2.1正數(shù)和負(fù)數(shù)（解析版）

（蘇科版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章有理數(shù)》2.1正數(shù)和負(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一正數(shù)和負(fù)數(shù)◆1、正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念：像1，2，3，1.8％這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù).像-3，-1，-2，-2.7％這樣在正數(shù)前面加上符號(hào)“-”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù).【注意】正數(shù)前面的“＋”號(hào)可以省略不寫，負(fù)數(shù)前面的“﹣”號(hào)不能省略不寫.◆2、0的意義：（1）0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；（2）0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界.（3）0不僅表示“沒有”，還可以表示某種量的基準(zhǔn)，如0℃可以表示實(shí)際溫度為冰點(diǎn)時(shí)的計(jì)量結(jié)果.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量◆1、具有相反意義的量包含兩層含義：（1）具有相反意義；（2）具有數(shù)量.◆2、用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量為了更好的區(qū)分這些具有相反意義的量，通常我們把其中一種意義的量規(guī)定為正，用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三整數(shù)和分?jǐn)?shù)◆1、整數(shù)和分?jǐn)?shù)分類正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零統(tǒng)稱為整數(shù)．正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)．◆2、部分常用的數(shù)：（1）正整數(shù)：例如：1，2，3，…；負(fù)整數(shù)：例如：－1，－2，－3，…；（2）正分?jǐn)?shù)：例如：23，212，3.14，…負(fù)分?jǐn)?shù)：例如：….（3）非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0；非正數(shù)：負(fù)數(shù)和0；（4）非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和0；非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和0；題型一正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念題型一正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念【例題1】（2023?成武縣校級(jí)三模）下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．2023【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：﹣1是負(fù)數(shù)，則A符合題意；0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，則B不符合題意；2和2023均為正數(shù)，則C，D均不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．解題技巧提煉在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號(hào)叫做它的符號(hào)．【變式1-1】（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)二模）在﹣2，0，0.5，-3四個(gè)數(shù)中，是正數(shù)的是（）A．﹣2 B．0 C．0.5 D．-3【分析】直接利用正數(shù)的定義分析得出答案．【解答】解：在﹣2，0，0.5，-3四個(gè)數(shù)中，是正數(shù)的是0.5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正數(shù)，正確掌握負(fù)數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2022?梁山縣模擬）在數(shù)﹣1，0，﹣3.05，﹣π，+2，-1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)小于0判斷即可．【解答】解：在數(shù)﹣1，0，﹣3.05，﹣π，+2，-12中，負(fù)數(shù)有﹣1，﹣3.05，﹣π，-1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)，理解正負(fù)數(shù)的意義是判斷的前提．【變式1-3】（2023?襄州區(qū)模擬）在﹣2，3，13，0，﹣1.7A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0判斷即可．【解答】解：在﹣2，3，13，0，﹣1.7五個(gè)數(shù)中，正數(shù)有3，13，共故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2022秋?寧德期末）用﹣a表示的數(shù)是（）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．負(fù)數(shù)或正數(shù) D．負(fù)數(shù)或正數(shù)或0【分析】利用正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義來判斷．【解答】解：﹣a表示的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)、負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義．