專題2.11 實(shí)數(shù)章末十二大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（解析版）

專題2.11實(shí)數(shù)章末十二大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性】 1【題型2無(wú)理數(shù)的估算】 3【題型3探究平方根和立方根的規(guī)律】 6【題型4利用“夾逼法”求整數(shù)部分和小數(shù)部分】 9【題型5與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題】 13【題型6程序框圖中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 16【題型7新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 19【題型8實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用】 24【題型9二次根式雙重非負(fù)性的運(yùn)用】 29【題型10復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】 31【題型11二次根式的運(yùn)算與求值技巧】 35【題型12利用分母有理化求值】 37【題型1算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性】【例1】（2023春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若a-2022+b+2022=2，其中a，b均為整數(shù)，則a+b=．【答案】0，2，4【分析】先根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性分三種情況進(jìn)行討論得出a，b的值，再代入進(jìn)行計(jì)算即可求解【詳解】解：∵a-2022+b+2022=2，其中a又∵|a-2022|≥0，b+2022①當(dāng)|a-2022|=0，b+2022=2∴a=2022，b=-2018∴a+b②當(dāng)|a-2022|=1，b+2022=1∴a=2023或a=2021，b=-2021∴a+b=2023-2021③當(dāng)|a-2022|=2，b+2022=0∴a=2024或a=2020，b=-2022∴a+b=2024-2022=2或故答案為：4或2或0【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，得出a、b可能的取值是解決此題的關(guān)鍵，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想．【變式1-1】（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)a滿足2000-a+a-2001=a，那么a-2000A．1999 B．2000 C．2001 D．2002【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)與算術(shù)平方根的性質(zhì)先化簡(jiǎn)，進(jìn)而平方即可得到答案【詳解】解：∵a-2001≥0，∴a≥2001>2000，即2000-a<0，∴2000-a+a-2001=a-2000+a-2001即a-2001=2000∴a-20012=20002∴a-2000故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及到絕對(duì)值性質(zhì)與算術(shù)平方根的性質(zhì)，根據(jù)條件逐步恒等變形到所求代數(shù)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知a,b為實(shí)數(shù)，且1+a-(b-1)1-b=0，求【答案】-2【分析】由已知條件得到1+a-(b-1)1-b=0，利用二次根式有意義的條件得到1-b≥0，再根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)和的性質(zhì)得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，【詳解】解：∵1+a-(b-1)∴1+a+∵1-b≥0，∴1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，∴a2015-b2016=（-1）2015-12016=-1-1=-2．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及求代數(shù)式的值、有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若m滿足關(guān)系式3x+5y-2-m+2x+3y-m=199-x-y?【答案】201【分析】根據(jù)能開(kāi)平方的數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，從而有3x+5y-2-m+2x+3y-m=0，再根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯(lián)立①②③解方程組可得出【詳解】解：由題意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．∴3x+5y-2-m+2x+3y-m∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯(lián)立①②③得，x+y=199①3x+5y-2-m=0②②×2-③×3得，y=4-m，將y=4-m代入③，解得x=2m-6，將x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．故答案為：201．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性以及方程組的解法，掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．【題型2無(wú)理數(shù)的估算】【例2】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)P所表示的數(shù)可能是（

）A．30 B．13 C．10 D．8【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)處于3.5和4之間，即12.25和16之間，逐一判定比較即可.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，得72∴494∴12.25<x<∵30>4∴A選項(xiàng)不符合題意，∵12.25<∴選項(xiàng)B符合題意，∵10<∴C選項(xiàng)不符合題意，∵8<∴D選項(xiàng)不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)的判定，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次根式的形式，即可解題．【變式2-1】（2023春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知a＝23﹣2，a介于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是（

