2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第二十八講函數(shù)的概念表示和定義域

第二十八講：函數(shù)的概念，表示和定義域【教學(xué)目標(biāo)】1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念；；3.會判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)；4.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集；5.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域．【基礎(chǔ)知識】一、函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x的值相對應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}注意點：(1)A，B是非空的實數(shù)集；(2)定義域是非空的實數(shù)集A，但函數(shù)的值域不一定是非空實數(shù)集B，而是集合B的子集；(3)函數(shù)定義中強調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空實數(shù)集A中的任意一個(任意性)元素x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應(yīng)．(4)函數(shù)符號“y＝f(x)”是數(shù)學(xué)符號之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖象或表格，或其他的對應(yīng)關(guān)系；(5)除f(x)外，有時還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號表示函數(shù)．二、區(qū)間的概念設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：區(qū)間數(shù)軸表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)注意點：(1)區(qū)間只能表示連續(xù)的數(shù)集，開閉不能混淆；(2)用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意實心點與空心點的區(qū)別；(3)區(qū)間是實數(shù)集的一種表示形式，集合的運算仍然成立；(4)∞是一個符號，而不是一個數(shù)．三、簡單函數(shù)的定義域（1）偶次根號下大于等于0；（2）分母不為0；（3）.四、同一函數(shù)（1）定義域相同；（2）解析式一致；（3）值域相等.【題型目錄】考點一：函數(shù)關(guān)系考點二：函數(shù)的概念考點三：函數(shù)的表示考點四：函數(shù)值的求解考點五：已知函數(shù)值求參考點六：區(qū)間的表示考點七：同一函數(shù)考點八：具體函數(shù)求定義域考點九：抽象函數(shù)求定義域考點十：實際應(yīng)用問題求定義域考點十一：考點十一：已知定義域求參【考點剖析】考點一：函數(shù)關(guān)系變量之間存在固定的公式變化，且一一對應(yīng)的關(guān)系，即為函數(shù)關(guān)系。例1．下列變量間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是（） A．勻速航行的輪船在2小時內(nèi)航行的路程 B．某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系 C．正方形的面積S與其邊長a之間的關(guān)系 D．光照時間和蘋果的畝產(chǎn)量【答案】C【詳解】由題意，A是常量，B是依賴關(guān)系，C是函數(shù)關(guān)系，D是依賴關(guān)系，故選：C.變式訓(xùn)練1．下列變量之間是函數(shù)關(guān)系的是（） A．某十字路口通過汽車的數(shù)量與時間的關(guān)系 B．家庭的食品支出與電視機價格之間的關(guān)系 C．高速公路上行駛的汽車所行駛的路程與時間的關(guān)系 D．某同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績與物理成績的關(guān)系【答案】C【詳解】對于A，某十字路口通過汽車的數(shù)量與時間沒有確定的關(guān)系，與其它自然因素也有關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，故A錯誤；對于B，家庭的食品支出與電視機價格之間沒有確定的關(guān)系，故B錯誤；對于C，高速公路上行駛的汽車所行駛的路程與時間這兩個變量存在依賴關(guān)系，且對于每一個時間的值，路程是唯一確定的，因此它們之間存在函數(shù)關(guān)系，且時間是自變量，路程是因變量，故C正確；對于D，同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績與物理成績沒有必然的關(guān)系，故D錯誤.故選：C變式訓(xùn)練2．下列變量間為函數(shù)關(guān)系的是（） A．勻速行駛的客車在2小時內(nèi)行駛的路程 B．某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系 C．一只60瓦的白熾燈在7小時內(nèi)的耗電量與時間t的關(guān)系 D．生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系【答案】C【詳解】對選項A：勻速行駛的客車在2小時內(nèi)行駛的路程是常量，不滿足；對選項B：某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系是依賴關(guān)系，不滿足；對選項C：耗電量與時間t的關(guān)系是，是確定的函數(shù)關(guān)系；對選項D：生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系是依賴關(guān)系，不滿足.