夾逼準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用

第4頁（共12頁）夾逼準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)2008級敖歡指導(dǎo)教師劉學(xué)文摘要：極限的思想方法貫穿于整個數(shù)學(xué)分析中，一些基本概念如微分、積分的定義都與極限有密不可分的聯(lián)系。極限是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和重要工具。不同形式的極限求解的方式各不相同，解題思路不同所得到的效果也是不一樣的。本文主要舉例討論并分析夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用，特別是其在求極限中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：極限；夾逼準(zhǔn)則；函數(shù)；數(shù)列Abstract：Thethinkingmethodoflimitthroughoutthemathematicalanalysis,somebasicconceptssuchasdifferential,integralandlimitareinseparablelinks.Limitofhighermathematicsisthetheoreticalfoundationandimportanttool.Differentformsofthesolutiontothelimitthewayisalsodifferent,differentthoughtsofsolvingtheeffectisnotthesame.Thispapermainlydiscussedbyexamplesandanalysisofsqueezeruleapplications,especiallyinthelimitofapplication.Keywords：Limit;Squeezerule;Function;Series極限是從初等數(shù)學(xué)跨向高等數(shù)學(xué)的一座重要橋梁。在青少年階段或者更早吸收了解極限先進(jìn)思想和概念，無疑對他們的人生發(fā)展有著不可估量的影響。極限理論是數(shù)學(xué)分析的入門和基礎(chǔ)，是人們把握無限的金鑰匙。不論是函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分還是無窮級數(shù)這些數(shù)學(xué)分析的核心內(nèi)容，無一例外地都是通過極限來定義和推演的。鑒于其在高等數(shù)學(xué)中的特殊重要地位，極限亦成為數(shù)學(xué)考研的必考內(nèi)容之一。極限概念最初產(chǎn)生于求曲邊形的面積與求曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率這兩個基本問題。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法—割圓術(shù)，就是用極限思想研究幾何問題。劉徽說：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！彼倪@段話是對極限思想的生動描述。在我們高中階段初步認(rèn)識了極限，同時也接觸了一些簡單的求極限的方法。與以前不同的是：高等數(shù)學(xué)中，我們是從變化的過程認(rèn)識極限的；我們是從逼近認(rèn)識極限的；我們又是從不等式認(rèn)識極限的。另一要注意的是在趨向極限的過程中，既有同向趨近，也有雙向趨近的。而且面臨的極限不再是單一、簡單的運(yùn)算，可能會涉及更多的知識，運(yùn)用更多的理論支撐。極限概念是微積分最基本的概念，微積分的其他基本概念都用極限概念來表達(dá)。極限方法是微積分的最基本的方法，微分法與積分法都借助于極限方法來描述，所以掌握極限概念與極限運(yùn)算便是非常重要的了。求極限或證明極限的方法眾多，靈活性強(qiáng)，題型也千變?nèi)f化。在求極限時一些常用的方法，像利用兩個重要極限，利用兩個重要準(zhǔn)則，利用等價無窮小替換，利用洛必達(dá)法則等。不同形式的極限求解的方式各不相同，解題思路不同所得到的效果也是不一樣的。中心問題無外乎兩個：一是證明極限存在，二是求極限的值。人們在初學(xué)數(shù)學(xué)分析階段卻往往不易掌握各種解題方法的思想實(shí)質(zhì)，而難以融會貫通地處理形形色色不同的問題。函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究內(nèi)容，而極限又是研究函數(shù)的方法。因此，極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和主要內(nèi)容。