）A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5【答案】B【分析】先估算出23的范圍，即可求得答案．【詳解】∵4<23∴2<23∴23-2在2和3之間，即2＜a＜3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，能估算出23的范圍是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·河北保定·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在數(shù)軸上標(biāo)注了四段范圍，如圖，則表示8的點(diǎn)落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【答案】C【詳解】解：∵2．2．2．2．∵7．∴2．∴2．所以8應(yīng)在③段上．故選：C【變式2-3】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)期中）若a，b均為正整數(shù)，且a>7，b<32，則a+bA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先估算7、32的范圍，然后確定a、b的最小值，即可計(jì)算a+b【詳解】∵4<7<9∵a>7，a∴a的最小值為3．∵31<32<∵b＜32，∴b的最小值為1，∴a+b的最小值為3+1=4．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是：確定a、b的最小值．【題型3探究平方根和立方根的規(guī)律】【例3】（2023春·北京·八年級(jí)?？计谥校榱诉M(jìn)一步研究算術(shù)平方根的特點(diǎn)，閆老師用計(jì)算器計(jì)算出了一些數(shù)的算術(shù)平方根，并將結(jié)果填在了下表中．(1)請(qǐng)你幫助閆老師將表格內(nèi)容補(bǔ)充完整；表1．第1組第2組第3組第4組第5組第6組第7組……0.010.1110100100010000…………0.10.316______3.16______31.6______……(2)請(qǐng)你仿照表1中的規(guī)律，將表2補(bǔ)充完整．表2．第1組第2組第3組第4組第5組第6組……0.030.33303003000…………0.17320.5477______5.477____________……(3)通過(guò)表1和表2，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)用文字或符號(hào)概括你的發(fā)現(xiàn)．（提示：如果沒(méi)有思路，你可以先觀察第1組、第3組、第5組、第7組中的被開(kāi)方數(shù)和結(jié)果，再觀察第2組、第4組、第6組中的被開(kāi)方數(shù)和結(jié)果）．【答案】(1)1；10；100(2)1.732；17.32；54.77(3)被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)2n位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就隨之向左或向右移動(dòng)n位．【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律，即可求得答案（2）觀察第1組、第3組、第5組中的被開(kāi)方數(shù)和結(jié)果以及第2組、第4組、第6組中的被開(kāi)方數(shù)和結(jié)果，可得出答案（3）根據(jù)（1）（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得1=1,故答案為：1；10；100．（2）解：已知0.03=0.1732∴3=1.732，∵已知30=5.477∴3000故答案為：1.732；17.32；54.77．（3）解：通過(guò)觀察表1和表2可發(fā)現(xiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)2n位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就隨之向左或向右移動(dòng)n位．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是從表格中發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律．【變式3-1】（2023春·四川廣元·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知按照一定規(guī)律排成的一列實(shí)數(shù)：-1，2，33，-2，5，36，-7，8，39，-10，…【答案】-【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，每三個(gè)數(shù)為一組，依次是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，從而可以得到這一列數(shù)中的第2023個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵一列實(shí)數(shù)：-1，2，33，-2，5，36，-7，8，39∴這些數(shù)每三個(gè)數(shù)為一組，每組出現(xiàn)的特點(diǎn)一樣，依次是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，∵2023÷3=674…1∴這一列數(shù)中的第2023個(gè)數(shù)應(yīng)是-2023故答案為：-2023【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律求解．【變式3-2】（2023春·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列正數(shù)的立方根運(yùn)算，并完成下列問(wèn)題；b0.0040964.09640964096000409600000030.161.6161601600(1)用語(yǔ)言敘述上述表格中的規(guī)律：在立方根運(yùn)算中，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)三位，相應(yīng)的立方根的小數(shù)點(diǎn)就向___移動(dòng)___位．(2)運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問(wèn)題：已知313≈2.35，則30.013≈___(3)類比上述立方根運(yùn)算：已知3.66≈1.913，則366≈___，36600【答案】(1)右；一；(2)0.235；23.5；(3)19.13；191.3【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律可得結(jié)論；（3）根據(jù)立方根的移位規(guī)律可得算術(shù)平方根的移位規(guī)律，即可求得所求數(shù)字的值．【詳解】（1）用語(yǔ)言敘述上述表格中的規(guī)律：在立方根運(yùn)算中，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)三位，相應(yīng)的立方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)一位．故答案為：右，一；（2）∵313≈∴30.013≈0.235，3故答案為：0.235，23.5；（3）在算術(shù)平方根運(yùn)算中，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)兩位，相應(yīng)的平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)一位．∵3.66≈1.913∴366≈19.13，36600≈故答案為：19.13，191.3．