【變式1-5】已知下列各數(shù)：-23，﹣212，3.14，0，0.5，﹣216，-6，12，其中正數(shù)有【分析】根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的特征可判定求解．【解答】解：在-23，﹣212，3.14，0，0.5，﹣216，-6，12中，正數(shù)有3.14，0.5，12；負(fù)數(shù)有﹣216，-6．故答案為3.14，0.5，12；-23，﹣21【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．題型二0的再認(rèn)識(shí)題型二0的再認(rèn)識(shí)【例題2】（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期中）有下列關(guān)于“0”的說法：①0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義；④0是正數(shù)；⑤0是非負(fù)數(shù)；⑥某地海拔為0m表示沒有海拔．其中正確的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)0的意義逐一分析判斷即可．【解答】解：①0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，說法正確；②0只表示“什么也沒有”，說法錯(cuò)誤，0可以表示特定意義，如0刻度等；③0可以表示特定的意義，如0°C等，說法正確；④既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，故原說法錯(cuò)誤；⑤0是非負(fù)數(shù)，說法正確；⑥海拔0m有高度的，原來的說法錯(cuò)誤．所以正確的有①③⑤，共3個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟記零的意義是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，0不僅表示“沒有”，還可以表示某種量的基準(zhǔn)．【變式2-1】（2023?泗陽(yáng)縣一模）既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有0．【解答】解：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的知識(shí)，注意熟練掌握：既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有0．【變式2-2】（2022秋?開福區(qū)校級(jí)月考）下列關(guān)于數(shù)“0”的說法正確的是（）A．0僅表示“沒有” B．0既是整數(shù)，也是分?jǐn)?shù) C．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) D．0有倒數(shù)【分析】根據(jù)0是整數(shù)但不是分?jǐn)?shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0有相反數(shù)但沒有倒數(shù)，再結(jié)合選項(xiàng)判斷即可．【解答】解：0在具體的情境中，表示具體的含義，故A不符合題意；0是整數(shù)但不是分?jǐn)?shù)，故B不符合題意；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故C符合題意；0沒有倒數(shù)，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了，正數(shù)和負(fù)數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)，0的特殊性是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】規(guī)定10噸記為0噸，11噸記為+1噸，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．8噸記為﹣8噸 B．15噸記為+5噸 C．6噸記為﹣4噸 D．+3噸表示重量為13噸【分析】此題主要用正負(fù)數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：選10噸為標(biāo)準(zhǔn)記為0，超過部分為正，不足的部分為負(fù)，直接得出結(jié)論即可．【解答】解：A、10﹣8＝2（噸）所以8噸記為﹣2噸，而不是﹣8噸，故A說法錯(cuò)誤；B、15﹣10＝5（噸）所以15噸記為+5噸說法正確；C、10﹣6＝4（噸）所以﹣4噸表示重量為6噸說法正確；D、13﹣10＝3（噸）所以+3噸表示重量為13噸說法正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題首先要知道以誰(shuí)為標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定超出標(biāo)準(zhǔn)的為正，低于標(biāo)準(zhǔn)的為負(fù)，由此用正負(fù)數(shù)解答問題．題型三題型三判斷是否為相反意義的量【例題3】（2022秋?冷水灘區(qū)月考）下列選項(xiàng)中具有相反意義的量是（）A．氣溫升高6℃與氣溫零下8℃ B．向東行駛5km與向北行駛10km C．運(yùn)進(jìn)6kg蘋果與賣完5kg蘋果 D．水位上升0.6米與水位下降1米【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【解答】解：A、氣溫升高6℃與氣溫零下8℃不具有相反意義的量，故選項(xiàng)不合題意；B、向東行駛5km與向北行駛10km是不具有相反意義的量，故選項(xiàng)不合題意；C、運(yùn)進(jìn)6kg蘋果與賣完5kg蘋果不具有相反意義的量，故選項(xiàng)不合題意；D、水位上升0.6米與水位下降1米是一對(duì)意義相反的量，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了對(duì)正負(fù)數(shù)概念的理解，關(guān)鍵明確正負(fù)數(shù)是表示一對(duì)意義相反的量．解題技巧提煉具有相反意義的量必須滿足兩個(gè)條件，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．【變式3-1】下列是具有相反意義的量的是（）A．向東走5米和向北走5米 B．身高增加2厘米和體重減少2千克 C．勝1局和虧本70元 D．收入50元和支出40元【分析】相反意義的量主要記住兩個(gè)因素，第一，同一屬性，第二，意義相反．