1.3探索三角形全等的條件（7）（分層練習(xí)）解析版

1.3探索三角形全等的條件（7）分層練習(xí)1．作已知角的平分線是根據(jù)三角形的全等判定（）作的．A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)作圖過程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【詳解】如圖所示，作已知∠AOB的平分線．①以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，交OA，OB于點(diǎn)D，E．②分別以D，E為圓心，以大于12DE長為半徑弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C．作射線OC．則OC就是∠AOB故用到三角形的全等判定的SSS法．故選D．2.過點(diǎn)P畫AB的垂線，三角尺的放法正確的是(

)A. B.C. D.【答案】C

【分析】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．根據(jù)垂線的定義判斷即可．【詳解】解：根據(jù)垂線的定義，選項C符合題意．

故選：C．3.小米在用尺規(guī)作圖作△ABC邊AC上的高BH，作法如下：

①分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧交于F；

②作射線BF，交邊AC于點(diǎn)H；

③以B為圓心，BK長為半徑作弧，交直線AC于點(diǎn)D和E；

④取一點(diǎn)K，使K和B在AC的兩側(cè)；

所以，BH就是所求作的高．

其中順序正確的作圖步驟是(

)A.①②③④ B.④③②① C.②④③① D.④③①②【答案】D

【分析】此題主要考查了尺規(guī)基本作圖，關(guān)鍵是掌握過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的作法．

根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法作BH⊥AC即可．

【詳解】

解：用尺規(guī)作圖作△ABC邊AC上的高BH，作法如下：

取一點(diǎn)K，使K和B在AC的兩側(cè)；

以B為圓心，BK長為半徑作弧，交直線AC于點(diǎn)D和E；

分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧交于F；

作射線BF，交邊AC于點(diǎn)H；

所以，BH就是所求作的高．

故正確的作圖步驟是④③①②．

故選：D4．如圖，已知∠AOB（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于點(diǎn)E（2）分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于12DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠（3）畫射線OC根據(jù)上述作圖步驟，下列結(jié)論正確的有（

）個①射線OC是∠AOB的平分線；②點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于直線DE對稱；③射線OC垂直平分線段DE；④OD=DC.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意可知OD=OE,CD=CE，OC=OC，可通過證明三角形全等或線段垂直平分線的判定進(jìn)行判斷.【詳解】解:連接CD、CE，由作圖步驟可知OD=OE,CD=CE，又∵OC=OC，∴ΔODC?ΔOEC，∴∠DOC=∠EOC，∴射線連接DE,因?yàn)棣DF,ΔCDF不全等，所以點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于直線DE不對稱，OD≠DC②④錯誤；∵OD=OE,CD=CE,∴射線OC垂直平分線段DE，③正確所以正確的是①③，有2個.故選B5．圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關(guān)于四條?、?、②、③、④有四種說法：（1）弧①是以O(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（2）弧②是以P為圓心，任意長為半徑所畫的?。唬?）?、凼且訟為圓心，任意長為半徑所畫的?。唬?）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的??；其中正確說法的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)基本作圖的方法即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）?、偈且設(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確；（2）?、谑且訮為圓心，大于點(diǎn)P到直線的距離為半徑所畫的弧，錯誤；（3）?、凼且訟為圓心，大于12AB（4）?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確．故選C．6.如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯誤的是(

)A.DB=DE

B.AB=AE

C.∠EDC=∠BAC

D.∠DAC=∠C【答案】D

【分析】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

證明△ADE≌△ADB即可判斷A，B正確，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，證明∠EDC=∠BAC即可．

【詳解】解：由作圖可知，∠DAE=∠DAB，∠DEA=∠B=90°，

在△ADE和△ADB中，

∠DAE=∠DAB∠DEA=∠BAD=AD,

∴△ADE≌△ADB(AAS)，

∴DB=DE，AB=AE，

∵∠AED+∠B=180°，

∴∠BAC+∠BDE=180°，

∵∠EDC+∠BDE=180°，

∴∠EDC=∠BAC，

故A，B，C正確，

沒有辦法證明∠DAC=∠C，故D錯誤；

7．如圖，已知∠AOB①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12線段MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)則射線OC是∠AOB根據(jù)上面的作法，完成以下問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，作出射線OC（請保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過程．（注：括號里填寫推理的依據(jù)）．連接MC，．在△OCM和△∵OM=ON,∴△OCM≌△OCN∴∠AOC=________（

即OC平分∠AOB【答案】（1）見解析；（2）SSS，∠BOC【分析】（1）根據(jù)題目中的作圖步驟畫圖即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)，補(bǔ)充完整即可．【詳解】（1）如圖所示，射線OC即為所求；（2）連接MC，NC．在△OCM和△∵OM=ON,∴△OCM≌△OCN（∴∠AOC=∠BOC（即OC平分∠AOB8．已知：直線l和l外一點(diǎn)P．求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P．作法：①在直線l上任取兩點(diǎn)A、B；②分別以點(diǎn)A、B為圓心，AP，BP長為半徑作弧，在直線l下方兩弧交于點(diǎn)C；③作直線PC．所以直線PC為所求作的垂線．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接AP、AC、BP、BC．∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，∴△APB≌△ACB（

）（填推理依據(jù)）．∴∠PAB＝∠CAB，∴PC⊥AB（

）（填推理依據(jù)）．【答案】（1）見解析；（2）SSS，等腰三角形三線合一【分析】此題考查作圖問題，根據(jù)題意按照作圖步驟一步步進(jìn)行，注意保留作圖痕跡．【詳解】解：（1）（2）SSS，等腰三角形三線合一9.在下面的三角形中(可以使用刻度尺，量角器，三角尺)