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、數(shù)的開(kāi)方，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求得所求數(shù)字的值．【變式3-3】（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若記x表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分例如：3.5=3，5=2，?，則1-2+3【答案】-22【分析】按照整數(shù)是1，整數(shù)是2，…整數(shù)是44，確定算術(shù)平方根的個(gè)數(shù)，運(yùn)用估算思想，列式，尋找規(guī)律計(jì)算．【詳解】解：∵1≤n＜2即1≤n＜4時(shí)，n=1∴1-∵2≤n＜3即4≤n＜9時(shí)，n=2，此時(shí)n=4，∴-4∵3≤n＜4即9≤n＜16時(shí)，n=3，此時(shí)n=9，10，11，∴9-10+由此發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律，整數(shù)部分是1的算術(shù)平方根的整數(shù)和是1，且奇數(shù)為正整數(shù)，偶數(shù)位為負(fù)整數(shù)；整數(shù)部分是2的算術(shù)平方根的整數(shù)和是-2，整數(shù)部分是3的算術(shù)平方根的整數(shù)和是3，∵442=1936，∴44≤n＜45即1936≤∴-1936+∴1=1-2+3-4+5-6+…+43-44=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)=-1×22=-22，故答案為：-22．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用估算思想，確定整數(shù)部分中的運(yùn)算規(guī)律．【題型4利用“夾逼法”求整數(shù)部分和小數(shù)部分】【例4】（2023春·湖北隨州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道，2是一個(gè)無(wú)理數(shù)，將這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即2的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是2-1(1)10的小數(shù)部分是________，5-13的小數(shù)部分是________(2)若a是90的整數(shù)部分，b是3的小數(shù)部分，求a+b-3(3)若7+5=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求【答案】(1)10-3，4-(2)±3；(3)11．【分析】（1）確定10的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定13的整數(shù)部分，即可確定5-13的整數(shù)部分，從而確定5-（2）確定90的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定3的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式a+b-3+1（3）由2<5<3得即9<7+5<10，從而得x=9，y=5-2【詳解】（1）解：∵3<10∴10的整數(shù)部分為3，∴10的小數(shù)部分為10-3∵3<13∴-3＞∴5-3＞5-13∴5-13的整數(shù)部分為1∴5-13的小數(shù)部分為4-故答案為：10-3，4-（2）解：∵9<90<10，a是90∴a=9，∵1<3∴3的整數(shù)部分為1，∵b是3的小數(shù)部分，∴b=3∴a+b-∵9的平方根等于±3，∴a+b-3+1的平方根等于（3）解：∵2<5∴7+2<7+5<7+3即∵7+5=x+y，其中x是整數(shù)，且∴x=9，y=7+5∴x-y+5【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握二次根式的大小估算方法．【變式4-1】（2023春·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知13的整數(shù)部分是m，10-13的小數(shù)部分是n，則m+n=【答案】7-13/【分析】先估算出13的取值范圍，再求出m，n的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵9<13<16，∴3<13∵13的整數(shù)部分是m∴m=3；∵3<13∴-4<-13∴6<10-13∵10-13的小數(shù)部分是n∴n=10-13∴m+n=3+4-13故答案為：7-13【點(diǎn)睛】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，熟知估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校╅喿x下列材料：∵1<∴1<3∴3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為3-1請(qǐng)根據(jù)材料提示，解答下列問(wèn)題．(1)14的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；(2)如果6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，求2m-n-26(3)若a的整數(shù)部分為5，直接寫(xiě)出a的取值范圍．【答案】(1)3，14(2)-2(3)25≤a<36【分析】（1）由9<14<（2）估算6和21的大小，確定m、（3）由a的整數(shù)部分是5，25=5，36【詳解】（1）解：∵9∴3<14∴14的整數(shù)部分是3，∴14的小數(shù)部分是14-3故答案為：3，14-3（2）解：∵4<6∴2<6∵6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，∴m=6∴2m-n-26∴2m-n-26的立方根為：3（3）解：∵a的整數(shù)部分是5，25=5，36∴25≤a<36．【點(diǎn)睛】本題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，求一個(gè)數(shù)的立方根，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提，確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分是得出正確答案的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谀┎牧?：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，小數(shù)部分可以看成是2.5-2得來(lái)的，類比來(lái)看，2是無(wú)理數(shù)，而1<2<2，所以2的整數(shù)部分是1，于是可用2-1料2：若10-122=a+b2，則有理數(shù)部分相等，無(wú)理數(shù)部分也相等，即a，b根據(jù)以上材料，完成下列問(wèn)題：(1)17的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是_____；(2)3+3也是夾在相鄰兩個(gè)整數(shù)之間的，可以表示為a<3+3<b【答案】(1)4，17(2)3【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無(wú)理數(shù)17的大小即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無(wú)理數(shù)3+3的大小，確定a、b【詳解】（1）解：∵4<17∴17的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為17-4故答案為：4，17-4（2）∵1<3∴4<3+3∵3+3也是夾在相鄰兩個(gè)整數(shù)之間的，可以表示為a<3+∴a=4，b=5，∴a+b=9，∴a+b的算術(shù)平方根為9=3【點(diǎn)睛】本題考查估算無(wú)理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是正確解答的前提．