中考總復(fù)習(xí)函數(shù)綜合知識講解基礎(chǔ)

中考總復(fù)習(xí)函數(shù)綜合知識講解基礎(chǔ)中考總復(fù)習(xí)函數(shù)綜合知識講解基礎(chǔ)/中考總復(fù)習(xí)函數(shù)綜合知識講解基礎(chǔ)中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合—知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1．平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識平面直角坐標(biāo)系中各象限和坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)的特征，求點關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點的對稱點的坐標(biāo)，求線段的長度，幾何圖形的面積，求某些點的坐標(biāo)等；2．函數(shù)的有關(guān)概念求函數(shù)自變量的取值范圍，求函數(shù)值、函數(shù)的圖象、函數(shù)的表示方法；3．函數(shù)的圖象和性質(zhì)常見的題目是確定圖象的位置，利用函數(shù)的圖象確定某些字母的取值，利用函數(shù)的性質(zhì)解決某些問題．利用數(shù)形結(jié)合思想來說明函數(shù)值的變化趨勢，又能反過來判定函數(shù)圖象的位置；4．函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式，求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸方程，利用函數(shù)的解析式來求某些字母或代數(shù)式的值．一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)常與一元一次方程、一元二次方程、三角形的面積、邊角關(guān)系、圓的切線、圓的有關(guān)線段組成綜合題．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、平面直角坐標(biāo)系1．相關(guān)概念（1）平面直角坐標(biāo)系（2）象限（3）點的坐標(biāo)2.各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征3.特殊位置點的坐標(biāo)（1）坐標(biāo)軸上的點（2）一三或二四象限角平分線上的點的坐標(biāo)（3）平行于坐標(biāo)軸的直線上的點的坐標(biāo)（4）關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標(biāo)4.距離（1）平面上一點到x軸、y軸、原點的距離（2）坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上兩點間的距離（3）平面上任意兩點間的距離5.坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用（1）利用坐標(biāo)表示地理位置（2）利用坐標(biāo)表示平移要點詮釋：點P(x,y)到坐標(biāo)軸與原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于；（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于；（3）點P(x,y)到原點的距離等于.考點二、函數(shù)與其圖象1.變量與常量2.函數(shù)的概念3.函數(shù)的自變量的取值范圍4.函數(shù)值5.函數(shù)的表示方法（解析法、列表法、圖象法）6.函數(shù)圖象要點詮釋：由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值；（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.考點三、一次函數(shù)1.正比例函數(shù)的意義2.一次函數(shù)的意義3.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)4.一次函數(shù)的圖象與二元一次方程組的關(guān)系5.利用一次函數(shù)解決實際問題要點詮釋：確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.考點四、反比例函數(shù)1.反比例函數(shù)的概念2.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)3.利用反比例函數(shù)解決實際問題要點詮釋：反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足為M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=.∴.考點五、二次函數(shù)1.二次函數(shù)的概念2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)3.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系4.利用二次函數(shù)解決實際問題要點詮釋：1、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的問題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）如圖：點A坐標(biāo)為（x1，y1），點B坐標(biāo)為（x2，y2），則AB間的距離，即線段AB的長度為.2、函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.考點六、函數(shù)的應(yīng)用1.一次函數(shù)的實際應(yīng)用2.反比例函數(shù)的實際應(yīng)用3.二次函數(shù)的實際應(yīng)用要點詮釋：分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計成兩種情況以上，解答時需分段討論.在現(xiàn)實生活中存在著很多需分段計費的實際問題，因此，分段計算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型.【典型例題】類型一、用函數(shù)的概念與性質(zhì)解題 1．已知一次函數(shù)y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a,b的取值范圍，使得：

（1）y隨x的增大而增大；

（2）函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸的下方；

（3）函數(shù)的圖象過第一、二、四象限.【思路點撥】（1）y=kx+b(k≠0)的圖象，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；（2）當(dāng)b＜0時，函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸的下方；（3）當(dāng)k＜0，b＞0時時，函數(shù)的圖象過第一、二、四象限.【答案與解析】解：a、b的取值范圍應(yīng)分別滿足：（1）由一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的性質(zhì)可知：當(dāng)k＞0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，即3a-2＞0,∴,且b取任何實數(shù).（2）函數(shù)圖象與y軸的交點為（0,1-b），∵交點在x軸的下方，∴，即a≠,b＞1.

