北師大版初三數(shù)學(xué)第62講：一元二次方程的應(yīng)用

一元二次方程的應(yīng)用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________了解有關(guān)一元二次方程的實(shí)際生活問題。掌握典型類型應(yīng)用題的解法和解決應(yīng)用題的步驟。3、回歸生活，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在生活中的妙趣。解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．1、傳播、循環(huán)問題與一元二次方程【例1】有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【解析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，1＋x＋x（x＋1）=64，x=7或x=－9（舍去）．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人；（2）64×7=448（人）．答：第三輪將又有448人被傳染．【方法總結(jié)】傳播問題應(yīng)用公式a（1＋x）n=A，a表示傳播之前的人數(shù)，x表示每輪每人傳播的人數(shù)，n表示傳播的天數(shù)或輪數(shù)，A表示最終的總?cè)藬?shù)．練1、要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），計(jì)劃安排21場比賽，則參賽球隊(duì)的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【解析】設(shè)有x個(gè)隊(duì)，每個(gè)隊(duì)都要賽（x－1）場，但兩隊(duì)之間只有一場比賽，x（x－1）÷2=21，解得x=7或－6（舍去）．故應(yīng)邀請(qǐng)7個(gè)球隊(duì)參加比賽．【答案】C【方法總結(jié)】當(dāng)個(gè)體為x個(gè)，總數(shù)為n個(gè)時(shí)，單循環(huán)公式：=n，雙循環(huán)公式：x（x－1）=n．練2、晨怡學(xué)校有4名學(xué)生參加黃岡市2012年12月15日語數(shù)英三科測(cè)評(píng)，另一兄弟學(xué)校有n名學(xué)生參加測(cè)這次測(cè)評(píng)，考試結(jié)束后，兩校學(xué)生和雙方各一名領(lǐng)隊(duì)老師一起照了一張合影，然后每個(gè)學(xué)生又單獨(dú)照了一張，按大家的要求，老師對(duì)攝影師說：“合影照要每人一張，學(xué)生之間還要相互交換相片，即每個(gè)學(xué)生除了自己的一張照片外，還要有其他每個(gè)學(xué)生的一張照片．”這樣，攝影師共沖洗了112張相片，則n=．【解析】由題意得（n＋4）（n＋4）=112－（n＋4＋2），解得n1=6，n2=－15（不合題意舍去）．【答案】62、數(shù)式問題與一元二次方程【例2】我們知道，32＋42=52，這是一個(gè)由三個(gè)連續(xù)正整數(shù)組成，且前兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方的等式，是否還存在另一個(gè)“由三個(gè)連續(xù)正整數(shù)組成，且前兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方”的等式？試說出你的理由．【解析】假定存在這樣的三個(gè)數(shù)，其中中間的數(shù)為n，則有（n－1）2＋n2=（n＋1）2，整理得n2－4n=0，∴n=0或n=4，又∵n≥2，∴n=4．∴除了32＋42=52外，不存在另一個(gè)這樣的等式．【方法總結(jié)】有關(guān)數(shù)字的應(yīng)用題，大致可以分為三類，及即一般數(shù)目關(guān)系問題、連續(xù)數(shù)問題、數(shù)字排列問題．①一般數(shù)目關(guān)系問題，數(shù)目關(guān)系比較簡單，利用加、減、乘、除、和、差、積、商、倍數(shù)、余數(shù)、大、小、等于以及算律、算序等，就可以根據(jù)題目所給的條件列出方程．②連續(xù)數(shù)問題，有三種：連續(xù)整數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、連續(xù)奇數(shù)，掌握它們的表示法是解決這類應(yīng)用題的關(guān)鍵．③數(shù)字排列問題，例如：三位數(shù)=百位上的數(shù)字×100＋十位上的數(shù)字×10＋個(gè)位數(shù)字．練3、三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和比它們的和的8倍還多2，則三個(gè)自然數(shù)的平方和為（）A．77B．149C．194D．245【解析】設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)且中間一個(gè)為x，所以另兩個(gè)分別為x－1，x＋1．則三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和為（x－1）2＋x2＋（x＋1）2=3x2＋2，三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為x－1＋x＋x＋1=3x，則3x2＋2=24x＋2，解得x1=0（不合題意，舍去），x2=8．∴3x2＋2=194．【答案】C練4、一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個(gè)兩位數(shù)為（）A．25B．36C．25或36D．－25或－36【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字應(yīng)該是x－3，由題意得10（x－3）＋x=x2，解得x1=5，x2=6，那么這個(gè)兩位數(shù)就應(yīng)該是25或36．【答案】C3、增長率問題與一元二次方程【例3】（2014?