三角函數(shù)知識梳理清單高三數(shù)學一輪復(fù)習

三角函數(shù)知識梳理1.角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。按方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，稱它形成一個零角。2.象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，稱作軸線角。(1)四個象限內(nèi)的角的集合終邊在第一象限：終邊在第二象限：終邊在第三象限：終邊在第四象限：(2)若為第一象限的角，則所在象限為若為第三象限的角，則所在象限為3.終邊相同的角的表示：（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上).（3）終邊與終邊關(guān)于軸對稱.（4）終邊與終邊關(guān)于軸對稱.（5）終邊與終邊關(guān)于原點對稱.（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標軸上的角可表示為：.4.弧度制(1)1弧度定義：，角的弧度數(shù)的絕對值=弧長公式：，扇形面積公式：(2)換算關(guān)系:1=rad，1rad=.5．三角函數(shù)定義：⑴設(shè)α是一個任意角，終邊與單位圓交于點P(x,y)，那么y叫作α的正弦，記作sinα；x叫作α的余弦，記作cosα；叫作α的正切，記作tanα.⑵已知角終邊上一點，且，則有三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.(3)一些特殊角的三角函數(shù)：6．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：①平方關(guān)系；②商式關(guān)系.關(guān)于公式的深化1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，=3\*GB3③一些常用特殊三角函數(shù)值：勾股關(guān)系勾股關(guān)系7.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα余弦cosα正切tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限六組誘導(dǎo)公式統(tǒng)一為“”，記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限.誘導(dǎo)公式的主要作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為~角的三角函數(shù)。8.兩角和與差的正弦、余弦、正切：①；②；③.9.二倍角公式：①；變形sinαcosα=cosα=sinα=②cos2α===；.③變形：升冪1+cos2α=1－cos2α=降冪擴角sin2α=cos2α=tanα+tanβ=tanα－tanβ=半角公式:，萬能公式：，，=3\*GB3③重要結(jié)論(1)sinα±cosα＝(2)(sinα±cosα)2＝(3)＝(4)三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇保坏谌^察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點。10.輔助角公式：=.(其中輔助角所在象限由點所在的象限決定,).11.物理意義：物理簡諧運動，其中.振幅為A，表示物體離開平衡位置的最大距離；周期為，表示物體往返運動一次所需的時間；頻率為，表示物體在單位時間內(nèi)往返運動的次數(shù)；為相位；為初相.12．三角函數(shù)圖象與性質(zhì)：（定義域、值域、最值、奇偶性、周期性、單調(diào)性）函數(shù)圖象作圖：五點法作圖：五點法作圖：三點二線定義域（－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域［－1，1］［－1，1］最值ymax=1；當ymin=1ymax=1；當ymin=1無奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心對稱中心周期2π2ππ單調(diào)性（注：表中k均為整數(shù)）13.正弦型函數(shù)的性質(zhì)及研究思路：①最小正周期，值域為.②五點法圖：把“”看成一個整體，取時的五個自變量值，相應(yīng)的函數(shù)值為，描出五個關(guān)鍵點，得到一個周期內(nèi)的圖象.③三角函數(shù)圖象變換路線：.或：.④單調(diào)性：的增區(qū)間，把“”代入到增區(qū)間，即求解.注意為正。⑤對稱軸與對稱中心:由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對稱中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)可得對稱軸.=6\*GB3⑥奇偶性:φ＝時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù).=7\*GB3⑦整體思想：把“”看成一個整體，代入與的性質(zhì)中進行求解.這種整體思想的運用，主要體現(xiàn)在探討單調(diào)性與對稱性時，或取最大值與最小值時的自變量取值.14．正、余弦定理：正弦定理、余弦定理溝通了角與邊的關(guān)系，可使邊轉(zhuǎn)化為角，也可使角化為邊。⑴正弦定理：（是圓直徑 ）定理變形：①；②；③；④。⑵余弦定理：，，定理變形：①，，。②若a2＞b2+c2則△ABC為三角形；若a2=b2+c2則△ABC為直角三角形；若a2＜b2+c2則△ABC的形狀為。③射影定理：；；。(3)在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAa>ba≤b解的個數(shù)一解兩解一解一解無解15.三角形面積公式：①（分別表示a、b、c邊上的高）.②=2R2sinA·sinB·sinC=.③，.④（r為內(nèi)切圓半徑）.16.中,易得①,,.②,.③.④銳角中,,,,類比得鈍角結(jié)論.⑤.=6