課件 計算機圖形學(xué) 貝塞爾曲線及B樣條

6.5

貝塞爾曲線：—

問題的提出：1拋物樣條曲線和三次參數(shù)樣條曲線的共同特點：生成的曲線通過所有的型值點，即所謂的“點點通過”。2缺點：拋物樣條曲線和三次參數(shù)樣條曲線在外形設(shè)計中缺少直觀性和靈活性，例如：為了調(diào)整一小段曲線的形狀而改變一個點時，曲線可能出現(xiàn)小鼓包或小凹坑等現(xiàn)象，直接影響曲線的平滑。這時必須改變一批型值點，觀察效果后繼續(xù)調(diào)整，直到滿意為止。這種做法顯然不直觀也不靈活。二問題的解決：一種新的參數(shù)表示法—貝塞爾曲線的提出：1962年法國雷諾汽車公司的貝塞爾提出了貝塞爾曲線（Bezier并以這種方法為主，完成了一種曲線和曲面的設(shè)計系統(tǒng)UNISURF，并于1972年在雷諾公司應(yīng)用。貝塞爾曲線的基本思想：將函數(shù)逼近與幾何表示結(jié)合起來，使得設(shè)計師可以直觀地通過改變參數(shù)來改變曲線的形狀和階次。通過控制點即頂點直觀而方便地調(diào)整曲線的形狀，僅通過起始點和終止點，而不通過其它的型值點。三貝塞爾曲線舉例曲線僅通過起始點和終止點，而不通過其它的型值點。四貝塞爾曲線的性質(zhì)：1該曲線由一組多邊形折線的多個頂點唯一地定義出來。多邊形折線又稱特征多邊形，頂點又稱為控制點。貝塞爾曲線的例子：頂點起始點終止點在多邊折線的各個頂點中，只有第1點和最后1點在曲線上。頂點用于定義曲線的階次和形狀，如n+1個頂點定義n次多項式。下圖中4個頂點定義一個唯一的三次貝塞爾曲線。曲線的形狀趨向于多邊形折線的形狀，若改變頂點則改變曲線形狀，因此它被用于外形設(shè)計。特征多邊形的第一條邊和最后一條邊表示出起點和終點的切線方向。多邊形折線（特征多邊形）貝塞爾曲線五貝塞爾曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：Bezier曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：在第1個和最后一個端點之間進行插值的多項式混合函數(shù)(調(diào)和函數(shù))它可以參用數(shù)方程表示如下：這是一個n次多項式，具有n+1項。：表示特征多邊形n+1個頂點的位置向量。Bi,n(t)：伯恩斯坦多項式，稱為基底函數(shù)，即曲線上各個點位置矢量的調(diào)和函數(shù)，它表示為：其中i表示第i個頂點，n表示n次，t為參數(shù)。六

bezier曲線特性分析:由伯恩斯坦多項bernstein基函數(shù)的性質(zhì)能推導(dǎo)出貝塞爾曲線性質(zhì)(一)曲線通過起始點與終止點可以證明起點和終點在曲線上，規(guī)定:另：0！為1。展開曲線為：（當(dāng)n

=0,1,2,3時）當(dāng)t=0(參數(shù)的起點),i=0(第1個頂點0)時,曲線:（∵ti

=00=1,∴第1項為P0，∵0i=0，∴其余3項為0）當(dāng)t=1(參數(shù)的終點),i=n(最后一個頂點)時,曲線:可見，曲線經(jīng)過多邊折線的始點和終點。（二）起始點與終止點切矢量的方向通過對基函數(shù)求導(dǎo)，可以證明起始點與終止點的切矢量與第1和第n（最后）條邊一致（走向一致）?；瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)：貝塞爾曲線的導(dǎo)數(shù)因為：在 中，除第一項和最后一項以外的各項均為0所以：在起始點在終止點可見起始點處的切矢量P’(0)與特征多邊形的第1條邊（P1