江蘇南京）某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬元，可變成本逐年增長，已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2．6萬元，設(shè)可變成本平均的每年增長的百分率為x．（1）用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為萬元．（2）如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7．146萬元，求可變成本平均每年增長的百分率x．【解析】（1）2．6（1＋x）2；（2）由題意，得4＋（1＋x）2=7．146，解得x1=0．1，x2=－（不合題意，舍去）．答：可變成本平均每年增長的百分率為10%．【方法總結(jié)】在增長率問題中，要理解a（1＋x）n=b（其中a是原來的量，x是平均增長率，n是增長的次數(shù)，b是增長到的量）的含義．原來的量經(jīng)過一次增長后達(dá)到a（1＋x）；在這個(gè)基礎(chǔ)上，再增長一次即經(jīng)過第二次增長后達(dá)到a（1＋x）（1＋x）=a（1＋x）2；在這個(gè)基礎(chǔ)上，再增長一次即經(jīng)過第三次增長后達(dá)到a（1＋x）（1＋x）（1＋x）=a（1＋x）3；…；依次類推．解增長率問題公式：a（1±x）n=b．練5、（2014?湖北宜昌）在“文化宜昌?全民閱讀”活動(dòng)中，某中學(xué)社團(tuán)“精一讀書社”對(duì)全校學(xué)生的人數(shù)及紙質(zhì)圖書閱讀量（單位：本）進(jìn)行了調(diào)查，2012年全校有1000名學(xué)生，2013年全校學(xué)生人數(shù)比2012年增加10%，2014年全校學(xué)生人數(shù)比2013年增加100人．（1）求2014年全校學(xué)生人數(shù)；（2）2013年全校學(xué)生人均閱讀量比2012年多1本，閱讀總量比2012年增加1700本（注：閱讀總量=人均閱讀量×人數(shù)）．①求2012年全校學(xué)生人均閱讀量；②2012年讀書社人均閱讀量是全校學(xué)生人均閱讀量的2．5倍，如果2012年、2014年這兩年讀書社人均閱讀量都比前一年增長一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)a，2014年全校學(xué)生人均閱讀量比2012年增加的百分?jǐn)?shù)也是a，那么2014年讀書社全部80名成員的閱讀總量將達(dá)到全校學(xué)生閱讀總量的25%，求a的值．【解析】（1）由題意，得2013年全校學(xué)生人數(shù)為1000×（1＋10%）=1100人，∴2014年全校學(xué)生人數(shù)為1100＋100=1200人；（2）①設(shè)2012人均閱讀量為x本，則2013年的人均閱讀量為（x＋1）本，由題意，得1100（x＋1）=1000x＋1700，解得x=6．答：2012年全校學(xué)生人均閱讀量為6本；②由題意，得2012年讀書社的人均讀書量為2．5×6=15本，2014年讀書社人均讀書量為15（1＋a）2本，2014年全校學(xué)生的讀書量為6（1＋a）本，80×15（1＋a）2=1200×6（1＋a）×25%，2（1＋a）2=3（1＋a），∴a1=－1（舍去），a2=0．5．答：a的值為0．5．4、利潤問題與一元二次方程【例4】某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)800件T恤，第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時(shí)單價(jià)為40元，設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低x元．（1）填表：（不需化簡）時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉時(shí)單價(jià)（元）8040銷售量（件）200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？【解析】（1）80－x，200＋10x，800－200－（200＋10x）；（2）根據(jù)題意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800=9000，整理，得x2－20x＋100=0，解這個(gè)方程，得x1=x2=10．當(dāng)x=10時(shí)，80－x=70>50．答：第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是10元．【方法總結(jié)】有關(guān)利潤問題常用的關(guān)系式有：利潤=售價(jià)－成本，利潤=成本×利潤率，利潤率=（售價(jià)一成本）÷成本，售價(jià)=成本×（1＋利潤率）．練6、（2014?江蘇徐州）為了倡導(dǎo)節(jié)能低碳的生活，某公司對(duì)集體宿舍用電收費(fèi)作如下規(guī)定：一間宿舍一個(gè)月用電量不超過a千瓦時(shí)，則一個(gè)月的電費(fèi)為20元；若超過a千瓦時(shí)，則除了交20元外，超過部分每千瓦時(shí)要交元．某宿舍3月份用電80千瓦時(shí)，交電費(fèi)35元；4月份用電45千瓦時(shí)，交電費(fèi)20元．（1）求a的值；（2）若該宿舍5月份交電費(fèi)45元，那么該宿舍當(dāng)月用電量為多少千瓦時(shí)？【解析】根據(jù)3月份用電80千瓦時(shí)，交電費(fèi)35元，得20＋（80－a）=35，即a2－80a＋1500=0，解得a1=30，a2=50．由4月份用電45千瓦時(shí)，交電費(fèi)20元，所以a≥45，∴a=50（1）設(shè)月用電量為x千瓦時(shí)，交電費(fèi)y元，則y=∵5月份交電費(fèi)45元，∴5月份的用電量超過50千瓦時(shí)，∴20＋（x－50）=45，解得x=100．答：a的值為50；（2）若該宿舍5月份交電費(fèi)45元，那么該宿舍當(dāng)月用電量為100千瓦時(shí)．