3.1勾股定理（2）（分層練習(xí)）解析版

3.1勾股定理（2）分層練習(xí)考查題型一驗(yàn)證勾股定理1．（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用以下圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證明”．實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．統(tǒng)計(jì)思想 B．分類思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想【答案】C【解析】解：根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，如勾股定理的推導(dǎo)是根據(jù)圖形面積轉(zhuǎn)換得以證明的，由圖形到數(shù)學(xué)規(guī)律的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的思想為：數(shù)形結(jié)合思想，故選：C．2．（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】解:A、兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積與一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積和等于上底為a,下第為b,高為(a+b)的梯形面積，故12ab+12B、以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長(zhǎng)為c的小正方形面積和等于以a+b的和為邊正方形面積，故4×12ab+cC、以a與（a+b）為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長(zhǎng)為b的小正方形面積和等于以c為邊正方形面積，4×12aa+bD、四個(gè)小圖形面積和等于大正方形面積，2ab+a2故選：D．3．（2022·福建龍巖·?？家荒＃┯^察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a>b，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（

）A．a(chǎn)(a-b)=a2-abC．(a-b)2=a【答案】C【解析】標(biāo)記如下：∵S正方形∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4×＝a2﹣2ab+b2．故選：C．4．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若大正方形的面積為25，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和為7，求中間小正方形的邊長(zhǎng)．

【答案】1【解析】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊中較長(zhǎng)邊為a，較短邊為b，∴大正方形的邊長(zhǎng)為a2+b由題意得：a2∴2ab=a+b∴a-b2∴a-b=1,∴小正方形的邊長(zhǎng)為：4-3=1．5．（2020秋·四川成都·八年級(jí)成都七中校考開(kāi)學(xué)考試）勾股定理是畢達(dá)哥拉斯定理的中國(guó)稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國(guó)是發(fā)現(xiàn)、研究和運(yùn)用勾股定理最古老的國(guó)家之一，我國(guó)古稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因而將這條定理稱為勾股定理．請(qǐng)你從以下圖形中，任意選擇一個(gè)來(lái)證明這個(gè)定理．【解析】方法一：由（1）圖可知：S正又∵S正∴a2∴a2+方法二：由（2）圖可知：S正又∵S=2ab+a∴a2+方法三：由（3）圖可知：S=1又∵S梯形∴12∴a26．（2022·四川涼山·四川省涼山州民族中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)；當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．證明：連接DB，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延線于點(diǎn)F，則DF＝EC＝b﹣a．∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+1又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝12c2+12a（b﹣∴12b2+12ab＝12c2+12a（∴a2+b2＝c2請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．【解析】證明：如圖，連接BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，可得BF=b-a∵S四邊形ADEB=S∵∠DAB=90°,∴S四邊形ADEB=∴∴考查題型二運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題1．（2019秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和5，這第三邊長(zhǎng)的平方是（

）A．16 B．16或34 C．16或31 D．34【答案】B【解析】當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r(shí)，則可設(shè)第三邊為斜邊值x，由勾股定理得：x2當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，則可設(shè)第三邊直角邊值x，由勾股定理得：x2故答案為：B．2．（2019·山東·?？级＃┰赗t△ABC中，斜邊BC=2，則AB2A．4 B．6 C．8 D．無(wú)法計(jì)算【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜邊為BC∴BC2∵BC=2，∴4=AB∴AB故選C．3．（2019·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面積為．【答案】3．【詳解】解：由勾股定理得，BC=E∴正方形ABCD的面積=BC故答案為3．4．（2021·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，等腰三角形ΔABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5?cm，BC=6?cm，則AD=【答案】4【解析】∵等腰三角形ΔABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，∴AD是△ABC中BC邊上的中線，∴BD=DC，∵BC=6?cm∴DB=3cm，∵AB=5?cm∴AD故答案為4.5．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，一架梯子AB長(zhǎng)5m，斜靠在一面豎直的墻上．若要使梯子頂端離地面的豎直高度AC為4.8m，求此時(shí)梯子底端離墻的距離BC．【解析】解：∵△ABC是直角三角形，∴BC=答：此時(shí)梯子底端離墻的距離為1.4m．6．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC=20，BC=15．求CD【答案】CD=12，AD=16【解析】∵∠ACB=90°，AC=20，∴AB=A根據(jù)直角三角形的面積公式，得CD=AC?BC在Rt△ACD中，AD=1．（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4.A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【解析】解：過(guò)F作AM的垂線交AM于D，連接PF，設(shè)CP和AF的交點(diǎn)為T，EF和CM的交點(diǎn)為K，可得Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2=SRt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可進(jìn)一步證得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3=S△FPT，又可證得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC．易證Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4=SRt△ABC，∴S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC=SRt△ABC×3=4×3÷2×3=18．故選：B．2.（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）閱讀理解：我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長(zhǎng)為c的大正方形中放四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c）．(1)請(qǐng)根據(jù)“趙爽弦圖”寫(xiě)出勾股定理的推理過(guò)程；探索研究：(2)小亮將“弦圖”中的2個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，得到圖2，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理；問(wèn)題解決：(3)如圖2，若a=6，b=8，此時(shí)空白部分的面積為_(kāi)_________；(4)如圖3，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，OC=3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．【解析】（1）證明：由圖可知，每個(gè)直角三角形的面積為S△空白小正方形的面積為S小正方形整個(gè)圍成的大正方形的面積為S大正方形∵S大正方形=S故c2（2）如下圖所