【解答】解：A．“向東”與“向北”，沒有具體數(shù)量，不符合題意；B．身高和體重不是相反的量，不符合題意；C．勝1局和虧本70元不是相反的量，不符合題意；D．收入50元和支出40元具有相反意義，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵：相反意義的量的兩個(gè)關(guān)鍵因素，它們必須是同一屬性，意義相反．【變式3-2】（2022秋?藍(lán)山縣期中）下列表示相反意義的量的是（）A．向東走3米和向南走3米 B．盈利500元和虧損400元 C．收入100元和虧損100元 D．海上5米和地上6米【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．向東走3米和向西走3米是一組具有相反意義的量，則A不符合題意；B．盈利500元和虧損400元是一組具有相反意義的量，則B符合題意；C．收入100元和支出100元是一組具有相反意義的量，則C不符合題意；D．海上5米和海下5米是一組具有相反意義的量，則D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相反意義的量，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．【變式3-3】（2022?杭州模擬）下列選項(xiàng)中具有相反意義的量是（）A．氣溫上升5℃和零下5℃ B．順時(shí)針4圈和逆時(shí)針3圈 C．盈利200元和支出300元 D．走了100米和跑了100米【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)是表示一對(duì)意義相反的量，可以辨別出只順時(shí)針4圈和逆時(shí)針3圈的意義符合．【解答】解：A、氣溫上升5°C和零下5°C不具有相反意義的量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；B、順時(shí)針4圈和逆時(shí)針3圈是一對(duì)意義相反的量，故選項(xiàng)正確，符合題意；C、盈利200元和支出300元不具有相反意義的量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意，D、走了100米和跑了100米不具有相反意義的量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了對(duì)正負(fù)數(shù)概念的理解，關(guān)鍵明確正負(fù)數(shù)是表示一對(duì)意義相反的量．【變式3-4】在下列選項(xiàng)中，具有相反意義的量是（）A．上升了6米和后退了7米 B．賣出10斤米和盈利10元 C．收入20元與支出30元 D．向東行30米和向北行30米【分析】上升與下降，后退與前進(jìn)，賣出和買入，收入和支出，向東和向西是相反的意義，據(jù)此可判斷．【解答】解：A、不是互為相反意義的量，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是互為相反意義的量，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是互為相反意義的量，故本選項(xiàng)符合題意；D．不是互為相反意義的量，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的題目，正確理解表示相反意義的量是解題關(guān)鍵．【變式3-5】（2022秋?和平區(qū)期末）下列各組量中，不是互為相反意義的量的是（）A．收入80元與支出30元 B．上升20米與下降15米 C．超過5厘米與不足3厘米 D．增大2歲與減少2升【分析】答題時(shí)首先知道正負(fù)數(shù)的含義，在用正負(fù)數(shù)表示向指定方向變化的量時(shí)，通常把向指定方向變化的量規(guī)定為正數(shù)，而把向指定方向的相反方向變化的量規(guī)定為負(fù)數(shù)．【解答】解：收入80元與支出30元具有相反意義，故A不符合題意，上升20米與下降15米具有相反意義，故B不符合題意，超過5厘米與不足3厘米有相反意義，故C不符合題意，增大2歲與減少2升沒有相反意義，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握互為相反意義的量的含義是解題的關(guān)鍵．題型四題型四運(yùn)用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量【例題4】（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)四模）中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)來表示相反意義的量的國(guó)家，如果盈利50元，記作“+50元”，那么虧損30元，記作（）A．+30元 B．﹣20元 C．﹣30元 D．+20元【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)來表示相反意義，盈利50元，記作“+50元”，虧損30元，則記作“﹣30元”即可求解．【解答】解：∵盈利50元，記作“+50元”，∴虧損30元，記作“﹣30元”．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是掌握正負(fù)數(shù)的意義的運(yùn)用．解題技巧提煉用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．通常我們把其中一種意義的量規(guī)定為正，用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示．【變式4-1】（2023?瓊山區(qū)校級(jí)模擬）如果公元前500年記作﹣500年，那么公元2023年應(yīng)記作（）A．﹣2023年 B．+1523年 C．+2023年 D．+2523年【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：公元前500年記作﹣500年，那么公元2023年應(yīng)記作+2023年，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．【變式4-2】（2023?長(zhǎng)春模擬）某市的平均海拔高度是高于海平面23.7米，記作+23.7米；吐魯番盆地的平均海拔高度低于海平面154.3米，記作（）A．+176米 B．﹣176米 C．+154.3米 D．﹣154.3米【分析】高于為“+”，則低于為“﹣”，由此可得出答案．