1.2一元二次方程的解法（解析版）

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第1章一元二次方程》1.2一元二次方程的解法知識點一知識點一直接開平方法◆1、用直接開平方法解一元二次方程（1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．（2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；（3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．◎◎◎注意事項：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．知識點二知識點二配方法◆1、將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．◆2、用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．知識點三知識點三公式法◆1、把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．◆3、用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．【注意】：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．知識點四知識點四因式分解法◆1、用因式分解法解一元二次方程：（1）若一元二次方程整理后右邊為0，且左邊能進行因式分解，則宜選用因式分解法．（2）因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解．◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．題型一用直接開平方法解一元二次方程題型一用直接開平方法解一元二次方程【例題1】（2023?西青區(qū)二模）方程（x+6）2﹣9＝0的兩個根是（）A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9【分析】直接開平方法求解即可．【解答】解：∵（x+6）2﹣9＝0，∴（x+6）2＝9，則x+6＝±3，∴x1＝﹣3，x2＝﹣9，故選：D．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適、簡便的方法求解．解題技巧提煉左平方，右非負，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，二次方程有實根，兩根分別寫清楚.【變式1-1】（2022秋?玄武區(qū)期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（）A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C．x1=3，x2=-3 D．x1＝【分析】利用直接開平方法解出方程．【解答】解：x2﹣9＝0，則x2＝9，∴x＝±3，∴x1＝3，x2＝﹣3，故選：D．【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，熟記直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．【變式1-2】（2022秋?路北區(qū)校級月考）關于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m無實數(shù)根，那么m滿足的條件是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1【分析】方程左邊是一個式的平方，根據(jù)平方的非負性，得關于m的不等式，求解不等式即可．【解答】解：當1﹣m＜0時，方程無解．即m＞1．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的直接開平方法，運用直接開平方法，等號的另一邊必須是非負數(shù)．【變式1-3】（2023春?蓬萊區(qū)期中）若一元二次方程ax2﹣b＝0的兩個根分別為m+1，2m﹣4，則baA．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)方程的特點知m+1+2m﹣4＝0，據(jù)此得出m的值，繼而得出兩根的具體數(shù)值，代入得出答案．【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣b＝0（ab＞0）的兩個根分別是m+1與2m﹣4，∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，∴方程的兩根為2、﹣2，∴4a﹣b＝0，∴4a＝b，則ba=故選：A．【點評】本題主要考查解一元二次方程—直接開平方法，解題的關鍵是掌握利用直接開平方法求解的一元二次方程的特點．【變式1-4】（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先將方程整理為x2=49（2）首先將方程整理為（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意義直接開方求解即可．【解答】解：（1）4x2＝49，x2=49∴x=±7∴x1=72，x2（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，∴x1＝3，x2＝﹣2．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．【變式1-5】（2022秋?蓮湖區(qū)校級期中）解下列方程：（1）9x2＝25；（2）6（x+2）2＝48．【分析】（1）先把方程化為x2（2）先把方程化為（x+2）2＝8，再利用直接開平方法解方程即可．【解答】解：（1）∵9x2＝25，∴x2解得：x=53或（2）∵6（x+2）2＝48，∴（x+2）2＝8，∴x+2=±22解得：x=-2+22或x=-2-2【點評】本題考查的是利用直接開平方法解方程，二次根式的化簡，掌握“利用直接開平方法解方程”是解本題的關鍵．【變式1-6】（2022秋?蓮湖區(qū)校級月考）解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）14（2x+3）2﹣54＝0【分析】（1）整理得到x2=25（2）整理得到（x+1）2＝36，然后利用直接開平方法解方程．（3）整理得到（2x+3）2＝216，然后利用直接開平方法解方程．【解答】解：（1）16x2＝25，x2=25∴x＝±54∴x1=54，x2（2）3（x+1）2﹣108＝0，3（x+1）2＝108（x+1）2＝36，∴x+1＝±6，∴x1＝5，x2＝﹣7．（3）14（2x+3）2﹣54＝0（2x+3）2＝216，∴2x+3＝±66，∴x1=-3+662，x【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．題型二用配方法解一元二次方程題型二用配方法解一元二次方程【例題2】（2023?隴南模擬）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正確的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x＝﹣2，∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，∴（x﹣2）2＝2，故選：A．