【題型5與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題】【例5】（2023春·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列解題過(guò)程：1-31-51-7……(1)計(jì)算：1-1349(2)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想：1-2n+1n+12=(3)計(jì)算：1-3【答案】(1)6(2)n(3)1【分析】（1）利用算術(shù)平方根的意義解答即可；（2）利用式子的規(guī)律解答即可；（3）利用上面的規(guī)律將每個(gè)算術(shù)平方根化簡(jiǎn)，再利用分?jǐn)?shù)的乘法的法則運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：1-==6（2）解：依據(jù)上述運(yùn)算的規(guī)律可得：1-2n+1(n+1)2（3）解：原式==1【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，數(shù)式規(guī)律探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)字運(yùn)算的規(guī)律并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列各式：32+27=2327,【答案】3【分析】觀察規(guī)律可直接得到規(guī)律．【詳解】解：∵32+33+34+463∴3n+故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字規(guī)律的運(yùn)算，會(huì)求一個(gè)數(shù)的立方根，正確分析已知中的等式由此得到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列等式：①x1②x2③x3…(1)寫(xiě)出④x4=(2)猜想：xn=(3)由以上規(guī)律，計(jì)算x1【答案】(1)1+(2)1+(3)-【分析】（1）觀察已知等式找到規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)規(guī)律直接得出結(jié)果即可；（3）利用（2）中結(jié)論及有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：x4故答案為：1+1（2）解：根據(jù)規(guī)律可知，xn=故答案為：1+1（3）x=1=2022+1-=2022+1-=-1【點(diǎn)睛】題目主要考查算術(shù)平方根及有理數(shù)規(guī)律性運(yùn)算，根據(jù)題意找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)武漢市洪山高級(jí)中學(xué)校考期中）探索：先觀察并計(jì)算下列各式，在空白處填上“>”“<”或“=”，并完成后面的問(wèn)題.4×49925169（1）用a,b,ab表示上述規(guī)律為：____________；（2）利用（1）中的結(jié)論，求8×（3）設(shè)x=3，y=6試用含x,y【答案】（1）a×b=ab；（2））2【分析】（1）先求出每個(gè)式子的值，再比較即可；（2）根據(jù)規(guī)律，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即可求出答案；（3）先分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)規(guī)律得出3×3【詳解】（1）∵4×16=2×4=8∴4×49×925169a×故答案為=，=，=，=，a×b=ab（（2）8×（3）∵x=3，y=∴54【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的乘除，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.【題型6程序框圖中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例6】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)無(wú)理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說(shuō)法正確的是（

）A．輸入值x為16時(shí)，輸出y值為4B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個(gè)無(wú)理數(shù)C．輸出值y為3時(shí)，輸入值x為9D．存在正整數(shù)x，輸入x后該生成器一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解．【詳解】解∶A．輸入值x為16時(shí)，16=4，4=2，即y=2，故B．當(dāng)x=0，1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤；C．x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故C錯(cuò)誤；D．當(dāng)x=1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)；故D正確；故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根及無(wú)理數(shù)的概念，正確理解給出的運(yùn)算方法是關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是一個(gè)計(jì)算程序．若輸入x的值為64，則輸出y的結(jié)果為．【答案】3【分析】根據(jù)題意利用立方根和算術(shù)平方根的定義即可求解．【詳解】解：輸入的x值為64，取立方根為4，4是有理數(shù)，則取4的算術(shù)平方根為2，2是有理數(shù)，則取2的立方根為32，3所以輸出的y的結(jié)果為32故答案為：32【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根、立方根以及無(wú)理數(shù)，正確把握定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器的工作原理．(1)當(dāng)輸入的x值為-19時(shí)，求輸出的y值；(2)是否存在輸入x值后，始終輸不出y值的情況，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足要求的x值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若輸出的y值是3，請(qǐng)寫(xiě)出四個(gè)滿足要求的x值．【答案】(1)2(2)x=-2或-3或-4(3)x=0或x=-6或x=-12或x=6時(shí)，輸出的y值是3，答案不唯一．