【解答】∵高于海平面23.7米，記作+23.7米，∴低于海平面154.3米，記作﹣154.3米．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，正數(shù)和負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量．【變式4-3】（2023?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）手機(jī)移動(dòng)支付給生活帶來便捷，若小穎某天收到微信紅包200元，記為+200元，則小穎當(dāng)天支付出的兩筆費(fèi)用19.9元和38.7元分別記為（）A．+19.9元和+38.7元 B．+19.9元和﹣38.7元 C．﹣19.9元和+38.7元 D．﹣19.9元和﹣38.7元【分析】利用正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義解答即可．【解答】解：若小穎某天收到微信紅包200元，記為+200元，則小穎當(dāng)天支付出的兩筆費(fèi)用19.9元和38.7元分別記為﹣19.9元和﹣38.7元．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)、負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)表示意義相反的數(shù)．【變式4-4】（2023?寬城區(qū)校級(jí)模擬）在某次班級(jí)測(cè)驗(yàn)中，班級(jí)的平均分為90分，小明的成績(jī)?yōu)?7分，記做﹣3，若小亮的成績(jī)記做+2，則小亮的成績(jī)?yōu)椋ǎ〢．2分 B．88分 C．92分 D．90分【分析】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：∵班級(jí)的平均分為90分，小明的成績(jī)?yōu)?7分，記做﹣3，即90﹣3＝87（分），∴小亮的成績(jī)記做+2，表示小亮的成績(jī)?yōu)?0+2＝92（分），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．【變式4-5】在下列橫線上填上適當(dāng)?shù)脑~，使前后構(gòu)成具有相反意義的量．（1）盈利1300元，800元；（2）80米，下降64米；（3）向北前進(jìn)30米．前進(jìn)50米；（4）旋轉(zhuǎn)30°，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．【分析】根據(jù)具有相反意義的量的定義分別填空即可．【解答】解：（1）盈利1300元，虧本800元；故答案為：虧本；（2）上升80米，下降64米；故答案為：上升；（3）向北前進(jìn)30米．向南前進(jìn)50米；故答案為：向南；（4）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．故答案為：順時(shí)針．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，用相反意義的量表示是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示下列具有相反意義的量：（1）向東走500m和向西走300m；（2）運(yùn)出320t和運(yùn)進(jìn)240t；（3）盈利13萬(wàn)元和虧損8千元；（4）氣溫上升8℃和氣溫下降6℃．【分析】（1）根據(jù)向東走記為“+”，向西走記為“﹣”進(jìn)行解答；（2）根據(jù)運(yùn)進(jìn)記為“+”，運(yùn)出記為“﹣”進(jìn)行解答；（3）根據(jù)盈利記為“+”，虧損記為“﹣”進(jìn)行解答；（4）根據(jù)上升記為“+”，下降記為“﹣”進(jìn)行解答．【解答】解：（1）向東走500m記為“+500m”，向西走300m記為“﹣300m”；（2）運(yùn)出320t記為“﹣320t”，運(yùn)進(jìn)240t記為“﹣240t”；（3）盈利13萬(wàn)元記為“+130000元”，虧損8千元記為“﹣8000元”；（4）氣溫上升8℃記為“+8℃”，氣溫下降6攝氏度記為“﹣6℃”．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．題型五題型五運(yùn)用正負(fù)數(shù)表示誤差范圍【例題5】為慶祝鄭州一中建校70周年，桐一學(xué)子制作了精美紀(jì)念胸章，質(zhì)量要求是“70±0.25克”，則有理數(shù)中大小合格的有（）A．69.70克 B．70.30克 C．70.51克 D．69.80克【分析】計(jì)算精美紀(jì)念胸章的質(zhì)量標(biāo)識(shí)的范圍：在70﹣0.25和70+0.25之間，即：從69.75到70.25之間．【解答】解：70﹣0.25＝69.75（克），70+0.25＝70.25（克），所以精美紀(jì)念胸章，質(zhì)量標(biāo)識(shí)范圍是：在69.75到70.25之間．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是：求出精美紀(jì)念胸章的質(zhì)量標(biāo)識(shí)的范圍．解題技巧提煉用正負(fù)數(shù)表示誤差范圍，首先根據(jù)a±b的實(shí)際意義，確定了最大值和最小值的結(jié)果，從而求出物體允許的誤差范圍；再將數(shù)據(jù)與這個(gè)誤差范圍比較，若在這個(gè)范圍內(nèi)，則為合格，反之為不合格.【變式5-1】（2022秋?龍華區(qū)期末）某種零件，標(biāo)明要求是φ20±0.02mm（φ表示直徑，單位：毫米），經(jīng)檢查，一個(gè)零件的直徑是19.9mm，該零件（填“合格”或“不合格”）．【分析】φ20±0.02mm，知零件直徑最大是20+0.02＝20.02，最小是20﹣0.02＝19.98，合格范圍在19.98和20.02之間．【解答】解：零件合格范圍在19.98和20.02之間．19.9＜19.98，所以不合格．故答案為：不合格．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．【變式5-2】生活中常有用正負(fù)數(shù)表示范圍的情形，例如某種藥品的說明書上標(biāo)明保存溫度是（20±2）℃，由此可知在℃范圍內(nèi)保存才合適．【分析】依據(jù)正負(fù)號(hào)的意義計(jì)算即可．【解答】解：20+2＝22℃，20﹣2＝18℃．由此可知該藥品在18℃至22℃范圍內(nèi)保存才合適．故答案為：18～22．