專題22.4 解題技巧專題：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式之六大模型（原卷版）

專題22.4解題技巧專題：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式之六大模型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【模型一一點(diǎn)一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】 1【模型二兩點(diǎn)兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】 5【模型三三點(diǎn)三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】 10【模型四一點(diǎn)一對(duì)稱軸求二次函數(shù)的解析式】 17【模型五已知頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式】 28【模型六已知交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式】 33【典型例題】【模型一一點(diǎn)一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)將該拋物線向下平移n個(gè)單位，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求n的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求b的值；(2)求拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式．2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)拋物線與軸的另一交點(diǎn)為，將線段向上平移個(gè)單位，平移后的線段與拋物線分別交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），若，求的值．3．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，拋物線，C為y軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作軸交拋物線于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），且，．

(1)求該拋物線的對(duì)稱軸及函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)，最大值與最小值的差是9，求t的取值范圍．【模型二兩點(diǎn)兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．其中．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)P在二次函數(shù)圖象上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，，，P為的中點(diǎn)，連接，則線段的長(zhǎng)是______．3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)結(jié)合函數(shù)圖象當(dāng)時(shí)，求自變量的取值范圍；(3)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)且到軸距離小于，結(jié)合函數(shù)的圖象求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．【模型三三點(diǎn)三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過（－1，0），（0，2），（1，0）三點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是______．(3)將該函數(shù)的圖像沿直線x＝1翻折，直接寫出翻折后的圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，、，、，．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)為何值時(shí)，？2．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，）、（，）、（，），且與軸交于、兩點(diǎn)．(1)試確定該二次函數(shù)的解析式；(2)判定點(diǎn)，是否在這個(gè)圖象上，并說明理由；(3)求的面積．3．（2023秋·江西宜春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)經(jīng)過，，三個(gè)點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若在該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上有個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，求當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為何值時(shí)，的周長(zhǎng)最?。?．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【模型四一點(diǎn)一對(duì)稱軸求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求a的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江佳木斯·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在拋物線上，若直線平分的面積，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）已知拋物線交軸于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．點(diǎn)A，B為坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)，其坐標(biāo)為，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接，若拋物線向下平移個(gè)單位時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍．3．（2023·青海海東·統(tǒng)考二模）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)，作軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段長(zhǎng)度的最大值．4．（2023·河南鶴壁·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集；(3)已知點(diǎn)，，連接，若拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．5．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為，直線的解析式為．

(1)當(dāng)直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的值；(2)若直線經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，與軸交于點(diǎn)，把拋物線沿線段方向向右下平移，使拋物線的頂點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)處，在平移過程中，設(shè)拋物線上兩點(diǎn)之間這一段曲線掃過的面積為，求的值．【模型五已知頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023春·河北保定·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)．(1)求其解析式；(2)把該拋物線向右平移_______個(gè)單位，則它過原點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值3，求該二次函數(shù)的解析式．2．（2023秋·江西南昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)在該拋物線上，求m的值．3．（2023秋·河北廊坊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)①當(dāng)函數(shù)值時(shí)，直接寫出x的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，直接寫出函數(shù)的最大值．4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過、、三點(diǎn)．(1)若點(diǎn)為該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線，求的值；(3)若二次函數(shù)解析式中二次項(xiàng)系數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。Y(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．【模型六已知交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式】例題：（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┮阎粋€(gè)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，和．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)求這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式2．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）根據(jù)下列條件，選取你認(rèn)為合適的方法求出二次函數(shù)的解析式．(1)