如何求數(shù)列極限、函數(shù)極限是教師和學(xué)生都共同關(guān)心的問題。本文通過舉例，本文主要舉例討論并分析夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用，特別是其在求極限中的應(yīng)用。定理［1］如果存在＞0，使得當(dāng)0＜︱0︳＜時，≤≤,并且=,=,則=。證明如果對任何n，n→0，n≠0，并且可不妨假設(shè)n（0，）－{0}，有(n)≤(n)≤(n)，以及(n)→,=0。例1.3計(jì)算分析記=，其自變量包含在冪指數(shù)、根指數(shù)中，其中自變量出現(xiàn)了兩次。此時可以用伯努利不等式放大、縮小，即：0≤︱︱≤＜=，于是：－＜＜。這樣放縮后左右兩端的極限均可以直接求出，并且它們的極限值相等，均等于0。滿足夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用條件。解由于0≤︱︱≤＜=，即是－＜＜，而且==0，所以由夾逼準(zhǔn)則得：=0。已知或者容易求出雙向不等式的數(shù)列（或者函數(shù)），可以用夾逼準(zhǔn)則求它的極限。例1.4求極限(++……+)。分析記=，易知{}關(guān)于單調(diào)遞增，即得＜＜當(dāng)→+時，上式左、右兩端各趨于0和1，似乎無法利用迫斂性，原因在于放縮太過粗糙，應(yīng)尋求更精致的放縮。解對各項(xiàng)的分母進(jìn)行放縮，而同時分子保持不變。就得如下不等關(guān)系：=＜＜=令→+時，上式左、右兩端各趨于，由夾逼準(zhǔn)則可得：(++……+)=例1.5證明（++……+）=1。分析記=，易知{}關(guān)于單調(diào)遞減，即得＜＜當(dāng)→+時，上式左、右兩端均趨于1，滿足夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用條件。證明由于＜++……+＜，而且=1；=1；故由夾逼準(zhǔn)則知：（++……+）=1。例1.6求極限（++……+）分析記=，易知{}關(guān)于單調(diào)遞減，即得＜＜當(dāng)→+時，上式左、右兩端均趨于0，滿足夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用條件。解由于＜++……+＜而且=，又==0。于是由夾逼準(zhǔn)則知：（++……+）=0。例1.7設(shè)=，求。分析因?yàn)?=3，記=+1。由于對于任意的自然數(shù)有：0＜＜1，所以1＜＜3。兩邊同時乘以得：＜+1＜再兩邊分別求方根得：3＜＜3×當(dāng)→+時，上式左、右兩端均趨于3，此時可以運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則求解。解因?yàn)?3，對任意的有：1＜＜3所以：3＜＜3×；又因?yàn)?×=3，所以由夾逼準(zhǔn)則知：=3。1.3對于含有較多乘除因子的數(shù)列，我們可以通過夾逼準(zhǔn)則去分析。例1.7設(shè)=,=,……,=,……求。分析記=,顯然{}單調(diào)遞減且恒正。故的存在性毋庸置疑，但單調(diào)有界原理對于我們求收斂數(shù)列的極限沒有幫助?，F(xiàn)在采用放縮法證明。證明一因?yàn)椋?＜，所以：2＜×=即得：－＜＜，并且（－）=0；=0；所以由夾逼準(zhǔn)則得：=0證明二除了上述證法，我們?nèi)裟苈?lián)想到公式=×再由=0（因?yàn)椋?，由于＜1，，使得當(dāng)＞時，＜當(dāng)＞時，=+＜()+＜+＜）便可取得要證結(jié)論。證明三我們也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)=1時，＜=，不等式成立。設(shè)=時，不等式成立，即是＜，則對=+1時，有：×＜×=×因?yàn)椋?+1）(2+3)=＜=所以：＜=，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任意的自然數(shù)，有＜。又由于0＜＜，并且=0，所以由夾逼準(zhǔn)則知：=0。1.4極限號下函數(shù)含有取整函數(shù)，其極限可用夾逼準(zhǔn)則求之。極限號下函數(shù)含有取整函數(shù)=[]時，常用該函數(shù)滿足的不等式：[]≤≤[]+1或－1≤[]≤,然后根據(jù)夾逼準(zhǔn)則求其極限。例1.8計(jì)算極限。分析根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)可得：－1≤[]≤，再通過的取值范圍，分段討論。即：當(dāng)＞0,＜＜,即是1－＜≤1；當(dāng)＜0，＞≥，即是1－＞≥1；由于當(dāng)→+時，（1－）=1，此時可以用夾逼準(zhǔn)則求解。