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握正負(fù)號(hào)的意義是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023?衡水二模）某品牌米線的包裝袋上寫著“300克±4%”，則下列不可能是米線的重量的是（）A．285克 B．295克 C．304克 D．310克【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義即可求解．【解答】解：∵300克±4%，即300×（1+4%）＝312，300×（1﹣4%）＝288∴米線的重量為288～312克，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】如圖是加工零件的尺寸要求，現(xiàn)有下列直徑尺寸的產(chǎn)品（單位：mm），其中不合格的是（）A．Φ44.9 B．Φ45.02 C．Φ44.98 D．Φ45.01【分析】依據(jù)正負(fù)數(shù)的意義求得零件直徑的合格范圍，然后找出不符要求的選項(xiàng)即可．【解答】解：∵45+0.03＝45.03，45﹣0.04＝44.96，∴零件的直徑的合格范圍是：44.96≤零件的直徑≤45.03，∵44.9不在該范圍之內(nèi)，∴不合格的是A，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義求得零件直徑的合格范圍是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】某超市出售的三種品牌的大米袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的字樣，從超市中任意拿出兩袋大米，它們的質(zhì)量最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，分別求出每種品牌的大米袋質(zhì)量最多相差多少，再比較即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：它們的質(zhì)量相差最多的是標(biāo)有（50±0.3）kg的；其質(zhì)量最多相差（50+0.3）﹣（50﹣0.3）＝0.6kg．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】利用正負(fù)數(shù)的意義，判別（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的意義是關(guān)鍵．題型六題型六整數(shù)和分?jǐn)?shù)【例題6】（2023?贛州三模）下列各數(shù)中，是負(fù)整數(shù)的是（）A．0 B．2 C．﹣0.1 D．﹣2【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念進(jìn)行求解．【解答】解：A．0是整數(shù)，不是負(fù)整數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；B．2是正整數(shù)，不是負(fù)整數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；C．﹣0.1是負(fù)分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)不合題意；D．﹣2是負(fù)整數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)，掌握負(fù)整數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉用正負(fù)數(shù)表示誤差范圍，首先根據(jù)a±b的實(shí)際意義，確定了最大值和最小值的結(jié)果，從而求出物體允許的誤差范圍；再將數(shù)據(jù)與這個(gè)誤差范圍比較，若在這個(gè)范圍內(nèi)，則為合格，反之為不合格.【變式6-1】（2023?江西）下列各數(shù)中，正整數(shù)是（）A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2【分析】整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．3是正整數(shù)，則A符合題意；B．2.1是有限小數(shù)，即為分?jǐn)?shù)，則B不符合題意；C．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，則C不符合題意；D．﹣2是負(fù)整數(shù)，則D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的分類，其相關(guān)定義是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．【變式6-2】（2023?西區(qū)校級(jí)一模）下列四個(gè)選項(xiàng)，其中的數(shù)不是分?jǐn)?shù)的選項(xiàng)是（）A．-12 B．227 C．π2【分析】依據(jù)實(shí)數(shù)的分類方法進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、-1B、227C、π2D、80%=4故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是實(shí)數(shù)，掌握實(shí)數(shù)的相關(guān)概念和分類方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】在+8.3，﹣4，﹣0.8，-15，0，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義進(jìn)行填空即可．【解答】解：在數(shù)+8.3，﹣4，﹣0.8，-15，0，90中，分?jǐn)?shù)有故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的分類，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的分類方法．【變式6-4】（2022秋?崆峒區(qū)校級(jí)期中）把下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的數(shù)集內(nèi)：①1②-35③+3.2④0⑤13⑥﹣6.5⑦+108⑧﹣4（1）正整數(shù)集合{…}（2）正分?jǐn)?shù)集合{…}（3）負(fù)分?jǐn)?shù)集合{…}（4）負(fù)數(shù)集合{…}．