故選：C考點二：函數(shù)的概念兩個集合為非空集合，且必須滿足一一對應(yīng)的關(guān)系.例2．已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】對選項A：存在點使一個與兩個對應(yīng)，不符合，排除；對選項B：當(dāng)時，沒有與之對應(yīng)的，不符合，排除；對選項C：的范圍超出了集合的范圍，不符合，排除；對選項D：滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.故選：D變式訓(xùn)練1．1859年中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”翻譯成“函數(shù)”，沿用至今，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義.現(xiàn)給出下列四個對應(yīng)關(guān)系，請由函數(shù)的定義判斷，其中能構(gòu)成從A到B的函數(shù)的是（） A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④【答案】A【詳解】解：函數(shù)的定義中滿足“集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)與它對應(yīng)”，結(jié)合定義容易判斷①④為從A到B的函數(shù).故選:A變式訓(xùn)練2．設(shè)集合，.下列四個圖象中能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（） A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】C【詳解】①中：因為在集合中當(dāng)時，在中無元素與之對應(yīng)，所以①不是；②中：對于集合中的任意一個數(shù)，在中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，所以②是；③中：對應(yīng)元素，所以③不是；④中：當(dāng)時，在中有兩個元素與之對應(yīng)，所以④不是；因此只有②滿足題意，故選：C.變式訓(xùn)練3．函數(shù)的定義域為，值域為，則圖像可能是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，值域為，對于A中，函數(shù)的定義域為，不符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域為，值域為，符合題意；對于C中，根據(jù)函數(shù)的概念，一對一對應(yīng)和多多對一對應(yīng)是函數(shù)，而C項中出現(xiàn)一對多對應(yīng)，所以不是函數(shù)，不符合題意；對于D中，函數(shù)的定義域為，但值域為，不符合題意.故選：B考點三：函數(shù)的表示函數(shù)的表示方法：列表法，圖象法，解析式法例3．下列表示關(guān)于的函數(shù)的是（） A． B． C． D．x1234y00－611【答案】D【詳解】對于A，由，解得，所以不是的函數(shù)；對于B，當(dāng)時，有兩個與對應(yīng)，所以不是的函數(shù)；對于C，當(dāng)時，有兩個與對應(yīng)，所以不是的函數(shù)；對于D，滿足是的的函數(shù).故選：D.變式訓(xùn)練1．下表給出了x與和的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)表格可知的值為（）x1234x123431424321 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，所以，故選：B變式訓(xùn)練2．下列四個式子中，是的函數(shù)的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于A選項，，定義域為，定義域內(nèi)每個值按對應(yīng)法則不是唯一實數(shù)與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)，A項錯誤；對于B選項，，定義域為無解，所以不是函數(shù)，B項錯誤；對于C選項，定義域為，對于定義域內(nèi)每一個值都有唯一實數(shù)與之對應(yīng)，所以是函數(shù)，C項正確；對于D選項，當(dāng)時，有兩個值0，1與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)，D項錯誤．故選:C．變式訓(xùn)練3．下列圖形能表示函數(shù)的圖象的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A選項，當(dāng)時，一個對應(yīng)兩個值，不滿足函數(shù)的定義；對于B選項，對于定義內(nèi)每一個，都有唯一的與之對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義；對于C選項，存在一個，有無數(shù)個與之對應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義；對于D選項，當(dāng)時，有兩個與之對應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義.故選：B.考點四：函數(shù)值的求解直接代入法求解函數(shù)值例4．已知，則（） A．2 B．0 C．1 D．4【答案】C【詳解】因為，所以.故選C變式訓(xùn)練1．若，則__________．【答案】5【詳解】，.故答案為：5變式訓(xùn)練2．已知函數(shù)，則的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，故選:D.變式訓(xùn)練3．已知，且，則（） A． B．10 C．9 D．11【答案】A【詳解】因為，且，所以，得，所以，所以，故選：A考點五：已知函數(shù)值求參帶入解析式，化簡求解，注意根是否可以取值例5．已知函數(shù)，且，則實數(shù)＝________.