【點評】本題考查解一元二次方程—配方法，解題的關鍵是熟練掌握配方法解一元二次方程的方法，本題屬于基礎題型．解題技巧提煉用配方法解題過程中的靈活應用：常數(shù)項可被二次項系數(shù)整除的，可先將系數(shù)化為1；常數(shù)項不能被二次項系數(shù)整除的，先移項更加簡單.【變式2-1】（2023?乾安縣三模）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，將方程變?yōu)椋▁﹣m）2=13的形式，則m的值為【分析】利用配方法的步驟，把方程變形為（x﹣m）2=13的形式后確定【解答】解：移項，得3x2﹣6x＝﹣2，系數(shù)化為1，得x2﹣2x=-2方程的兩邊都加1，得x2﹣2x+1=1∴（x﹣1）2=1∴m＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的配方法是解決本題的關鍵．【變式2-2】（2023?陽谷縣二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5時，此方程可變形為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（）A．3 B．﹣1 C．11 D．7【分析】兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，繼而可得答案．【解答】解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，則a＝﹣2，b＝9，∴a+b＝﹣2+9＝7，故選：D．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適、簡便的方法求解．【變式2-3】（2023春?淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0時，將方程配方為（x﹣m）2＝n，則m、n的值分別為（）A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2【分析】根據(jù)配方法的一般步驟將常數(shù)項7移項后，再等式兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣6的一半的平方，即可得出答案．【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，∴x2﹣6x＝﹣7，∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2，∴（x﹣3）2＝2，∴m＝3，n＝2．故選：D．【點評】本題考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解此題的關鍵．【變式2-4】（2023?東阿縣一模）將一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b為常數(shù)）的形式，則ab＝．【分析】先移項，再兩邊都配上16，然后寫成完全平方公式即可得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x＝5，∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴b＝21，∴a＝﹣4，∴ab＝﹣84，故答案為：﹣84．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．【變式2-5】用配方法解方程：（1）x2﹣10x﹣2＝0；（2）y（y+3）=74；（3）2x2+x+1＝6x﹣【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．【解答】解：（1）x2﹣10x﹣2＝0，x2﹣10x+25＝2+25，（x﹣5）2＝27，x-5=±33x1=33（2）y（y+3）=7y2(y+3y+3y1=1（3）2x2+x+1＝6x﹣1，2x2﹣5x＝﹣2，x2x2(x-5x-5x1＝2，x2＝1．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關鍵．【變式2-6】（2022秋?潁州區(qū)校級期末）用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【分析】各方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）原方程可化為x2-43x∴x2-43x+49=109∴x-23=∴x1=23+103（2））原方程可化為x2-13x∴x2-13x+136=736∴x-16=∴x1=16+76（3）原方程可化為x2-32x∴x2-32x+916=116∴x-34=∴x1＝1，x2=1（4）原方程可化為x2-52x＝﹣∴x2-52x+2516=916∴x-54=∴x1＝2，x2=1【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．題型三用公式法解一元二次方程題型三用公式法解一元二次方程【例題3】用公式法解方程4x2﹣12x＝3得到（）A．x1=-3+62，x2=-3-62 B．x1C．x1=-3+232，x2=-3-232 D．x【分析】先對方程進行移項，確定一元二次方程的各項系數(shù)，并求出根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值；代入求根公式x=-b±【解答】解：方程移項，得4x2﹣12x﹣3＝0，所以a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3，根的判別式為Δ＝b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝192＞0，由求根公式得x=-b±所以原方程的解為x1=3+232，x故選：B．【點評】本題考查的是用公式法解一元二次方程，解題的關鍵時掌握公式法解一元二次方程的步驟．解題技巧提煉運用公式法解一元二次方程時，一定要把方程化成一般形式，再確定a，b，c的值，并且不要出現(xiàn)符合錯誤．【變式3-1】（2023?豐順縣校級開學）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（）A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0【分析】根據(jù)在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可確定答案．【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0時，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故選：A．【點評】本題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【變式3-2】（2023?湘潭開學）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x時a，b，c的值是（）A．