人教A版數(shù)學(xué)選修2-3講義第2章2.32.3.2離散型隨機變量的方差Word版含答案

2.3.2離散型隨機變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念．2．能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．(重點)3．掌握方差的性質(zhì)以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．(難點)1.通過離散型隨機變量的方差的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助方差解決實際問題，提高數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).1．離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度，而D(X)＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)xi－EX2pi)為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱D(X)為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)意義：隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小．思考：隨機變量的方差與樣本方差有什么關(guān)系？[提示]隨機變量的方差是總體的方差，它是一個常數(shù)，樣本的方差則是隨機變量，是隨樣本的變化而變化的．對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差．2．服從兩點分布與二項分布的隨機變量的方差(1)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．3．離散型隨機變量方差的線性運算性質(zhì)設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．1．若隨機變量X服從兩點分布，且在一次試驗中事件A發(fā)生的概率P＝0.5，則E(X)和D(X)分別為()A．0.25；0.5B．0.5；0.75C．0.5；0.25 D．1；0.75C[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．已知隨機變量ξ，D(ξ)＝eq\f(1,9)，則ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為________．eq\f(1,3)[ξ的標(biāo)準(zhǔn)差eq\r(Dξ)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).]3．已知隨機變量ξ的分布列如下表：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則ξ的均值為________，方差為________．－eq\f(1,3)eq\f(5,9)[均值E(ξ)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)；方差D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋eq\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋eq\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋eq\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9).]求隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例1】已知X的分布列如下：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a(1)求X2的分布列；(2)計算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解](1)由分布列的性質(zhì)，知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，故a＝eq\f(1,4)，從而X2的分布列為X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)(2)法一：(直接法)由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).故X的方差D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16).法二：(公式法)由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，X2的均值E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝eq\f(11,16).(3)因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.方差的計算需要一定的運算能力，公式的記憶不能出錯！在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關(guān)系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失為一種比較實用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．1．已知η的分布列為：η010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y)．[解](1)∵E(η)＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f(2,5)＋20×eq\f(1,15)＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f(1,15)＝16，D(η)＝(0－16)2×eq\f(1,3)＋(10－16)2×eq\f(2,5)＋(20－16)2×eq\f(1,15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋(60－16)2×eq\f(1,15)＝384，∴eq\r(Dη)＝8eq\r(6).(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1536.兩點分布與二項分布的方差【例2】設(shè)X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，則D(3X)＝()A．10 B．30C．15 D．5A[由P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5－k(k＝0,1,2,3,4,5)可知隨機變量服從二項分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，所以D(X)＝5×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(10,9)，D(3X)＝9D(X)＝10.]1．(變換條件、改變問法)本例題改為隨機變量X服從二項分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，求二項分布的參數(shù)n，p的值．[解]由E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96及X～B(n，p)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(E3X＋2＝3EX＋2，,D3X＋2＝9DX，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3np＋2＝9.2，,9np1－p＝12.96，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝6，,p＝0.4，))所以二項分布的參數(shù)n＝6，p＝0.4.2．(改變問法)本例題條件不變，求E(3X＋2)．[解]由例題可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，所以E(X)＝5×eq\f(1,3)＝eq\f(5,3).故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.求離散型隨機變量的均值與方差的關(guān)注點1．寫出離散型隨機變量的分布列．2．正確應(yīng)用均值與方差的公式進行計算．3．對于二項分布，關(guān)鍵是通過題設(shè)環(huán)境確定隨機變量服從二項分布，然后直接應(yīng)用公式計算．均值、方差的實際應(yīng)用[探究問題]1．A，B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表：A機床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？[提示]不能．因為E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以，不能由E(X1)和E(X2)的值比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量．2．在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺機床加工質(zhì)量？[提示]利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．【例3】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．[思路點撥](1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的均值，然后再看其方差值．[解](1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟1．比較均值．離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．2．在均值相等的情況下計算方差．方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定．3．下結(jié)論．依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論．2．有甲、乙兩名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計，他們在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時，各自的成績在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分?jǐn)?shù)X8090100概率P0.20.60.2乙：分?jǐn)?shù)Y8090100概率P0.40.20.4試分析兩名學(xué)生的成績水平．[解]因為E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，即E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲生與乙生的成績均值一樣，甲的方差較小，因此甲生的學(xué)習(xí)成績較穩(wěn)定．對隨機變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的五點說明(1)隨機變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的．(2)隨機變量X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量X的取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度．(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更為廣泛．(4)D(X)越小，隨機變量X的取值越穩(wěn)定，波動越?。?5)方差也可以用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2計算(可由D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi展開得到).1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)離散型隨機變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．()(2)離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平．()(3)離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波動水平．()(4)離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知X的分布列為X－101P0.50.30.2則D(X)等于()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0B[E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機變量X1，X2，已知E(X1