【答案】1或2【詳解】由得，解得或.故答案為：1或2變式訓(xùn)練1．（多選）已知函數(shù)，分別由下表給出：則方程的解可以表示為（）123434124323 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BD【詳解】∵，∴，∴或4.故選：BD變式訓(xùn)練2．若集合，，其中，，.是從定義域到值域的一個函數(shù)，則的值為（） A． B．或 C． D．【答案】C【詳解】解：由對應(yīng)法則知，，，，又，∴，∴解得或(舍)所以于是，∴，∴.故選：C.變式訓(xùn)練3．若函數(shù)，則_________．【答案】4【詳解】因為,所以,故答案為：4.考點六：區(qū)間的表示例6．一般區(qū)間的表示設(shè)，且，規(guī)定如下:定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間______開區(qū)間______半開半閉區(qū)間______半開半閉區(qū)間______【答案】【詳解】(1).若,寫成區(qū)間形式為(2).若,寫成區(qū)間形式為(3).若,寫成區(qū)間形式為(4).若,寫成區(qū)間形式為故答案為:(1).(2).(3).(4).變式訓(xùn)練1．用區(qū)間的方法表示下列集合：表示為_____________；或為_____________.【答案】【詳解】表示為區(qū)間：或表示為區(qū)間：故答案為：變式訓(xùn)練2．區(qū)間及相關(guān)概念（1）區(qū)間的概念及記法設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且，我們規(guī)定：定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間_____開區(qū)間_____半閉半開區(qū)間_____半開半閉區(qū)間_____（2）無窮大實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為___________，“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”，“”讀作“正無窮大”．（3）特殊區(qū)間的表示定義區(qū)間數(shù)軸表示____________________【答案】考點七：同一函數(shù)同一函數(shù)要求：定義域相同，解析式一致，值域相等.例7．（多選）下列各組函數(shù)不是同一個函數(shù)的是（） A．與 B．與 C．與 D．與【答案】ABD【詳解】對于A，的定義域是，的定義域是R，定義域不同，故不是同一函數(shù)，A錯；對于B，與的對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)，B錯；對于C，經(jīng)過化簡可知兩函數(shù)的解析式與定義域都一樣，所以為同一函數(shù)，C對；對于D，的定義域是，的定義域是，定義域不同，故不是同一函數(shù)，D錯.故選：ABD變式訓(xùn)練1．（多選）與表示同一個函數(shù)的是（） A． B． C． D．【答案】AC【詳解】定義域為，且.對于A：，定義域也為，故A正確；對于B：的定義域為，定義域不一樣，故B錯誤；對于C：，定義域與解析式都相同，故C正確；對于D：的定義域為，定義域不一樣，故D錯誤；故選：AC.變式訓(xùn)練2．（多選）下列各組函數(shù)中的與相等的有（） A．與 B．與 C．與 D．與【答案】AC，并且，對應(yīng)關(guān)系相同，所以是同一函數(shù)，故A正確；的定義域為，函數(shù)的定義域為，定義域不相同，所以兩個函數(shù)不是同一函數(shù)，故B錯誤；，并且，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，所以是同一函數(shù)，故C正確；D.兩個函數(shù)的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：AC變式訓(xùn)練3．（多選）下列的函數(shù)與表示的是同一個函數(shù)的是（） A．， B．， C．， D．，【答案】BD【詳解】對于A，易知函數(shù)的定義域為，而的定義域為，即兩函數(shù)的定義域不同，所以A錯誤；對于B，函數(shù)與的定義域為，值域為，且，即其對應(yīng)關(guān)系也相同，故B選項正確；對于C，易知函數(shù)和的定義域為，而的值域為，的值域為，兩函數(shù)值域不同，所以C錯誤；對于D，易知函數(shù)和的定義域為，值域為，且，所以D正確.故選：BD考點八：具體函數(shù)求定義域具體函數(shù)求解析式方法：（1）偶次根號下大于等于零；（2）分布不為零；（3）.例8．函數(shù)的定義域為（） A．且 B． C． D．且【答案】A【詳解】依題意，，解得且，所以函數(shù)的定義域為且.故選：A變式訓(xùn)練1．函數(shù)的定義域為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，解得且，故的定義域為.故選：D.變式訓(xùn)練2．已知集合，，則（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以或，因為，所以，所以，故B，C，D錯誤.故選：A.變式訓(xùn)練3．函數(shù)的定義域是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，且，故函數(shù)的定義域為.故選：B.考點九：抽象函數(shù)求定義域抽象函數(shù)的定義域：（1）定義域單指的范圍；（2）內(nèi)的范圍相同.例9．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.故選:C.變式訓(xùn)練1．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，故，故函數(shù)的定義域為.故選：D變式訓(xùn)練2．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵函數(shù)的定義域為，即，可得，∴函數(shù)的定義域為，令，解得，故函數(shù)的定義域為.