a(chǎn)＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝﹣2【分析】先將方程化為一般形式，然后即可寫出a、b、c，本題得以解決．【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，∴3x2﹣4x﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，故選：C．【點評】本題考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程﹣公式法，解答本題的關鍵是明確一元二次方程的一般形式．【變式3-3】（2022春?瑯琊區(qū)校級月考）我們規(guī)定一種新運算“★”，其意義為a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，則x的值為（）A．x＝﹣26 B．x1＝﹣4，x2＝11 C．x1＝2，x2=-112 D．x1＝﹣2，x【分析】利用定義的新運算可得（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28，整理得：2x2﹣7x﹣22＝0，然后利用解一元二次方程﹣公式法，進行計算即可解答．【解答】解：∵（x﹣2）★（1﹣x）＝28，∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28，x2﹣4x+4﹣（x﹣x2﹣2+2x）＝28，x2﹣4x+4﹣x+x2+2﹣2x＝28，2x2﹣7x+6＝28，2x2﹣7x﹣22＝0，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣22）＝49+176＝225＞0，∴x=7±∴x1=7+154=112，故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法，有理數(shù)的混合運算，理解定義的新運算是解題的關鍵．【變式3-4】若代數(shù)式4x2﹣2x﹣5與2x2+1的值互為相反數(shù)，則x的值為（）A．1或-32 B．1或-23 C．﹣1或23 【分析】根據(jù)代數(shù)式4x2﹣2x﹣5與2x2+1的值互為相反數(shù)，列出等式，化為一元二次方程的一般式，用根公式解出此方程即可．【解答】解：∵4x2﹣2x﹣5與2x2+1的值互為相反數(shù)，∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1＝0，∴6x2﹣2x﹣4＝0，∵a＝6，b＝﹣2，c＝1，∴b2﹣4ac＝100＞0，∴x=2±∴x1＝1或x2=-2故選：B．【點評】本題考查解一元二次方程﹣公式法、相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義、根據(jù)定義列出等式，用求根公式解出此方程是解題關鍵．【變式3-5】用公式法解方程：（1）2x2﹣3x＝5；（2）3x（x﹣2）+1＝0；（3）6x2+2＝﹣5x．【分析】各方程整理后，利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：2x2﹣3x﹣5＝0，這里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝9+40＝49＞0，∴x=3±7解得：x1=52，x2＝﹣（2）方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，這里a＝3，b＝﹣6，c＝1，∵Δ＝（﹣6）2﹣4×3×1＝36﹣12＝24＞0，∴x=6±2解得：x1=3+63，x（3）方程整理得：6x2+5x+2＝0，這里a＝6，b＝5，c＝2，∵Δ＝52﹣4×6×2＝25﹣48＝﹣23＜0，∴方程沒有實數(shù)根．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．【變式3-6】用公式法解方程：（1）x2+x﹣6＝0；（2）x2-3x-1（3）3x2﹣6x+2＝0；（4）4x2﹣6x＝0．【分析】（1）公式法解方程；（2）公式法解方程：（3）公式法解方程：（4）公式法解方程：【解答】解：（1）x2+x﹣6＝0，Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，x=-b±x1＝2，x2＝﹣3；（2）x2-3x-Δ＝b2﹣4ac＝（-3）2﹣4×1×（-14）＝4x=3x1=3+22，x（3）3x2﹣6x+2＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×2＝12＞0x=x1=3+33，x（4）4x2﹣6x＝0Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×0＝36＞0x=x1＝0，x2=3【點評】本題考查用公式法解一元二次方程，掌握Δ的性質(zhì)是解題關鍵．題型四用因式分解法解一元二次方程題型四用因式分解法解一元二次方程【例題4】（2023?晉城模擬）一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解為（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1【分析】先移項，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：（x﹣5）2＝4（x﹣5），（x﹣5）2﹣4（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5﹣4）＝0，x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，所以x1＝5，x2＝9．故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．解題技巧提煉因式分解法適用的條件，若一元二次方程右邊為0，左邊比較容易分解為兩個一次式乘積的形式，則常用因式分解法解方程．【變式4-1】（2023春?甌海區(qū)期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（）A．5和-12 B．-12 C．5 D【分析】提取公因式（2x+1）即可得到（x﹣5）（2x+1）＝0，然后解兩個一元一次方程即可．【解答】解：∵x（2x+1）＝5（2x+1），∴x（2x+1）﹣5（2x+1）＝0，∴（x﹣5）（2x+1）＝0，∴x1＝5，x2=-1故選：A．【點評】本題主要考查了解一元二次方程的知識，根據(jù)方程的特點選擇合適的方法解一元二次方程是解決此類問題的關鍵．一般解一元二次方程的方法有直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法．【變式4-2】（2023?臨安區(qū)一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1【分析】先移項得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故選：B．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式4-3】（2023春?