-P0

）相一致。終止點處的切矢量P’(1)與特征多邊形的第n-1條邊（Pn-Pn-1

）相一致。P0P1P2P3P4(三）凸包性:P0P1P2P3P4Bezier曲線p(t)位于其控制頂點的凸包之內(nèi)。所謂的凸包指的是包含這些點的最小凸集。(四)曲率因為當(dāng)t=0時當(dāng)t=1時可見貝塞爾曲線在端點處的r階導(dǎo)數(shù)，只與（r+1）個相鄰的點有關(guān)，與更遠(yuǎn)的點無關(guān)。例如：二階導(dǎo)數(shù)只與3個相鄰的點有關(guān)，P’’(0)與P0，P1，P2；而P’’(1)與Pn-2,Pn-1,Pn，或者說只有這些點對曲率有貢獻。七一次和二次貝塞爾曲線（一）一次bezier曲線：n=1，一次多項式，有兩個控制點，則：這說明，一次bezier曲線是連接起點p0和終點p1的直線段（二）二次bezier曲線：寫成矩陣形式：1二次貝塞爾曲線方程P1P0PPmP22曲線一定通過P0,P,P2,不通過P1當(dāng)t＝1/2時：控制點為：P0,P1,P2,即由該三點控制曲線的形狀利用二次bezier曲線方程求P0P,PP2之間的插值點，可畫出該曲二次bezier曲線方程二次bezier曲線是一條拋物線八三次貝塞爾曲線1三次貝塞爾曲線方程三次貝塞爾曲線有4個控制點，基函數(shù)為三次多項式頂點P0P1P2P3定義一條三次貝塞爾曲線。其中混合函數(shù)分別為：B0，3

=

1-

3t

+

3t2

-

t3

=3t

-

6t2

+

3t3

=B1，3

=B2，3

=B3，3

=3t2

-

3t3

=t3=(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t32矩陣表達(dá)式為：3三次貝塞爾曲線能達(dá)到二階連續(xù)九貝塞爾曲線在使用中的問題1貝塞爾曲線的階次m-1由多邊形的頂點數(shù)m所決定，使用不靈活。如3頂點則2次，4頂點則3次。2當(dāng)頂點數(shù)m較大時，曲線的階次將比較高，多邊形對曲線形狀的控制將大為減弱。P03改變?nèi)我忭旤c的位置將會對整條曲線產(chǎn)生影響，這不利于對曲線做局部修改。P1P2P3P44 改變?nèi)我庖粋€頂點的位置將會對整條貝塞爾曲線產(chǎn)生影響，不利于對曲線做局部修改。三次參數(shù)樣條曲線通過所有的型值點二次B樣條曲線三次B樣條曲線三次貝塞爾曲線6.6

B樣條曲線：從貝塞爾到B樣條：（一）為什么要使用B樣條曲線？問題點：貝塞爾曲線，在外形設(shè)計的應(yīng)用中，存在不足之處。解決方法：為了克服以上提到的在貝塞爾曲線中存在的一些問題，Gordon，Riesenfeld等人拓展了貝塞爾曲線，用n次B樣條基函數(shù)替換了伯恩斯坦基函數(shù)，構(gòu)造了B樣條曲線。B樣條曲線的優(yōu)點：保持了原貝塞爾曲線所具有的優(yōu)點，增加了可以對曲線進行局部修改這一突出的優(yōu)點。

(3)具有對特征多邊形更逼近，多項式階次較低等優(yōu)點。因此，B樣條曲線在外形設(shè)計中得到了廣泛的重視和應(yīng)用。（二）從曲線曲面研究的發(fā)展與應(yīng)用看B樣條的地位和作用（三）使用計算機進行輔助設(shè)計的工作三次參數(shù)樣條曲線: 過型值點，不方便。Beizier曲線:不過點，調(diào)整方便，但次數(shù)高，不能局部調(diào)整。B樣條曲線:不過點，調(diào)整方便，可以進行局部調(diào)整。非均勻有理:不過點，調(diào)整方便，可以進行局部調(diào)整。通過控制點和權(quán)因子來靈活地改變形狀等。中國第二汽車制造廠，南京汽車制造廠研制“計算機輔助汽車外表交互式設(shè)計系統(tǒng)”中使用Beizier和重節(jié)點非均勻B樣條曲線作為幾何設(shè)計的基礎(chǔ)。從實物采樣p43關(guān)于汽車CAD設(shè)計見《鐵道自動車》p118工藝CAD見《汽車車身與結(jié)構(gòu)設(shè)計》p40二汽（即第二汽車廠）用CAD及B樣條曲線n次B樣條曲線連接全部曲線段所組成的整條曲線稱為n次B樣條曲線。B特征多邊形依次用線段連接Pi+k(k=0,1，…，n)所組成的多邊折線稱為B樣條曲線在第i段的B特征多邊形。B樣條曲線是分段組成的。所以特征多邊形的頂點對曲線的控制靈活直觀。n次B樣條曲線可達(dá)到n一1階連續(xù)。在工程實際應(yīng)用中，二階連續(xù)的曲線已能使工程問題的解決相當(dāng)滿意，所以在實際應(yīng)用中，三次B樣條曲線和二次B樣條曲線應(yīng)用得較為廣泛。高于三次的B樣條曲線，由于計算過于復(fù)雜，且也不一定適合于一般的工程應(yīng)用，所以用得很少。三