故選：B.變式訓(xùn)練3．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)的定義域為，又函數(shù)有意義，則有，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故選：C考點十：實際應(yīng)用問題求定義域例10．已知矩形的周長為1，它的面積S與矩形的一條邊長x之間的函數(shù)關(guān)系中，定義域為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵矩形的周長為1，設(shè)矩形的長為x時，矩形的寬為，，解得：，故選B.變式訓(xùn)練1．已知矩形的周長為定值，設(shè)它的一條邊長為，則矩形面積的函數(shù)的定義域為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】邊長為，另一條邊長為，得，所以，故選：D.變式訓(xùn)練2．已知等腰三角形的周長為40，設(shè)其底邊長為，腰長為；則函數(shù)的定義域為（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知：，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到，所以函數(shù)的定義域為.故選：A變式訓(xùn)練3．如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為______.【答案】【詳解】設(shè)矩形另一邊的長為m，由三角形相似得：，（）,所以,所以矩形草坪的面積，解得：.故答案為：考點十一：已知定義域求參根據(jù)定義域的范圍，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，然后進行參數(shù)范圍的求解.例11．已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，當(dāng)時，顯然符合題意；當(dāng)時，，即，綜上可得實數(shù)的取值范圍是.故選：B.變式訓(xùn)練1．已知函數(shù)的定義域為,求實數(shù)的取值范圍（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意函數(shù)的定義域為，則當(dāng)時，函數(shù)，其定義域為；當(dāng)時，需滿足對一切實數(shù)都成立，即，，綜上可知：.故選：D.變式訓(xùn)練2．若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】由可知且，又的定義域為，故，否則，則，不合題意，故選：A.變式訓(xùn)練3．“”是“函數(shù)的定義域為R”的（） A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，所以對任意恒成立.i.時，對任意恒成立；ii.時，只需，解得：；所以.記集合,.因為AB,所以“”是“函數(shù)的定義域為R”的充分不必要條件.故選：B.【課堂小結(jié)】1．知識清單：(1)函數(shù)的概念；(2)函數(shù)的三要素；(3)區(qū)間的表示；(4)求簡單函數(shù)的定義域和求值；(5)判斷是否為同一個函數(shù)；(6)求抽象函數(shù)的定義域．2．方法歸納：定義法，圖象法，整體代換．3．常見誤區(qū)：函數(shù)概念的理解，整體代換的思想求抽象函數(shù)的定義域．【課后作業(yè)】1．下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為由函數(shù)的概念可知，一個自變量對應(yīng)唯一的一個函數(shù)值，故ABD正確；選項C中，當(dāng)x=0時有兩個函數(shù)值與之對應(yīng)，所以C錯誤.故選：C.2．下列四個圖形中，不是函數(shù)圖象的是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于ABC，每一個的取值均有唯一的一個值與其對應(yīng)，符合函數(shù)定義，則ABC中圖象均為函數(shù)圖象；對于D，對于每一個的取值，都有兩個值與其對應(yīng)，不符合函數(shù)定義，則D中圖象不是函數(shù)圖象.故選：D.3．（多選）以下從M到N的對應(yīng)關(guān)系表示函數(shù)的是（） A． B． C． D．【答案】AB【詳解】A中，，，集合M中的任何一個元素，在集合N中都有唯一元素和它對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義；B中，，，M中任一元素，在N中都有唯一的元素與之對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義；C中，M中任一元素，在N中都有兩個對應(yīng)的元素，不滿足函數(shù)的定義；D中，，M中元素0，在N中無對應(yīng)的元素，不滿足函數(shù)的定義；故選：AB．5．中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.已知集合，給出下列四個對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即任取，總有，故C正確；對于D中，當(dāng)時，，故D錯誤．故選：C．6．已知函數(shù)，那么的值（） A．3 B．5 C．7 D.【答案】C【詳解】.故選：C7．若集合，，則從集合到集合的不同映射的個數(shù)是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)映射的定義，集合中的每一個元素，在集合中，都有唯一確定的對應(yīng)元素，因為集合中有個元素，每個元素可以有種對應(yīng)方式，所以根據(jù)分步乘法原理，共有種可能，所以，從集合到集合的不同映射的個數(shù)是個.故選：D8．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】由有意義可得，化簡可得，所以函數(shù)