【分析】（1）根據(jù)大于0的整數(shù)是正整數(shù)，可得正整數(shù)集合；（2）根據(jù)大于0的分?jǐn)?shù)是正分?jǐn)?shù)，可得正分?jǐn)?shù)集合；（3）根據(jù)小于0的分?jǐn)?shù)是負(fù)分?jǐn)?shù)，可得負(fù)分?jǐn)?shù)集合；（4）根據(jù)小于0的數(shù)是負(fù)數(shù)，可得負(fù)數(shù)集和．【解答】解：（1）正整數(shù)集合{①，⑦，…}；（2）正分?jǐn)?shù)集合{③，⑤，…}；（3）負(fù)分?jǐn)?shù)集合{②，⑥，…}（4）負(fù)數(shù)集合{②，⑥，⑧，⑨…}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)，注意負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱負(fù)數(shù)．【變式6-5】將下面各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：12.1，﹣5，+2.3，﹣148，0，-67，81，14，65【分析】按照有理數(shù)的分類解答即可．【解答】解：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)的定義與特點(diǎn)．注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．題型七題型七正數(shù)、負(fù)數(shù)的探究題【例題7】觀察下面依次排列的兩列數(shù)，請(qǐng)按其規(guī)律寫出后面的3個(gè)數(shù)，你能說出每組第15個(gè)數(shù)、第101個(gè)數(shù)、第2018個(gè)數(shù)分別是什么嗎？（1）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8，，，，…；（2）﹣1，12，﹣3，14，﹣5，16，﹣7，18，，，【分析】第一組數(shù)中，序號(hào)是3的倍數(shù)的數(shù)是正數(shù)，其余數(shù)是負(fù)數(shù)，符號(hào)后面的數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)；第二組數(shù)中，偶數(shù)項(xiàng)是以項(xiàng)數(shù)為分母，1為分子的數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)是在項(xiàng)數(shù)前加﹣．【解答】解：（1）后面的3個(gè)數(shù)依次為+9，﹣10，﹣11．觀察發(fā)現(xiàn)，若n能被3整除，則第n個(gè)數(shù)為+n，若n不能被3整除，則第n個(gè)數(shù)為﹣n（n為正整數(shù)），所以第15個(gè)數(shù)為15，第101個(gè)數(shù)為﹣101，第2018個(gè)數(shù)為﹣2018．故答案為：+9，﹣10，﹣11；（2）后面的3個(gè)數(shù)依次為﹣9，110，﹣11觀察發(fā)現(xiàn)，若n能被2整除，則第n個(gè)數(shù)為1n，若n不能被2整除，則第n個(gè)數(shù)為﹣n（n所以第15個(gè)數(shù)為﹣15，第101個(gè)數(shù)為﹣101，第2018個(gè)數(shù)為12018故答案為：﹣9，110，﹣11【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)規(guī)律型題的掌握情況，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．解題技巧提煉1、探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．2、探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常要從符號(hào)和數(shù)（不考慮符號(hào)）兩個(gè)方面進(jìn)行觀察，若是分?jǐn)?shù)還要分別觀察分子、分母，特別要注意觀察符號(hào)的變化規(guī)律，才能得到這種數(shù)的一般特征．【變式7-1】觀察下面按次序排列的兩組數(shù)，探究它們各自的變化規(guī)律，完成填空并分別寫出第2022個(gè)數(shù)．（1）3，﹣6，9，﹣12，15，﹣18，21，，，…；（2）1，-12，3，-14，5，-16，7，-18，【分析】（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律符號(hào)為奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，數(shù)字依次是3的倍數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律符號(hào)為奇數(shù)項(xiàng)為正，是整數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，是分?jǐn)?shù)，進(jìn)而可得結(jié)果．【解答】解：（1）3，﹣6，9，﹣12，15，﹣18，21，﹣24，27，…；故答案為：﹣24，27；（2）1，-12，3，-14，5，-16，7，故答案為：9，-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類．關(guān)鍵是由已知等式發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，根據(jù)一般規(guī)律對(duì)算式進(jìn)行計(jì)算．【變式7-2】已知一列數(shù)：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，將這列數(shù)排成下列形式：按照上述規(guī)律排列下去，第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)是（）A．﹣46 B．﹣36 C．37 D．45【分析】觀察排列規(guī)律得到第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有1個(gè)數(shù)，…，第9行有9個(gè)數(shù)，則可計(jì)算出前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)45，而數(shù)字的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)字為負(fù)數(shù)，于是可判斷第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)為﹣46．