（3）函數(shù)圖象過第一、二、四象限，則必須滿足.

【總結(jié)升華】下面是y=kx(k≠0),y=kx+b(k≠0)的圖象的特點和性質(zhì)的示意圖，如圖1，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)b＞0時，圖象過一、二、三象限，當(dāng)b=0時，是正比例函數(shù)，當(dāng)b＜0時，圖象過一、三、四象限；當(dāng)y=x時，圖象過一、三象限，且是它的角平分線.由于常數(shù)k、b不同，可得到不同的函數(shù)，k決定直線與x軸夾角的大小，b決定直線與y軸交點的位置，由k定向，由b定點.同樣，如圖2，是k＜0的各種情況，請你指出它們的圖象的特點和性質(zhì).舉一反三：【變式】作出函數(shù)y=x,，的圖象，它們是不是同一個函數(shù)？

【答案】函數(shù)的自變量x的取值范圍是x≥0；函數(shù)在x≠0時，就是函數(shù)y=x；而x=0不在函數(shù)的自變量x的取值范圍之內(nèi).由此，作圖如下：

可見它們不是同一個函數(shù).

類型二、函數(shù)圖象與性質(zhì)2．已知：

(1)m為何值時，它是一次函數(shù).

(2)當(dāng)它是一次函數(shù)時，畫出草圖，指出它的圖象經(jīng)過哪幾個象限？y是隨x的增大而增大還是減??？

(3)當(dāng)圖象不過原點時，求出該圖象與坐標(biāo)軸交點間的距離，與圖象與兩軸所圍成的三角形面積.【思路點撥】一次函數(shù)應(yīng)滿足：一次項(或自變量)的指數(shù)為1，系數(shù)不為0.【答案與解析】(1)依題意：，解得m=1或m=4.

∴當(dāng)m=1或m=4時，它是一次函數(shù).

(2)當(dāng)m=4時，函數(shù)為y=2x，是正比例函數(shù)，圖象過一，三象限，

y隨x的增大而增大.

當(dāng)m=1時，函數(shù)為y=-x-3，直線過二，三，四象限，y隨x的增大而減小.

(3)直線y=-x-3不過原點，它與x軸交點為A(-3，0)，

與y軸交點為B(0，-3)，.

.

∴直線y=-x-3與兩軸交點間的距離為，與兩軸圍成的三角形面積為.

【總結(jié)升華】

(1)某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：一次項(或自變量)的指數(shù)為1，系數(shù)不為0.而某函數(shù)若是正比例函數(shù)，則還需添加一個條件：常數(shù)項為0.

(2)判斷函數(shù)的增減性，關(guān)鍵是確定直線y=kx+b（k≠0）中k、b的符號.