【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，即可判斷；（3）根據(jù)運(yùn)算法則，9的算術(shù)平方根是3，3的算術(shù)平方根是3，進(jìn)行逆運(yùn)算即可求得無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的數(shù)．【詳解】（1）解：|-19+3|=16，16的算術(shù)平方根是4，4不是無(wú)理數(shù)，4的算術(shù)平方根是2，2不是無(wú)理數(shù)，2的算術(shù)平方根是2，2是無(wú)理數(shù)，故輸出的y值是2．故答案是：2．（2）解：存在輸入x值后，始終輸不出y值的情況．∵0和1的算術(shù)平方根是0和1，∴當(dāng)|x+3|=0或|x+3|=1時(shí)，始終輸不出y值，∴x=-2或-3或-4．（3）解：∵9的算術(shù)平方根是3，3的算術(shù)平方根是3，∴當(dāng)|x+3|=3或|x+3|=9，即x=0或x=-6或x=-12或x=6時(shí)，輸出的y值是3，(答案不唯一)．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，算術(shù)平方根，正確理解給出的運(yùn)算方法是關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·北京·八年級(jí)?？计谥校┙o出下列程序：若輸入的x值為1時(shí)，輸出值為1；若輸入的x值為-1時(shí)，輸出值為-3；則當(dāng)輸入的x值為8時(shí)，輸出值為．【答案】3【分析】設(shè)輸出的值為y，根據(jù)程序可得計(jì)算法則：y=k3x+b，根據(jù)待定系數(shù)法確定k，b【詳解】解：設(shè)輸出的值為y，根據(jù)圖示可得計(jì)算法則為y=k3∵若輸入的x值為1時(shí)，輸出值為1；若輸入的x值為-1時(shí)，輸出值為-3，∴k+b=1-k+b=-3，解得k=2∴y=23當(dāng)x=8時(shí)，y=2×2-1=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題以程序?yàn)楸尘翱疾榱饲蟠鷶?shù)式的值，關(guān)鍵是弄清楚圖示給出的計(jì)算程序．【題型7新定義中的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例7】（2023春·重慶江津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于任意非負(fù)數(shù)m、n，若定義新運(yùn)算：m?n=m-n(m≥n)m+n(m<n)，在下列說(shuō)法中：①27?12=3；②11?2+12?3+?+A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用新運(yùn)算的定義對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵27>12，∴27?12=27-12=3∴①的說(shuō)法正確；②等式的左邊====2023等式的右邊=2023-1∴等式成立，∴②的說(shuō)法正確；③當(dāng)x≥y時(shí)，左邊=(=(==x-y=|x-y|=右邊，當(dāng)x<y時(shí)，左邊=(==y-x=|x-y|=右邊，綜上，③的說(shuō)法正確；④x==x-(x-2)=x-x+2=2，由題意可知：x2∴x≥1，∴④的說(shuō)法不正確．綜上，說(shuō)法正確的有①②③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，分母有理化，本題是新定義型，理解新定義的規(guī)定，并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于任意不為0的有理數(shù)m，n，定義一種新運(yùn)算“※”，規(guī)則如下：例如：-1※2=3×(1)若x-2※5x=6，求x(2)判斷這種新運(yùn)算“※”是否滿足分配律a※b+c【答案】(1)-6(2)這種新運(yùn)算“※”不滿足分配律a※【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算得出方程3x-2（2）先根據(jù)新定義運(yùn)算分別表示出等式左邊和右邊，再觀察左右兩邊是否相等，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵x-2∴3x-2解得：x=-6，∴x的值為-6；（2）解：根據(jù)題意得：左邊a※b+c右邊a※b+a※c=3a-b+3a-c=6a-b-c，∴左邊≠右邊，∴這種新運(yùn)算“※”不滿足分配律a※b+c【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元一次方程，理解新定義的運(yùn)算法則，熟練掌握解一元一次方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）將n個(gè)0或2排列在一起組成一個(gè)數(shù)組，記為A=t1,t2,?,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，稱A是一個(gè)n元完美數(shù)組（n≥2且n為整數(shù)）．例如：0,定義以下兩個(gè)新運(yùn)算：新運(yùn)算1：對(duì)于x*y=x+y新運(yùn)算2：對(duì)于任意兩個(gè)n元完美數(shù)組M=x1,M⊕N=12xM=2,2,2(1)①在3,2，2,0，2,2②設(shè)A=2,0,2，B=2(2)已知完美數(shù)組M=2,2,2,0，求出所有(3)現(xiàn)有m個(gè)不同的2022元完美數(shù)組，m是正整數(shù)，且對(duì)于其中任意的兩個(gè)完美數(shù)組C，D滿足C⊕D=0，則m的最大可能值是______．【答案】(1)①2,0；②(2)N=2,2,0,2或2,0,2,2(3)2023【分析】（1）①根據(jù)定義直接判定即可；②根據(jù)定義直接計(jì)算即可；（2）由定義可知當(dāng)x=y時(shí)，x*y=2x，當(dāng)x≠y時(shí)，x*y=0，當(dāng)x*y=22或0（3）根據(jù)題意可知C、D中對(duì)應(yīng)的元都不相等，m的最大值為2023，當(dāng)C確定后，D中的對(duì)應(yīng)元與C中的不同即可．【詳解】（1）解：①∵3,2中有∴3,2不是∵2,0中只有2和0，且有2∴2,0是2∵2,2,0∴2,2,0故答案為：2,0②A⊕B====2故答案為：2．（2）解：∵x*y=x+y∴當(dāng)x=y時(shí)，x*y=2x，當(dāng)x≠y時(shí)，x*y=0，當(dāng)x*y=2x時(shí)，x*y=22或0∵M(jìn)⊕N=22∴x1∵M(jìn)=2∴N=2,2,0,2或2,0,2,2（3）解：∵C⊕D=0，∴C、D中對(duì)應(yīng)的元都不相等或C、D中對(duì)應(yīng)的元都相等且為0，∵C、D是不同的兩個(gè)完美數(shù)組，∴C、D中對(duì)應(yīng)的元都不相等，∴m的最大值為2023，當(dāng)C確定后，D中的對(duì)應(yīng)元與C中的不同．故答案為：2023．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，弄清定義，熟練掌握絕對(duì)值的運(yùn)算，能夠通過(guò)所給的運(yùn)算關(guān)系，得到一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·重慶梁平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）材料一：對(duì)于一個(gè)三位正整數(shù)，若百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和減去十位數(shù)字的差為3，則稱這個(gè)三位數(shù)為“尚美數(shù)”，例如：234，因?yàn)?