二次B樣條曲線B0B2原因：Q點是第i段曲線的終點，又是第i+1段曲線的起點。則:Q四三次B樣條曲線3

討論三次B樣條曲線的端點性質(zhì)：（1）上式進一步推導(dǎo)得：以t的端點值代入可得：（2）三次B樣條曲線的端點性質(zhì)：曲線段的起點P(0)位于△B0B1B2底邊B0B2的中線B1Bm上，且距Bl點的三分之一處。該點處的切矢量P’(0)平行于△B0B1B2的底邊B0B2，且長度為其二分之一。該點的二階導(dǎo)數(shù)P’’(0)等于中線矢量B1Bm的二倍，見圖3)終點P(1)處的情形與此相應(yīng)，4)如果在B特征多邊形上增加了一個頂點B4，則B1B2B3B4又可定義—段新的三次B樣條曲線。4三次B樣條曲線可以達(dá)到二階連續(xù)。因為:新曲線段起點的有關(guān)數(shù)據(jù)和上一段曲線的終點的有關(guān)數(shù)據(jù)都只和B1、B2、B3三點有關(guān)，所以:該二段曲線在連接處的位置矢量，—階切矢和二階切矢都應(yīng)相等，即：5三次B樣條曲線的特技處理：畫直線：畫直線的場合：鴨子浮在水面上，畫直線時不能用line()畫，不自然應(yīng)仍然用B樣條曲線畫.方法：讓五個頂點共線。(2)使B樣條曲線與特征多邊形相切：

1）方法1：讓三個頂點共線：原曲線：P0P1現(xiàn)曲線：B1,B2,B3共線，曲線與特征多邊形相切P0位于B1M的1/3處P1位于B2N的1/3處P0P1MN2）方法2：讓兩個定點重合：P0P1P0P1MN原曲線：現(xiàn)曲線：B2,B3重合，曲線與特征多邊形相切P0位于B1M的1/3處B1B3的中點為NP1位于B2N的1/3處（3）產(chǎn)生尖點：方法：讓3個頂點重合.給出一系列頂點數(shù)據(jù)想生成一個鴨子嘴的形狀如圖所示：讓B2B3B4這3個點重合。P0位于B1M的1/3處P1位于B5N的1/3處P0P段與特征多邊形相切P1P段也與特征多邊形相切形成尖點。P0PMNP1（4）想使曲線以特征多邊形的B0為始點，且與B0B1相切方法：增加一個控制點使

B0＝B0B1B1的中點M與B0重合則： MB0的靠近B0的1/3處仍然是B0點。因此：

畫出的曲線段以B0為始點Q五

二次B樣條曲線與三次B樣條曲線的區(qū)別：繪制兩段曲線需要的控制點個數(shù)起點，終點的位置連接處的連續(xù)性二次B樣條曲線4處一階三次B樣條曲線5處二階章節(jié)曲線名分類畫法特點和用途6.1常見二次曲線的繪制有曲線方程6.4以直線代曲線

用直線段近似曲線引入?yún)?shù)方程，計算曲線上的點，以直線連接點，用于非常用曲線，而常用曲線一般有現(xiàn)成函數(shù)可調(diào)用。6.2拋物樣條曲線曲線過每個點點點通曲線過每一個點，用于慢變化實驗數(shù)據(jù)，簡單、易編程，光滑度一般。為C16.3三次參數(shù)樣條曲線用已知過(插值法)