(3)直線y=kx+b（k≠0）與兩軸的交點坐標(biāo)可運用x軸、y軸上的點的特征來求，當(dāng)直線y=kx+b（k≠0）上的點在x軸上時，令y=0，則，交點為；當(dāng)直線y=kx+b（k≠0）上的點在y軸上時，令x=0，則y=b，即交點為(0，b).舉一反三：【高清課程名稱：函數(shù)綜合1高清ID號：\o"查看資源信息"369111關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題2】【變式】已知關(guān)于的方程.（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根大于4且小于8，求m的取值范圍；（3）設(shè)拋物線與軸交于點M，若拋物線與x軸的一個交點關(guān)于直線的對稱點恰好是點M，求的值.【答案】證明：（1），所以方程總有兩個實數(shù)根. 解：（2）由（1），根據(jù)求根公式可知,方程的兩根為：即，,由題意，有，即. （3）易知，拋物線與y軸交點為M（0，）,由（2）可知拋物線與x軸的交點為（1,0）和（,0），它們關(guān)于直線的對稱點分別為（0,）和（0,），由題意，可得或，所以或. 3．拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y=x2﹣2x﹣3，則b、c的值為（） A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=﹣2，c=﹣1 【思路點撥】易得新拋物線的頂點，根據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線頂點，根據(jù)頂點式與平移前后二次項的系數(shù)不變可得原拋物線的解析式，展開即可得到b，c的值．【答案】B．【解析】解：由題意得新拋物線的頂點為（1，﹣4），∴原拋物線的頂點為（﹣1，﹣1），設(shè)原拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x，∴b=2，c=0．故選B．【總結(jié)升華】拋物線的平移不改變二次項系數(shù)的值；討論兩個二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點坐標(biāo)是如何平移得到的即可．4．若一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是．【思路點撥】因為反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，故一次函數(shù)y=kx+1中，k＜0，將解方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)兩函數(shù)圖象沒有公共點時，只需△＜0即可．【答案】.【解析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，的圖象在第一、三象限，

∴當(dāng)一次函數(shù)y=kx+1與反比例函數(shù)圖象無交點時，k＜0，

解方程組，得kx2+x-1=0，

當(dāng)兩函數(shù)圖象沒有公共點時，△＜0，即1+4k＜0，

解得，

∴兩函數(shù)圖象無公共點時，．

故答案為：.【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，再確定k的取值范圍．類型三、函數(shù)綜合題5．已知點（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函數(shù)y=的圖象上．下列結(jié)論中正確的是（） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3【思路點撥】先判斷出函數(shù)反比例函數(shù)y=的圖象所在的象限，再根據(jù)圖象在每一象限的增減性與每一象限坐標(biāo)的特征進(jìn)行判斷．【答案】B．【解析】解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，∴反比例函數(shù)y=的圖象在二、四象限，∵點（﹣1，y1）的橫坐標(biāo)為﹣1＜0，∴此點在第二象限，y1＞0；∵（2，y2），（3，y3）的橫坐標(biāo)3＞2＞0，∴兩點均在第四象限y2＜0，y3＜0，∵在第四象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∴0＞y3＞y2，∴y1＞y3＞y2．故選B．【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：當(dāng)k＞0時，圖象分別位于第一、三象限，橫縱坐標(biāo)同號；當(dāng)k＜0時，圖象分別位于第二、四象限，橫縱坐標(biāo)異號．舉一反三：【變式】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=bx+b2﹣4ac與反比例函數(shù)y=在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（） A.B．C．D．【答案】由拋物線的圖象可知，橫坐標(biāo)為1的點，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴雙曲線的圖象在第二、四象限；由于拋物線開口向上，所以a＞0；對稱軸x=＞0，所以b＜0；拋物線與x軸有兩個交點，故b2﹣4ac＞0；∴直線y=bx+b2﹣4ac經(jīng)過第一、二、四象限．故選D．類型四、函數(shù)的應(yīng)用6．如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，求繩子的最低點距地面的距離為多少米？【思路點撥】根據(jù)題意，運用待定系數(shù)法，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式，代入求值即可解答．【答案】解：以左邊樹與地面交點為原點，地面水平線為x軸，左邊樹為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點分別代入得出c=2.5，同時可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解之得a=2，b=﹣4，c=2.5．∴y=2x2﹣4x+2.5=2（x﹣1）2+0.5．∵2＞0，∴當(dāng)x=1時，y=0.5米．∴故答案為：0.5米．【總結(jié)升華】本題考查點的坐標(biāo)的求法與二次函數(shù)的實際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．舉一反三：【高清課程名稱：函數(shù)綜合1高清ID號：\o"查看資源信息"369111關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題3】【變式】拋物線，a＞0，c＜0，．（1）求證：；（2）