專題12 圖形類規(guī)律探索（原卷版）

專題12圖形類規(guī)律探索1．用正方形的白色水泥磚和灰色水泥磚按如圖所示的方式鋪人行道(1)第①個(gè)圖中有灰色水泥磚塊，第②個(gè)圖中有灰色水泥磚塊，第③個(gè)圖中有灰色水泥磚塊；(2)依次鋪下去，第n個(gè)圖中有灰色水泥磚塊．2．下面是一組有規(guī)律的圖案：（1）第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，…，第10個(gè)圖案由個(gè)基礎(chǔ)圖形組成．（2）第n個(gè)圖案由個(gè)基礎(chǔ)圖形組成（用含n的代數(shù)式表示）．（3）在上面的圖案中，能否找得到一個(gè)由2020個(gè)基礎(chǔ)圖形組成的圖案？如果能，說明是第幾個(gè)圖案；如果不能，說明理由．3．探究規(guī)律：將棋子按下面的方式擺出正方形．（1）按圖示規(guī)律，第（6）圖需要_______個(gè)棋子；（2）按照這種方式擺下去，擺第（為正整數(shù)）個(gè)正方形需要_______個(gè)棋子；（3）按照這種方式擺下去，擺第個(gè)正方形需要多少個(gè)棋子？4．如圖，搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒．（1）若搭5個(gè)這樣的正方形，這需要根火柴棒；（2）若搭n個(gè)這樣的正方形，這需要根火柴棒；（3）若現(xiàn)在有2021根火柴棒，要搭701個(gè)這樣的正方形，還需要火柴棒多少根？5．用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）第6個(gè)圖形有顆黑色棋子；

（2）寫出第n個(gè)圖形有顆黑色棋子；（3）是否存在某個(gè)圖形有2012顆黑色棋子？若存在，求出是第幾個(gè)圖形；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．如圖，在邊長都為a的正方形內(nèi)分別排列著一些大小相等的圓．（1）根據(jù)圖中的規(guī)律，第4個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是，第n個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是．（2）如果把正方形內(nèi)除去圓的部分都涂上陰影．①用含a的代數(shù)式分別表示第1個(gè)正方形中和第3個(gè)正方形中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）②若a＝10，請(qǐng)直接寫出第2014個(gè)正方形中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）7．如圖，是用長度相同的小木棒按一定規(guī)律搭成的圖形．圖①用5根小木棒搭了一個(gè)五邊形；圖②用9根小木棒搭了兩個(gè)五邊形；圖③用13根小木棒搭了三個(gè)五邊形；……（1）按此規(guī)律搭下去，搭第n個(gè)圖形用了根小木棒；（直接寫出結(jié)果）（2）是否存在某個(gè)圖恰好用了2019根小木棒？如果存在，試求是第幾個(gè)圖形？如果不存在，試求用2019根小木棒按圖示規(guī)律最多能搭多少個(gè)五邊形？還剩余多少根小木棒？8．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出2個(gè)“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個(gè)“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個(gè)“樹枝”，照此規(guī)律，圖（7）比圖（6）多出_____個(gè)“樹枝”．9．如圖，三角形ABC內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C把原三角形分割成一些小的三角形（互相不重疊）：填寫下表：（2）原三角形能否被分割成2013個(gè)小三角形？若能，求此時(shí)三角形ABC內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn)？若不能，請(qǐng)說明理由．10．把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形…按此規(guī)律排列下去，解答下列問題：(1)第④個(gè)圖案中有______個(gè)黑色三角形．(2)求第?個(gè)圖案中有多少個(gè)黑色三角形？（用含n的代數(shù)式表示）(3)求第100個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)．11．【教材回顧】課本88頁，有這樣一段文字：人們通過長期觀察發(fā)現(xiàn)，如果早晨天空中有棉絮狀的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常用這樣的方法探究規(guī)律．【數(shù)學(xué)問題】三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，如果在它的內(nèi)部再畫n個(gè)點(diǎn)，并以這（n+3）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，那么最多可以剪得多少個(gè)這樣的三角形？【問題探究】為了解決這個(gè)問題，我們可以從n＝1，2，3等具體的、簡單的情形入手，搜索最多可以剪得的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)圖形最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)1325374……a………………【問題解決】（1）表格中的a＝；（2）你發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律是：三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多剪得的三角形增加個(gè)；（3）猜想：當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得個(gè)三角形；像這樣通過對(duì)簡單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納．【類比應(yīng)用】（1）四邊形有4個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部畫1個(gè)點(diǎn)，把四邊形剪成若干個(gè)小三角形，最多可以剪得個(gè)小三角形；（2）四邊形內(nèi)部每增加1個(gè)點(diǎn)，最多剪得的三角形增加個(gè)；（3）當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得個(gè)三角形；（4）m邊形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多可以剪得個(gè)三角形．12．圖1是一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖2；再分別連接圖2中間小三角形的中點(diǎn)得到圖3．（1）圖2有______個(gè)三角形；圖3中有_______個(gè)三角形（包含原三角形）（2）按上面方法繼續(xù)下去，第n個(gè)圖中有_______個(gè)三角形．（用n的代數(shù)式表示結(jié)論）（3）第100個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形？13．如圖，中間用相同的白色正方形瓷磚，四周用相同的黑色長方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察圖形并解決下列問題．（1）在圖4中，黑色瓷磚有塊，白色瓷磚有塊；（2）已知正方形白色瓷磚邊長為1米，長方形黑色瓷磚長為1米，寬為0.5米．現(xiàn)準(zhǔn)備按照此圖案進(jìn)行裝修，瓷磚無需切割，恰好能完成鋪設(shè)．已知白色瓷磚每塊100元，黑色瓷磚每塊50元，貼瓷磚的費(fèi)用每平方米15元．請(qǐng)回答下列問題：①鋪設(shè)圖2需要的總費(fèi)用為元；②鋪設(shè)圖n需要的總費(fèi)用為多少元？（用含n的代數(shù)式表示）14．用黑白兩種顏色的瓷磚按下圖所示的方式鋪設(shè)地面，第1層為1塊白色瓷磚，第2層為3塊黑色瓷磚，第3層為5塊白色瓷磚……（1）第7層共有塊瓷磚，第n（n為正整數(shù)）層共有塊瓷磚；（2）若按圖示方式鋪設(shè)n（n為正整數(shù)）層瓷磚，求黑白兩種顏色瓷磚的數(shù)量差．15．將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）填寫下表：圖形序號(hào)12345小圓個(gè)數(shù)61016（2）照這樣的規(guī)律擺放，第99個(gè)這樣的圖形需要_______個(gè)小圓；（3）第n個(gè)這樣的圖形需要_______個(gè)小圓．16．用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片，按下圖方式拼正方形．第（1）個(gè)圖形中有1個(gè)正方形；第（2）個(gè)圖形有1+3＝4個(gè)小正方形；第（3）個(gè)圖形有1+3+5＝9個(gè)小正方形；第（4）個(gè)圖形有1+3+5+7＝16小正方形；……（1）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想：1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝（用含n的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：①1+3+5+7+…+79；②81+83+85+…+399．17．觀察圖示，解答問題．（1）由上而下第7行，白球有______個(gè)，黑球有______個(gè)；（2）若第n（n為正整數(shù)