鹿城區(qū)期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根為x1＝3，x2＝7，則方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是．【分析】由方程x2﹣10x+21＝0的根為x1＝3，x2＝7，知方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，【解答】解：∵方程x2﹣10x+21＝0的根為x1＝3，x2＝7，∴在方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，解得x＝2或x＝4，故答案為：x1＝2，x2＝4．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解題的關鍵是將2x﹣1看做整體得出2x﹣1的值．【變式4-4】（2023春?肇源縣期中）方程x2﹣9x+18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰的長，則這個三角形的周長是（）A．12 B．15 C．12或15 D．18或9【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝6，再根據(jù)三角形三邊的關系得等腰三角形的底為3，腰為6，然后計算三角形的周長．【解答】解：x2﹣9x+18＝0，（x﹣3）（x﹣6）＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形的底為3，腰為6，這個等腰三角形的周長為3+6+6＝15．故選：B．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉(zhuǎn)化思想）．【變式4-5】（2022春?天橋區(qū)校級期中）用因式分解法解下列一元二次方程：（1）x2﹣6x+8＝0；（2）3x﹣x2＝x﹣3；（3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【分析】（1）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣4＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；（2）先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可；（3）先移項得到（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，（x﹣4）（x﹣2）＝0，x﹣4＝0或x﹣2＝0，所以x1＝4，x2＝2；（2）3x﹣x2＝x﹣3，x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1；（3）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，所以x1＝3，x2＝5．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式4-6】（2022秋?金鄉(xiāng)縣期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．過程為：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．【分析】（1）根據(jù)分組分解法分解因式；（2）先把等式的左邊分解因式，再判斷三角形的形狀．【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2﹣16＝（3x﹣y）2﹣42＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC的形狀是等腰三角形．【點評】本題考查了因式分解的應用，理解新定義是解題的關鍵．題型五用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠填}型五用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭纠}5】（2023春?金寨縣期中）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）7x2＝21x；（2）x2﹣6x＝﹣8；（3）2x2﹣6x﹣1＝0；（4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2．【分析】（1）將原方程轉(zhuǎn)化為7x2﹣21x＝0，再利用因式分解法求解即可；（2）將原方程轉(zhuǎn)化為x2﹣6x+8＝0，再利用因式分解法求解即可；（3）直接利用公式法求解即可；（4）兩邊開方，得到兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）將原方程轉(zhuǎn)化為7x2﹣21x＝0，∴7x（x﹣3）＝0，∴7x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3；（2）將原方程轉(zhuǎn)化為x2﹣6x+8＝0，∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝2，x2＝4；（3）∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝36+8＝44，∴x=-b±∴x1=3+（4）將方程轉(zhuǎn)化為3（x﹣2）＝±2（x+1），∴3（x﹣2）＝2（x+1）或3（x﹣2）＝﹣2（x+1），解得：x1＝8，x2【點評】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．解題技巧提煉選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠虝r，要根據(jù)方程的特點選擇適當?shù)姆椒?，先考慮直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法時，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程．【變式5-1】用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）x2﹣x﹣1＝0；（2）（y﹣1）2﹣25＝0；（3）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接開平方法求解即可；（3）先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解即可．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，則x=-b±即x1=1+52，x（2）∵（y﹣1）2﹣25＝0，∴（y﹣1）2＝25，則y﹣1＝±5，解得y1＝6，y2＝﹣4；（3）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，則（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，解得x1＝1，x2=-2【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．