解因?yàn)椋?≤[]≤，得到：（1）當(dāng)＞0,＜＜,即是1－＜≤1；（2）當(dāng)＜0，＞≥，即是1－＞≥1；因?yàn)楫?dāng)→+時，有（1－）=1，=1，=1所以由夾逼準(zhǔn)則得到：故=1。例1.9計(jì)算[](＞0，＞0);分析根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)可得：－1＜[]≤（x≠0）,又由于＞0，各項(xiàng)乘以，得：－＜[]≤；又（－）=，滿足夾逼準(zhǔn)則，此時可運(yùn)用此準(zhǔn)則。解因?yàn)椋?＜[]≤（x≠0）,當(dāng)＞0時，各項(xiàng)乘以，得：－＜[]≤；又（－）=，于是由夾逼準(zhǔn)則得到：[]=。以上通過一些典型的例題探討了夾逼準(zhǔn)則在極限計(jì)算中夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用。但是夾逼準(zhǔn)則的運(yùn)用遠(yuǎn)不止于此，它的運(yùn)用范圍非常廣。2夾逼準(zhǔn)則的其他應(yīng)用領(lǐng)域2.1用夾逼法求方程的近似解在解決實(shí)際問題時常常需要求一個方程的實(shí)根，但除了一些簡單的方程，大都很難求它的準(zhǔn)確解。因此求方程的近似解在數(shù)學(xué)的應(yīng)用上具有重大意義。下面介紹一種新的求方程近似解的方法，成為夾逼法。此法比已有的方法如二分法、切線法、弦位法具有逼近更快、更準(zhǔn)的特點(diǎn)，并且能夠進(jìn)行誤差估計(jì)。對函數(shù)給出兩個基本假設(shè)：(1)在閉區(qū)間[]上和都存在，且不變號；(2)在閉區(qū)間[]的兩端點(diǎn)處的函數(shù)值與異號，即是：·＜0。令=b，=a，用遞推公式：=－,=－，從而得到兩個數(shù)列{}和{}都以方程=0的根為極限，取數(shù)列{}，則有：=。如果取為方程解的近似值，其誤差小于。例2.1求方程=0在區(qū)間[3,4]上的近似解，并對其進(jìn)行誤差估計(jì)。解設(shè)函數(shù)=在區(qū)間[3,4]上有：=＞0,=＞0,且=-10＜0，=9＞0。令=4，=3，則：=4－≈3.679，=3－≈3.357，=3.679－≈3.633,=3.357－≈3.592。若取==3.633為方程的解，與實(shí)際誤差小于=0.0205，若不滿足精確度的要求還可以繼續(xù)逼近。夾逼準(zhǔn)則與微分方程的上下解方法夾逼準(zhǔn)則的思想稍加變化就可以推廣到其他的數(shù)學(xué)分支，例如微分方程。我們引進(jìn)微分方程上下解的概念，用上下解來夾逼，如果下解序列與上解序列都有相同的極限，則類似地可以夾逼出微分方程的解來，這里不再做詳細(xì)說明。綜上所述，計(jì)算極限的方法很多，需要學(xué)習(xí)者多做練習(xí)，多做總結(jié)，才能有針對性的得出計(jì)算極限的方法、技巧。當(dāng)然計(jì)算極限并不是單一方法的應(yīng)用，更多的是多種方法結(jié)合使用。而夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用也不只是應(yīng)用于簡單的求極限，還應(yīng)用于很廣泛的實(shí)際問題中，所以還需要我們進(jìn)一步的探索、研究、實(shí)踐。參考文獻(xiàn)：[1]陳傳樟，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽光中.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,1978.5.[2]姜長友，張武軍等.高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教程[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2006.[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1988.4.[4]朱弘毅.高等數(shù)學(xué)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2001.6.[5]廖玉麟等.高等數(shù)學(xué)試題精選題解[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2001.10.[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1989.224-229.[7]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京