+4-3=3，所以234是“尚美數(shù)”；材料二：若t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均為整數(shù)），記F(t)=2a-c．已知t1=2y6,t2=myn是兩個(gè)不同的“尚美數(shù)”，且F【答案】5652【分析】根據(jù)t1=2y6,t2=myn是兩個(gè)不同的【詳解】解：∵t1=2y6∴得y=5，即m+n=8，∴n=8-m，∵t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均為整數(shù)），記F(t)=2a-c∴F=2×2-6+2=4m+2n-2=4m+28-m∵1≤m≤9，∴16≤2m+14≤32．∵2m+14能被13整除，∴2m+14=26解得m=6,n=8-m=2，故t2故答案為：5,652．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，新定義、數(shù)的整除、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，不等式等知識(shí)，消元求解是解題的關(guān)鍵．【題型8實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用】【例8】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考期中）“說(shuō)不完的2”探究活動(dòng)，根據(jù)各探究小組的匯報(bào)，完成下列問(wèn)題．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：我們知道面積是2的正方形邊長(zhǎng)是2，且2>1.4．設(shè)2由面積公式，可得x2+______因?yàn)閤值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即2(2)怎樣畫(huà)出2？請(qǐng)一起參與小敏探索畫(huà)2過(guò)程．現(xiàn)有2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖（1），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫(huà)出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫(huà)出拼接成的新正方形．小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為xx>0．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=2，解得x=2．把圖（請(qǐng)參考小敏做法，現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖（3），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫(huà)出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫(huà)出拼接成的新正方形．說(shuō)明：直接畫(huà)出圖形，不要求寫(xiě)分析過(guò)程．【答案】(1)2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圖形中大正方形的面積列方程即可；（2）在網(wǎng)格中分別找到1×1和1×2的長(zhǎng)方形，依次連接頂點(diǎn)即可．【詳解】（1）由面積公式，可得x∵x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96=2，解得x≈0.014（保留到0.001），即故答案為：2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；（2）小敏同學(xué)的做法，如圖：排列形式如圖（3），如圖：畫(huà)出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫(huà)出拼接成的新正方形，如圖所示【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，考查數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)正方形的面積求出帶根號(hào)的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知小正方形的邊長(zhǎng)為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．（1）求S陰=（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個(gè)邊長(zhǎng)為13的正方形．【答案】（1）10；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）用大正方形的面積減去四個(gè)小三角形的面積即可得出陰影部分面積；（2）邊長(zhǎng)為13的正方形，則面積為(13)2=13【詳解】解：（1）S陰故答案為：10；（2）邊長(zhǎng)為13的正方形，則面積為(13則每個(gè)三角形的面積為14則作圖如下：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解決本題的關(guān)鍵是利用網(wǎng)格求出周圍四個(gè)小三角形的邊長(zhǎng)．【變式8-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為2cm，寬為1（1）將長(zhǎng)方形ABCD進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿ó?huà)出分割線），使分割后的圖形能拼成一個(gè)正方形，并畫(huà)出所拼的正方形；（標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)和數(shù)據(jù)）（2）求所拼正方形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）分割方法不唯一，如圖，見(jiàn)解析；（2）拼成的正方形邊長(zhǎng)為2cm【分析】（1）根據(jù)AB=2AD，可找到CD的中點(diǎn)，即可分成兩個(gè)正方形，再沿對(duì)角線分割一次，即可補(bǔ)全成一個(gè)新的正方形；（2）設(shè)拼成的正方形邊長(zhǎng)為xcm【詳解】（1）如圖，∵AB=2AD，找到CD,AB的中點(diǎn)，如圖所示，可把矩形分割成4個(gè)等腰直角三角形，再拼成一個(gè)新的正方形；（2）設(shè)拼成的正方形邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意得x∴x=2答：拼成的正方形邊長(zhǎng)為2cm【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行分割．