【變式5-2】（2022秋?蓮湖區(qū)校級月考）解方程：（1）用配方法解方程：x2﹣2x＝4x+3；（2）14x2﹣x﹣4＝0（3）4（x﹣1）2﹣36＝0；（4）（x+1）（x﹣2）＝4．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用直接開平方法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x＝4x+3，x2﹣6x＝3，x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，∴x﹣3＝±23，∴x1＝3+23，x2＝3﹣23；（2）14x2﹣x﹣4＝0x2﹣4x＝16，x2﹣4x+4＝16+4，即（x﹣2）2＝20，∴x﹣2＝±25，∴x1＝2+25，x2＝2﹣25；（3）4（x﹣1）2﹣36＝0，（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2；（4）（x+1）（x﹣2）＝4，x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，∴x﹣3＝0或x+2＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．【變式5-3】用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2+4x﹣6＝0．（2）（x+4）2＝5（x+4）．（3）3x2﹣1＝4x．（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．【分析】（1）先移項，再配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（3）移項后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可；（4）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0，x2+4x＝6，配方，得x2+4x+4＝6+4，（x+2）2＝10，開方，得x+2=±10x1＝﹣2+10，x2＝﹣2-（2）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0，或x+4﹣5＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1；（3）3x2﹣1＝4x，3x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，x=-b±解得：x1=2+73，x（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0，（x+2﹣3）（x+2﹣5）＝0，x+2﹣3＝0或x+2﹣5＝0，解得：x1＝1，x2＝3．【點評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．【變式5-4】解下列方程：（1）x2﹣4x＝3；（2）3x2﹣4x﹣1＝0；（3）2y2+4y＝y(tǒng)+2；（4）（x+1）2+4（x+1）+4＝0．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可；（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（4）把x+1看作整體，利用完全平方公式變形，開方求出解即可．【解答】解：（1）配方得：x2﹣4x+4＝7，整理得：（x﹣2）2＝7，開方得：x﹣2＝±7，解得：x1＝2+7，x2＝2-（2）這里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝28＞0，∴x=-b±解得：x1=2+73，x（3）方程移項得：2y2+4y﹣（y+2）＝0，變形得：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，即（y+2）（2y﹣1）＝0，所以y+2＝0或2y﹣1＝0，解得：y1＝﹣2，y2=1（4）方程分解得：（x+1+2）2＝0，即（x+3）2＝0，所以x+3＝0，解得：x1＝x2＝﹣3．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，公式法，以及因式分解法，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．【變式5-5】一元二次方程有多種解法，如因式分解法、開平方法、配方法和公式法，還可以運用十字相乘法，請從以下一元二次方程中任選兩個，并選擇你認為適當?shù)姆椒ń膺@個方程．①x2﹣4x﹣1＝0；②x（2x+1）＝8x﹣3；③x2+3x+1＝0；④x2﹣9＝4（x﹣3）．【分析】①用配方法求解即可；②利用因式分解法求解即可；③利用公式法求解即可；④利用因式分解法求解即可．【解答】解：①x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，∴x﹣2=±5x1＝2+5，x2＝2-②x（2x+1）＝8x﹣3，2x2﹣7x+3＝0，（2x﹣1）（x﹣3）＝0，∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1=12，x2＝③x2+3x+1＝0，∵a＝1，b＝3，c＝1，∴Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，∴x=-b±∴x1=-3+52，x④x2﹣9＝4（x﹣3），（x+3）（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x+3﹣4）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝3，x2＝1．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．題型六用十字相乘法解一元二次方程題型六用十字相乘法解一元二次方程【例題6】（2023?濱海新區(qū)二模）方程x2+10x+9＝0的兩個根是（）A．x1＝1，x2＝9 B．x1＝﹣1，x2＝9 C．x1＝1，x2＝﹣9 D．x1＝﹣1，x2＝﹣9【分析】根據(jù)已知方程得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解即可．【解答】解：x2+10x+9＝0∵（x+1）（x+9）＝0，∴x+1＝0或x+9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣9，故選：D．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．解題技巧提煉①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：這種方法的關鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．【變式6-1】（2023?河東區(qū)二模）方程x2﹣4x﹣5＝0的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5【分析】先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣5＝0或x+1＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1．