(1)畫線段BC的中點(diǎn)D，并連接AD；

(2)過點(diǎn)B畫AC的垂線，垂足為點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F；

(3)延長AD至點(diǎn)M，使DM=AD，連接BM；

(4)圖中表示點(diǎn)A到BE的距離的線段是：_______；(5)∠ADC的鄰補(bǔ)角是：________________．【答案】(4)AE

(5)∠ADB和∠CDM

【分析】此題主要考查了基本作圖，明確點(diǎn)到直線的距離以及鄰補(bǔ)角的概念是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：(1)如圖所示，

(1)畫線段BC的中點(diǎn)D，并連接AD；

(2)過點(diǎn)B畫AC的垂線，垂足為點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F；

(3)延長AD至點(diǎn)M，使DM=AD，連接BM；

(4)表示點(diǎn)A到BC的距離的線段是AE；

(5)∠ADC的鄰補(bǔ)角是∠ADB和∠CDM．

故答案為：(4)AE

(5)∠ADB和∠CDM．

10．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們探究了角平分線的作法．下面給出三個同學(xué)的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點(diǎn)O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線．請根據(jù)以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據(jù)是．(2)為說明小明作法是正確的，請幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據(jù))【答案】（1）等腰三角形三線合一定理；（2）CM=CN，邊邊邊；（3）正確，證明見詳解．【分析】（1）利用等腰三角形三線合一定理，即可得到結(jié)論成立；（2）利用SSS，即可證明△OMC≌△ONC，補(bǔ)全條件即可；【詳解】解：（1）∵OM=ON，∴△OMN是等腰三角形，∵OP⊥MN，∴OP是底邊上的高，也是底邊上的中線，也是∠MON的角平分線；故答案為：等腰三角形三線合一定理；（2）證明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，∴△OMC≌△ONC（邊邊邊）；∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB；故答案為：CM=CN，邊邊邊；11.如圖，直線AB，點(diǎn)P為直線AB外一點(diǎn)．

(1)過點(diǎn)P作AB的垂線；(用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡)(2)你能證明上述作圖的合理性嗎？(畫出圖形，簡要說明畫法，并說明理由)(3)如圖，已知四邊形ABCD，滿足AB=AD，CB=CD，若AC=8，BD=6，則四邊形ABCD的面積為________．【分析】此題(1)主要考查了過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．

(2)考查全等三角形判定方法，利用SSS，SAS判定．

(3)考查三角形面積問題，可以考慮S四邊形ABCD=S(1)如圖PQ即為所求

(2)如圖，連接PC、PD、QC、QD，直線PQ交AB于點(diǎn)O，

∵在△PCQ和△PDQ中，PC=PD∴△PCQ≌△PDQ(SSS)∴∠CPQ=∠DPQ，

∴180°-∠CPQ=180°-∠DPQ，

即∠CPO=∠DPO，∵在△PCO和△PDO中PC=PD∴△PCO≌△PDO(SAS)∴∠POC=∠POD又∵∠POC+∠POD=180°∴∠POC=90°∴PQ⊥AB(3)解：設(shè)BD與AC交于點(diǎn)E，

∵AB=AD，CB=CD，

由(2)知，AC垂直平分BD，

∴S四邊形ABCD=S△ABD1.如圖，已知△A?BC中，AB=AC.

(1)求做：△ABC的高CD和BE.，要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法(2)判斷線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.，【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖和三角形全等的判定：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

(1)利用基本作圖(過一點(diǎn)作已知直線的垂線)作CD⊥AB于D，BE⊥AC于E；

(2)利用“AAS”證明△ADC≌△AEB即得到BE=CD．【詳解】解：(1)如圖，

(2)CD=BE.理由如下：

∵CD和BE為高，

∴∠ADC=∠AEB=90°，

在△ADC和△AEB中

∠A=∠AADC=∠AEBAC=AB，

∴△ADC≌△AEB，

∴BE=CD．2.如圖，點(diǎn)P是∠ABC內(nèi)一點(diǎn)．

(1)畫圖：①過點(diǎn)P畫BC的垂線，垂足為D

②過點(diǎn)P畫BC的平行線交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P畫AB的平行線交BC于點(diǎn)F?(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)∠EPF與∠B的數(shù)量關(guān)系并說明理由?！痉治觥恐饕疾榱嘶咀鲌D中的垂線和平行線的作法，平行線的性質(zhì)．要求能夠熟練的運(yùn)用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．(1)①直接利用尺規(guī)過點(diǎn)P作PD⊥BC的垂線即可；②利用尺規(guī)通過平移分別作BC，AB的平行線即可；(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換進(jìn)行解答即可．【詳解】解：(1)如圖所示：①PD即為所求；②PE，PF即為所求．

(2)∠EPF=∠B．理由：∵PE//BC(已知)，∴∠AEP=∠B(兩直線平行．同位角相等)，

又∵PF//AB(已知)，∴∠EPF=∠AEP(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，

∴∠EPF=∠B(等量代換)．如圖，在△ABC中，小剛同學(xué)按如下步驟作圖：(1)以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E(2)分別以點(diǎn)C．E為圓心，大于12CE的長為半徑畫弧，兩弧在△ABC內(nèi)相交于點(diǎn)(3)連接BP,并延長交AC于點(diǎn)D(4)連接DE根據(jù)以上作圖步驟，有下列結(jié)論：①BD平分∠ABC；②AD+DE=AC；③點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于直線CE對稱；④△BCD與△BED關(guān)于直線BD對稱.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)作法（1）（2）可證△BCP≌△BEP，可判斷BD是∠ABC的平分線，可證①②