專題：規(guī)律與猜想 公開課教學設計

閩侯縣實驗中學中考數學二輪專題(二)規(guī)律與猜想班級：姓名：座號：時間：2016年月日規(guī)律與猜想問題指的是給出一定條件(可以是有規(guī)律的算式、圖形或圖表)，讓學生認真分析，仔細觀察、綜合歸納，大膽猜想，得出結論，并加以驗證的數學探索題，規(guī)律與猜想題型幾乎是云南省學業(yè)水平考試中的必考題型，一般會以選擇題或填空題的形式出現，其解題步驟大致可歸納為：從特殊情況入手→探索發(fā)現規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結論→驗證結論．類型1數式的變化規(guī)律觀察規(guī)律并填空：(1－eq\f(1,22))＝eq\f(1,2)·eq\f(3,2)＝eq\f(3,4)；(1－eq\f(1,22))(1－eq\f(1,32))＝eq\f(1,2)·eq\f(3,2)·eq\f(2,3)·eq\f(4,3)＝eq\f(1,2)·eq\f(4,3)＝eq\f(2,3)；(1－eq\f(1,22))(1－eq\f(1,32))(1－eq\f(1,42))＝eq\f(1,2)·eq\f(3,2)·eq\f(2,3)·eq\f(4,3)·eq\f(3,4)·eq\f(5,4)＝eq\f(1,2)·eq\f(5,4)＝eq\f(5,8)；(1－eq\f(1,22))(1－eq\f(1,32))(1－eq\f(1,42))(1－eq\f(1,52))＝eq\f(1,2)·eq\f(3,2)·eq\f(2,3)·eq\f(4,3)·eq\f(3,4)·eq\f(5,4)·eq\f(4,5)·eq\f(6,5)＝eq\f(1,2)·eq\f(6,5)＝eq\f(3,5)；…(1－eq\f(1,22))(1－eq\f(1,32))(1－eq\f(1,42))(1－eq\f(1,52))…(1－eq\f(1,n2))＝______．(用含n的代數式表示，n是正整數，且n≥2)【思路點撥】由前面算式可以看出：算式的左邊利用平方差公式因式分解，中間的數字互為倒數，乘積為1，只剩下兩端的(1－eq\f(1,2))和(1＋eq\f(1,n))相乘得出結果．【解答】(1－eq\f(1,22))(1－eq\f(1,32))(1－eq\f(1,42))(1－eq\f(1,52))…(1－eq\f(1,n2))＝eq\f(1,2)·eq\f(3,2)·eq\f(2,3)·eq\f(4,3)·eq\f(3,4)·eq\f(5,4)·eq\f(4,5)…·eq\f(n＋1,n)＝eq\f(n＋1,2n).故答案為：eq\f(n＋1,2n).【方法歸納】探索數式規(guī)律的題目，一般要仔細觀察特殊例子，找出變與不變的因素，找出與序號相一致的數式本身蘊含的規(guī)律，并用這一規(guī)律去解決簡單問題。1．觀察下列關于x的單項式，探究其規(guī)律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述規(guī)律，第2015個單項式是()A．2015x2015 B．4029x2014 C．4029x2015 D．4031x20152．觀察下列一組數：eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(3,7)，eq\f(4,9)，eq\f(5,11)，…，根據該組數的排列規(guī)律，可推出第10個數是________．3．觀察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，則1＋3＋5＋7＋…＋2015＝________．4．已知Aeq\o\al(2,3)＝3×2＝6，Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60，Aeq\o\al(2,5)＝5×4×3×2＝120，Aeq\o\al(3,6)＝6×5×4×3＝360，依此規(guī)律Aeq\o\al(4,7)＝________．5．下面是按一定規(guī)律排列的一列數：eq\f(1,4)，eq\f(3,7)，eq\f(5,12)，eq\f(7,19)，…，那么第n個數是________．6．觀察下列關于自然數的等式：32－4×12＝5；52－4×22＝9；72－4×32＝13；…根據上述規(guī)律解決下列問題：(1)完成第四個等式：92－4×(________)2＝________；(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)：________________．7．如圖，在數軸上，A1，P兩點表示的數分別是1、2，A1，A2關于點O對稱，A2，A3關于點P對稱，A3，A4關于點O對稱，A4，A5關于點P對稱…依此規(guī)律，則點A14表示的數是________．類型2圖形的變化規(guī)律如圖，在△ABC中，BC＝1，點P1、M1分別是AB、AC邊的中點，點P2、M2分別是AP1、AM1的中點，點P3、M3分別是AP2、AM2的中點，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長為________(n為正整數)．【思路點撥】解此題的關鍵是要知道中位線的性質，即三角形的中位線等于第三邊的一半，從而歸納得出其中的規(guī)律．【解答】根據中位線的性質可知，在圖1中，P1M1＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)；在圖2中，P2M2＝eq\f(1,2)P1M1＝eq\f(1,22)；在圖3中，P3M3＝eq\f(1,2)P2M2＝eq\f(1,23)；在圖n中，PnMn＝eq\f(1,2n).故答案填eq\f(1,2n).【方法歸納】圖形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成特點，分析每個圖形之間的聯系與區(qū)別，用相應的算式描述其中的規(guī)律，并注意數形結合．1．下列圖形都是有幾個黑色和白色的正方形按一定規(guī)律組成，圖1中有2個黑色正方形，圖2中有5個黑色正方形，圖3中有8個黑色正方形，圖4中有11個黑色正方形，…，按此規(guī)律，圖10中黑色正方形的個數是()A．32B．29C．28D．2．下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第(1)個圖形中一共有6個小圓圈，其中第(2)個圖形中一共有9個小圓圈，其中第(3)個圖形中一共有12個小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第(7)個圖形中小圓圈的個數為()(1)(2)(3)A．21B．24C．273．觀察下列圖形的排列規(guī)律(其中▲、■、★分別表示三角形、正方形、五角星)，若第一個圖形是三角形，則第18個圖形是________．(填圖形名稱)▲■★▲■★▲■★▲■★▲■★▲■★▲■★…4．下列圖形是由一些小正方形和實心圓按一定規(guī)律排列而成的，如圖所示，按此規(guī)律排列下去，第n個圖形中有________個實心圓．5．觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第5個圖形有________個太陽．6．如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖形組成，…，第n(n是正整數)個圖案中的基礎圖形個數為________(用含n的式子表示)．7．用火柴棒按下圖所示的方式擺大小不同的“H”：依此規(guī)律，擺放第9個“H”需要火柴棒________根．8．它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個圖形共有________個★.9．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長________．10．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如圖的方式放置．點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3…分別在直線y＝x＋1和x軸上，則點A6的坐標是________．