察下列分母有理化的計算：，，，，在計算結(jié)果中找出規(guī)律，用含有字母表示大于0的自然數(shù)）表示；再利用這一規(guī)律計算以下列式子的值：的值．6．觀察下列等式：①；②；③；回答下列問題：（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡：；（2）計算：．7．閱讀下列解題過程：；．請回答下列問題：（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出式子；（2）利用上面所提供的解法，請化簡：的值．8．我們知道形如的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要先把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)，如：，這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各題．（1）的有理化因式是，的有理化因式是；（2）化簡：；（3）比較的大小，說明理由．9．閱讀下面問題：；；．試求：（1）的值；（2）為正整數(shù)）的值．（3）計算：．10．閱讀理解材料：把分母中的根號去掉叫做分母有理化，例如：①；②等運算都是分母有理化．根據(jù)上述材料，（1）化簡：（2）計算：（3）．11．閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；（一（二（三以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．化簡：．12．在進(jìn)行二次根式化簡時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可以將其進(jìn)一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：（1）請用不同的方法化簡；（2）化簡：．13．（一閱讀下面內(nèi)容：；；．（二計算：（1）；（2）為正整數(shù)）．（3）．15．閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．化簡：．．．請你仿照上例將下列各式化簡：?）；（2）．16．有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)、，使且，則將將變成，即變成開方，從而使得化簡．例如，，．請仿照上例解下列問題：（1）；（2）．17．先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去一層根號．例如：解決問題：①在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：②根據(jù)上述思路，試將予以化簡．18．一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣可以把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得：，．（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）化簡20．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）若，且、、均為正整數(shù)，求的值；（3）化簡：．21．我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個數(shù)的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：，．你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法化簡：（1）（2）（3）．22．同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式，你一定熟練掌握了吧！現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的非負(fù)數(shù)（以及都可以看作是一個數(shù)的平方，如，，下面我們觀察：反之，求：（1）；（2）；（3）若，則、與、的關(guān)系是什么？并說明理由．23．有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)、，使且，則將變成，即變成，從而使得以化簡．例如，因為，所以．請仿照上面的例子化簡下列根式：（1）；（2）．24．先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式