【變式8-3】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）閱讀材料，回答問(wèn)題：（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)x表示“不超過(guò)x的最大整數(shù)”，在數(shù)軸上，當(dāng)x是整數(shù)，x就是x，當(dāng)x不是整數(shù)時(shí)，x是點(diǎn)x左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，如3=3，-2=-2，2.5=2，-1.5=-2，則3.4=（2）2015年11月24日，杭州地鐵1號(hào)線下沙延伸段開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，極大的方便了下沙江濱居住區(qū)居民的出行，杭州地鐵收費(fèi)采用里程分段計(jì)價(jià)，起步價(jià)為2元/人次，最高價(jià)為8元/人次，不足1元按1元計(jì)算，具體權(quán)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：里程范圍4公里以內(nèi)（含4公里）4-12公里以內(nèi)（含12公里）12-24公里以內(nèi)（含24公里）24公里以上收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)2元4公里/元6公里/元8公里/元①若從下沙江濱站到文海南路站的里程是3.07公里，車費(fèi)________元，下沙江濱站到金沙湖站里程是7.93公里，車費(fèi)________元，下沙江濱站到杭州火東站里程是19.17公里，車費(fèi)________元；②若某人乘地鐵花了7元，則他乘地鐵行駛的路程范圍（不考慮實(shí)際站點(diǎn)下車?yán)锍糖闆r）？【答案】（1）3；-6；（2）①2；3；6．②這個(gè)乘客花費(fèi)7元乘坐的地鐵行駛的路程范圍為：大于24公里小于等于32公里．【分析】（1）根據(jù)題意，確定實(shí)數(shù)左側(cè)第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)即得；（2）①根據(jù)表格確定乘坐里程的對(duì)應(yīng)段，然后將乘坐里程分段計(jì)費(fèi)并累加即得；②根據(jù)表格將每段的費(fèi)用從左至右依次累加直至費(fèi)用為7元，進(jìn)而確定7元乘坐的具體里程即得．【詳解】（1）∵3<3.4<4∴3.4∵-6<-5.7<-5∴-5.7故答案為：3；-6．（2）①∵3.07<4∴3.07公里需要2元∵4<7.93<12∴7.93公里所需費(fèi)用分為兩段即：前4公里2元，后3.93公里1元∴7.93公里所需費(fèi)用為：2+∵12<19.17<24∴19.17公里所需費(fèi)用分為三段計(jì)費(fèi)即：

前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；∴19.17公里所需費(fèi)用為：2+2+2=6（元）故答案為：2；3；6．②由題意得：乘坐24公里所需費(fèi)用分為三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；∴乘坐24公里所需費(fèi)用為：2+2+2=6（元）∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里∴7元可以乘坐的地鐵最大里程為：24+∴這個(gè)乘客花費(fèi)7元乘坐的地鐵行駛的路程范圍為：大于24公里小于等于32公里答：這個(gè)乘客花費(fèi)7元乘坐的地鐵行駛的路程范圍為：大于24公里小于等于32公里．【點(diǎn)睛】本題是閱讀材料題，考查了實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)材料中的新定義舉一反三并挖掘材料中深層次含義是解題關(guān)鍵．【題型9二次根式雙重非負(fù)性的運(yùn)用】【例9】（2023春·天津和平·八年級(jí)耀華中學(xué)校考期中）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式a-199+199-a=2a+b-c+【答案】404【分析】根據(jù)二次根式有意義條件求得a＝199，然后由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得b、c的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得a-199=0199-a=0解得a＝199，則2a+b-c+所以2×199+b-c=0b-6=0解得b=6c=404故答案為：404．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的意義和性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)x，y，a，b滿足3x-y-7+x-2y-4=a+b-2022×【答案】15【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性列方程和不等式計(jì)算即可．【詳解】解：由已知，得a+b-2022≥02022-a-b≥0∴a+b-2022=0，∴a+b=2022，∴3x-y-7+∴3x-y-7=0x-2y-4=0，解得x=2∴7x-y【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘法、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、二次根式有意義的條件以及解二元一次方程組，熟練掌握二次根式的乘法以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·湖北恩施·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)x、y、z是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足下列等式：x3(y-x)3+xA．0 B．1 C．3 D．條件不足，無(wú)法計(jì)算【答案】A【分析】首先根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)與x、y、z是兩兩不等的實(shí)數(shù)，即可求得：x為0，y與z互為相反數(shù)，據(jù)此即可求得代數(shù)式的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：x∴y>x>z，∴y-x>0，z-x<0，∴由x3(y-x)3≥0可得x≥0，由∴x=0，∴y-x∴y∴y=-z，∴x【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式成立的條件與不等式組解集的求解方法，代數(shù)式求值問(wèn)題，找到x，y，z的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023秋·上海靜安·八年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┮阎猰,x,y是兩兩不相等的實(shí)數(shù)，且滿足mx-m+my-m=【答案】1【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，確定出m=0，x=-y，代入原式即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵m，x，y是兩兩不相等的實(shí)數(shù)且滿足m(x-m)+又∵m-y≥0x-m≥0∴m=0，x=-y，x≠0，y≠0，∴原式=3故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定出m=0，x=-y，記住二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)這個(gè)隱含條件，屬于中考常考題型．