故選A．【解答】解：第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有1個(gè)數(shù)，…，第9行有9個(gè)數(shù)，所以前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+9＝45，而數(shù)字的序號(hào)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)字為正數(shù)，數(shù)字的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)字為負(fù)數(shù)，所以第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)為﹣46．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，利用數(shù)字與序號(hào)數(shù)的關(guān)系解決這類問題．【變式7-3】觀察下面依次排列的一列數(shù)，請(qǐng)接著寫出后面的3個(gè)數(shù)，你能說出這三列數(shù)第100個(gè)數(shù)，第2016個(gè)數(shù)是什么嗎？它們的排列規(guī)律是什么？（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，，，…（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，，，…（3）-12，14，-16，18，-110，，【分析】（1）第一個(gè)數(shù)是正2，第二個(gè)數(shù)時(shí)﹣2，依此類推，第奇數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)2，第偶數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)﹣2；（2）第一個(gè)數(shù)是﹣1，第二個(gè)數(shù)是2，以此類推，第n（奇數(shù)）是﹣n，第n（偶數(shù)）為n；（3）所有數(shù)的分子都是1，所有數(shù)的分母是2，4，6，8，10，…連續(xù)的偶數(shù)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，第偶數(shù)個(gè)數(shù)是正數(shù)．【解答】解：（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2，2，第100個(gè)數(shù)為﹣2，第2016個(gè)數(shù)為﹣2，規(guī)律為第n個(gè)數(shù)為（﹣1）n+1×2（n≥1，且n為整數(shù)），故答案為：2，﹣2，2；（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，第100個(gè)數(shù)為：100，第2016個(gè)數(shù)為2016，規(guī)律為第n個(gè)數(shù)為（﹣1）n?n（n≥1，且n為整數(shù)）；故答案為：﹣7，8，﹣9；（3）-12，14，-16，18，-1第100個(gè)數(shù)為1200，第2016個(gè)數(shù)為1規(guī)律為：（﹣1）n?12n（n≥1，且n故答案為：112，-114【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)規(guī)律型題的掌握情況，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．【變式7-4】如圖，將一串?dāng)?shù)按下列規(guī)律排列，回答下列問題：（1）在A處的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？（2）負(fù)數(shù)排在A，B，C，D中的什么位置？（3）第2020個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？排在對(duì)應(yīng)于A，B，C，D中的什么位置？【分析】（1）根據(jù)A是向上箭頭的上方對(duì)應(yīng)的數(shù)解答；（2）根據(jù)箭頭的方向與所對(duì)應(yīng)的數(shù)的正、負(fù)情況解答；（3）根據(jù)4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2020除以4，根據(jù)余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的位置即可．【解答】解：（1）A是向上箭頭的上方對(duì)應(yīng)的數(shù)，與4的符號(hào)相同，在A處的數(shù)是正數(shù)；（2）觀察不難發(fā)現(xiàn)，向下箭頭的上邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，下方是正數(shù)，向上箭頭的下方是負(fù)數(shù)，上方是正數(shù)，所以，B和D的位置是負(fù)數(shù)；（3）∵2020÷4＝505，∴第2020個(gè)數(shù)排在A的位置，是正數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，仔細(xì)觀察圖形，從箭頭方向向下和向上兩種情況對(duì)應(yīng)的數(shù)的正負(fù)情況考慮求解是解題的關(guān)鍵．題型八題型八與正負(fù)數(shù)有關(guān)的圖表信息題【例題8】體育課上全班女生進(jìn)行百米測(cè)驗(yàn)達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?8秒，下面是第一小組8名女生的成績(jī)記錄，其中“+”表示成績(jī)大于18秒，“﹣”表示成績(jī)小于18秒，“0”表示剛好達(dá)標(biāo)，這個(gè)小組女生的達(dá)標(biāo)率是（）﹣2+0.300﹣1.2﹣1+0.5﹣0.4A．25% B．37.5% C．50% D．75%【分析】成績(jī)記錄中“+”表示成績(jī)大于18秒，“﹣”表示成績(jī)小于18秒，由于達(dá)標(biāo)成績(jī)?yōu)?8秒，記錄中的數(shù)不大于0則表示成績(jī)達(dá)標(biāo)．故應(yīng)該有6人達(dá)標(biāo)，