故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式6-2】（2023?河北區(qū)一模）方程x2+7x+12＝0的兩個根為（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝4【分析】利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x+3＝0或x+4＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：x2+7x+12＝0，（x+3）（x+4）＝0，x+3＝0或x+4＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣4．故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式6-3】（2023春?譙城區(qū)校級月考）下列各數(shù)中是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解的是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x＝3 D．x＝﹣3【分析】先利用因式分解法解方程，然后對各選項進行判斷．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1．故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了一元二次方程的解．【變式6-4】用十字相乘法解下列方程：（1）x2+6x﹣7＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0；（3）2x2﹣5x﹣3＝0；（4）2x2+15x+7＝0．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵x2+6x﹣7＝0，∴（x﹣1）（x+7）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣7．（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．（3）∵2x2﹣5x﹣3＝0，∴（2x+1）（x﹣3）＝0，∴x1=-12，x2＝（4）∵2x2+15x+7＝0，∴（2x+1）（x+7）＝0，∴x1=-12，x2＝﹣【點評】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式6-5】（2023春?寧明縣期中）閱讀理解題：在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解，基本式子為：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），例如：分解因式x2﹣8x+12，x2＝x?x，12＝（﹣2）×（﹣6），按下圖排列：xx＜-2得到x2﹣8x+12＝（x﹣6）（x﹣2），這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：（1）分解因式：x2+4x﹣12；（2）先分解因式，再求值：（a2+2a）2﹣2（a2+2a）﹣3，其中a＝2．【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進行因式分解．（2）先運用十字相乘法進行因式分解，再代入求解．【解答】解：（1）x2+4x﹣12＝（x﹣2）（x+6）．（2）（a2+2a）2﹣2（a2+2a）﹣3＝（a2+2a+1）（a2+2a﹣3）＝（a+1）2（a2+2a﹣3）．當a＝2時，原式＝（2+1）2×（22+4﹣5）＝9×3＝27．【點評】本題主要考查因式分解，熟練掌握十字相乘法進行因式分解是解決本題的關鍵．【變式6-6】閱讀下列材料：（1）將x2+2x﹣35分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項與常數(shù)項：x2＝x?x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，驗中項：7x+（﹣5x）＝2x．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑簒2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．（2）根據(jù)乘法原理：若ab＝0，則a＝0或b＝0．試用上述方法和原理解下列方程：①x2﹣10x+21＝0；②x2﹣5x﹣6＝0；③3x2﹣2x﹣1＝0；④2x2+x﹣6＝0．【分析】（1）（2）（3）（4）利用十字相乘法因式分解求解．【解答】解：①∵x2﹣10x+21＝0，∴（x﹣7）（x﹣3）＝0，∴x﹣7＝0，x﹣3＝0，∴x1＝7，x2＝3；②∵x2﹣5x﹣6＝0，∴（x﹣6）（x+1）＝0，∴x﹣6＝0，x+1＝0，∴x1＝6，x2＝﹣1；③∵3x2﹣2x﹣1＝0，∴（x﹣1）（3x+1）＝0，∴x﹣1＝0，3x+1＝0，∴x1＝1，x2=-1④∵2x2+x﹣6＝0，∴（x+2）（2x﹣3）＝0，∴x+2＝0，2x﹣3＝0，∴x1＝﹣2，x2=3【點評】本題考查一元二次方程﹣因式分解法，解題的關鍵是掌握十字相乘法因式分解，屬于中考?？碱}型．題型七用換元法解一元二次方程題型七用換元法解一元二次方程【例題7】（2023春?濱海縣期中）如果有理數(shù)a、b同時滿足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值為（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不對【分析】設a2+b2＝x，則方程化為（x+3）（x﹣3）＝16，求出x的值，再得出選項即可．【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，設a2+b2＝x，則方程化為：（x+3）（x﹣3）＝16，x2﹣9＝16，x2＝25，x＝±5，當x＝5時，a2+b2＝5，當x＝﹣5時，a2+b2＝﹣5，∵不論a、b為何值，a2+b2≥0，∴此時不行，即a2+b2＝5，故選：B．【點評】本題考查了用換元法解一元二次方程，能正確換元是解此題的關鍵．解題技巧提煉1、解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．【變式7-1】（2022春?海門市校級期中）若（x2+y2+2）（x2+y2﹣3）＝6，則x2+y2＝（）A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．﹣1或3【分析】設t＝x2+y2（t≥0），則原方程轉(zhuǎn)化為（t+2）（t﹣3）＝6，然后利用因式分解法解該方程求得t的值即可．【解答】解：設t＝x2+y2（t≥0），則原方程轉(zhuǎn)化為（t+2）（t﹣3）＝6，整理，得（t﹣4）（t+3）＝0，解得t1＝4，t2＝﹣3（舍去）．則x2+y2＝4．故選：B．【點評】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．