【題型10復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】【例10】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）像4-23，48-4-23＝3-23+1＝(3)再如：5+26=3+26+2=請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：12+235(2)化簡(jiǎn)：17-415(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【答案】(1)5(2)2(3)14或46【分析】（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．【詳解】（1）12+2（2）17-4（3）∵a+65∴a=m2+5n∴mn=3又∵a、m、∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，∴當(dāng)m=1,n=3時(shí)，a=46；當(dāng)m=3,n=1時(shí)，a=14．∴a的值為：14或46．【點(diǎn)睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進(jìn)一步利用公式因式分解化簡(jiǎn)，注意在整數(shù)分解時(shí)參考后面的二次根號(hào)里面的數(shù)值．【變式10-1】（2023秋·上?！ぐ四昙?jí)期中）當(dāng)x=4時(shí)，x-23x2A．1 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：原式=x-2=將x=4代入得，原式=====1.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算以及二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則以及觀察出分母可以開(kāi)根號(hào)，本題屬于較難題型．【變式10-2】（2023春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)?？计谥校╅喿x材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22設(shè)a+2b=m+2n2（其中a、b、∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+2請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，（2）若a+43=m+3n2，且a、（3）化簡(jiǎn)：7-21+【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）5﹣1．【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)得到m+6n2=m2+26mn+6（2）直接利用完全平方公式，變形后得到對(duì)應(yīng)值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）∵a+6∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為：m2+6n2，2mn；（2）∵a+43∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵21+80則7-21+【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式性質(zhì)和完全平方式的內(nèi)容，考生須先弄清材料中解題的方法，同時(shí)熟練掌握和靈活運(yùn)用二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則以及二次根式的化簡(jiǎn)公式是解題的關(guān)鍵.【變式10-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如：3+22設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b則有a+b2∴a=m2+2n2請(qǐng)你仿照康康的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分別表示a、b，得：a=(2)若7-43=e-f32，且e(3)化簡(jiǎn)：7+21-【答案】(1)c(2)2-(3)1+【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行求解；（2）將7-43變?yōu)?（3）將7+21-80化為【詳解】（1）解：∵c+d3∴a=c故答案為：c2（2）∵7-43∴7-43（3）7+======1+5【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【題型11二次根式的運(yùn)算與求值技巧】【例11】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）若a=122+【答案】2.【分析】已知條件比較復(fù)雜，將已知條件變形得出所求式子的結(jié)構(gòu)求值即可.【詳解】∵a+∴a∴a∴a∵a>0，∴a【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，式子較復(fù)雜需要先化簡(jiǎn)條件.【變式11-1】（2023秋·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣x2-2016）（y﹣y2（1）求x，y之間的數(shù)量關(guān)系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．【答案】（1）x=y；（2）-1.【分析】（1）將式子變形后，再分母有理化得①式：x﹣x2-2016＝y(tǒng)+y2-2016，同理得②式：x+x2（2）將x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式結(jié)合x(chóng)2=2016，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵（x﹣x2-2016）（y﹣y2∴x﹣x2-2016＝2016y-y2-2016＝2016(y+同理得：x+x2-2016＝y(tǒng)﹣y①+②得：2x＝2y，∴x＝y(tǒng)，（2）把x＝y(tǒng)代入①得：x－x2-2016＝x+∴x2＝2016，則3x2－2y2+3x－3y－2017，＝3x2－2x2+3x－3x－2017，＝x2－2017，＝2016－2017，＝－1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn),掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵.【變式11-2】（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)東辰國(guó)際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若x，y是實(shí)數(shù)，且y＝4x-1+1-4x+13，求（2【答案】18﹣1【分析】首先根據(jù)二次根式有意義求出x、y的值，再化簡(jiǎn)后面的代數(shù)式，最后代入求值即可．【詳解】解：∵x，y是實(shí)數(shù)，且y＝4x-1+∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝14∴y＝13∴23x9x+4xy＝2xx+2xy﹣xx﹣5xy＝xx﹣3xy＝1414＝18【點(diǎn)睛】本題主要考查含字母的二次根式化簡(jiǎn)求值，需要注意利用二次根式有意義的情況求未知數(shù)的值．【變式11-3】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)x=1+19942時(shí)，多項(xiàng)式4xA．1 B．-1 C．2200