公開課教案-橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程張青萍

2.1.1漳州三中數(shù)學(xué)組張青萍教學(xué)目標(biāo)：知識與技能理解并掌握橢圓的定義，明確焦點、焦距的概念；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．過程與方法通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力；在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中進一步滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法．情感態(tài)度與價值觀通過橢圓定義的歸納過程獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣；通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔美”；通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強學(xué)生團隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強主動與他人合作交流的意識.教學(xué)重點：橢圓定義的歸納及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．教學(xué)難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．教學(xué)方法：講授法與啟發(fā)相結(jié)合、合作探究教學(xué)工具：電腦多媒體，幾何畫板教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境，引入概念師：相信大家對橢圓這個幾何圖形都很熟悉，生活中，你見過哪些類似橢圓的圖形或物體？生：雞蛋，橄欖球．．．師：我們這邊再來看一些例子．多媒體演示行星的運行動畫，展示雞蛋，西瓜，一些瓷盆，鳥巢的圖片，這些物體都具有橢圓的形狀．那么現(xiàn)在問題來了：如何畫出一個橢圓？學(xué)生思考片刻后，師：大家只是看過一些類似橢圓的物體，但實際上對橢圓這個概念是完全陌生的．那如果讓大家畫圓會不會畫？生：會．師：怎么畫？學(xué)生回答的同時教師利用幾何畫板展示圓的形成過程，并指明其原理即圓的定義：平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的軌跡．師：那么橢圓又是怎么畫出來的呢？我們一起來探究．二、嘗試探究、形成概念讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的筆、白紙、細(xì)繩（沒有彈性），同桌兩人合作，一個人將細(xì)繩的兩端拉開一段距離，固定在白紙的兩點處，另外一個人用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，看畫出的是什么圖形？找兩個同學(xué)上黑板上演示．畫圖的過程中提問學(xué)生：此過程中對兩定點之間的距離是否有要求？學(xué)生實驗結(jié)束后，教師提問學(xué)生得到的圖形是否是像黑板上的橢圓．為了更清楚圖形的形成過程，教師用幾何畫板演示橢圓的形成過程．依據(jù)上面的作圖實踐及幾何畫板演示的畫法，請學(xué)生思考：橢圓是滿足什么條件的點的軌跡？教師啟發(fā)、提問，并由學(xué)生歸納出橢圓的定義．生：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓．師：是不是只要滿足這個條件的點的軌跡就是橢圓？生：不是．師：那還要什么條件？生：此常數(shù)要大于．師：一般我們把此常數(shù)稱為，要求．為什么？如果不大于會怎么樣呢？用細(xì)繩在黑板上演示，讓學(xué)生得出時，軌跡為線段；時，無軌跡的結(jié)論．進而得出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡叫作橢圓．其中兩個定點叫作焦點，兩焦點的距離叫作焦距．時，軌跡為線段時，無軌跡的結(jié)論提問：若令為橢圓上任意一點，可否把定義用數(shù)學(xué)表達式寫出？學(xué)生思考回答：．三、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)師：有了橢圓的定義之后我們接下來應(yīng)該做什么呢？生：推導(dǎo)橢圓方程．師：對，推導(dǎo)橢圓方程．進而利用橢圓方程研究曲線的性質(zhì)．師：我們一起來回顧一下求動點軌跡方程的一般步驟：（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（2）設(shè)點：設(shè)曲線上任意一點坐標(biāo)（3）列式：尋找等式，并轉(zhuǎn)化為方程（4）化簡：將方程化為最簡形式（5）驗證：證明化簡后的方程為所求方程(可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說明)推導(dǎo)過程：（1）建系：探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案學(xué)生探討最終決定以所在直線為軸，以的中點為原點建立直角坐標(biāo)系，則．（2）設(shè)點：設(shè)是橢圓上任意一點（3）列式：讓學(xué)生自己列出：，并將其坐標(biāo)化后得：（4）化簡：教師：為體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美，應(yīng)化簡．采取什么樣的方法呢？學(xué)生回答：平方．教師：這里有兩個根式，如何平方更簡捷？學(xué)生思考得出：移項平方，再移項再平方的方法．教師帶領(lǐng)學(xué)生一起化簡，得到：．（用多媒體演示）教師指出：此方程形式還不夠簡捷，仍有變形的必要．結(jié)合圖形引導(dǎo)學(xué)生令，則方程變?yōu)椋?，為了更方便記憶，可進一步整理得：提問：的大小關(guān)系如何？學(xué)生：教師指出：方程叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其焦點在軸上，焦點坐標(biāo)為且啟發(fā)：橢圓的位置是否一定要這么擺放？生：還可以豎著擺．師：這時橢圓的焦點位置在哪里？生：軸．師：方程的形式如何？學(xué)生合理猜想，得出：師：實際上只是兩個坐標(biāo)軸的位置互換，所以方程形式也只是位置互換．進而得出兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程．思考：如何依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點的位置？學(xué)生觀察后可得出：含的分式的分母誰大，焦點就在那個軸上．歸納橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式：右邊是1，左邊是平方和．練習(xí)：判斷下列方程是否為橢圓方程，如果是，求出焦點坐標(biāo)1、4、2、5、3、6、總結(jié)判斷是否為橢圓方程及如何求焦點坐標(biāo)的方法：先看方程的右邊能否化成1，左邊化成平方和的形式．的分母如果不相等就是橢圓．分母較大的就是，分母較小的就是，進而可以求出．焦點在對應(yīng)的軸上，從而確定焦點坐標(biāo)．四、例題講解例：求下述橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在，橢圓上每一點到兩個焦點的距離之和為4解：由已知可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為依題意得又橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為總結(jié)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：1、判斷焦點在哪個軸上，確定標(biāo)準(zhǔn)方程形式2、求出變式：橢圓過點，且該點到兩個焦點的距離之和為4分析：無法確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，所以分兩種情況討論解：①當(dāng)橢圓的焦點在軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為則解得此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為②當(dāng)橢圓的焦點在軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為則解得此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或五、課堂小結(jié)1、橢圓的定義2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3、兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對照表六、課后作業(yè)1．教材34頁練習(xí)1,2．（寫在作業(yè)紙上）2．《導(dǎo)學(xué)》P20~21板書設(shè)計2.1.11、定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)【練習(xí)】的點的軌跡叫作橢圓．焦點，焦距時，軌跡為線段時，無軌跡2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例題】焦點在軸上：，焦點焦點在軸上：，焦點課后反思：從課堂的進程來看，課堂基本按“預(yù)設(shè)”進行，課堂基本目標(biāo)得到落實，整體還算流暢．從課堂的實效來看，學(xué)生的直接表現(xiàn)能夠說明《課標(biāo)》要求基本達成．但是，從課堂的完成情況來看，存在的欠缺