5、面積問題與一元二次方程【例5】為響應(yīng)市委市政府提出的建設(shè)“綠色襄陽”的號(hào)召，我市某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的長方形空地，建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532m2【解析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，依題意得（30－2x）（20－x）=532．整理，得x2－35x＋34=0，解得，x1=1，x2=34．∵34＞30（不合題意，舍去），∴x=1．答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米．【方法總結(jié)】幾何圖形一般從面積（或體積）相等方面找等量關(guān)系，有關(guān)的面積（或體積）公式：①面積公式：S長方形=ab，S正方形=a2，S圓=，S三角形=ah；②體積公式：V長方體=abh，V正方體=a3，V圓柱=，V圓錐=．求解不規(guī)則圖形的面積問題，通常做法是：把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，找出變化前后面積之間的關(guān)系，然后列出方程求解．練7、（2014?南京聯(lián)合體一模）如圖，某市近郊有一塊長為60米，寬為50米的矩形荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個(gè)綜合性休閑廣場，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的三個(gè)矩形（其中三個(gè)矩形的一邊長均為a米）區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場地．（1）設(shè)通道的寬度為x米，則a=（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若塑膠運(yùn)動(dòng)場地總占地面積為2430平方米．請(qǐng)問通道的寬度為多少米？【解析】（1）；（2）根據(jù)題意得，（50－2x）（60－3x）－x?=2430，解得x1=2，x2=38（不合題意，舍去）．答：中間通道的寬度為2米．6、幾何問題與一元二次方程【例6】如圖，要建造一個(gè)直角梯形的花圃．要求AD邊靠墻，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三邊的和為20米．設(shè)AB的長為5x米．（1）請(qǐng)求出AD的長（用含字母x的式子表示）；（2）若該花圃的面積為50米2，且周長不大于30米，求AB的長．【解析】（1）作BE⊥AD于E，∴∠AEB=∠DEB=90°．∵CD⊥AD，∴∠ADC=90°．∵BC∥AD∴∠EBC=90°，∴四邊形BCDE是矩形，∴BE=CD，BC=DE．∵AB：CD=5：4，AB的長為5x，∴CD=4x，∴BE=4x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=3x．∵BC=20－5x－4x=20－9x，∴DE=20－9x，∴AD=20－9x＋3x=20－6x．（2）由題意，得，解得x1=，x2=1，由20?9x＋20?6x＋4x＋5x≤30，得x≥，∴x=，AB=5×=．【方法總結(jié)】本題依托梯形的面積公式、梯形的周長公式的運(yùn)用，通過面積、勾股定理構(gòu)造一元二次方程求解，同時(shí)運(yùn)用一元一次不等式，確立一元二次方程的解是否合符實(shí)際意義．練8、（2015?江蘇蘇州模擬）如圖，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)沿折線A→B→C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)末端停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．（1）問兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的；（2）問兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過多長時(shí)間使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為？若存在，求出運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的．根據(jù)題意，得BP=6－2t，CQ=t，矩形的面積是12．則有（t＋6－2t）×2=12×，解得t=；（2）設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過t秒使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為．①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，則有（6－2t－t）2＋4=5，解得t=或；②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，則有（8－2t）2＋t2=5，得方程5t2－32t＋59=0，此時(shí)△＜0，此方程無解．綜上所述，當(dāng)t=或時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為．1．（2014?天津市）要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，則x滿足的關(guān)系式為（）A．x（x＋1）=28B．x（x－1）=28C．x（x＋1）=28D．x（x－1）=282．已知平面中有n個(gè)點(diǎn)，A，B，C三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，A，D，E，F(xiàn)四個(gè)點(diǎn)也在一條直線上，除些之外，再?zèng)]有三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，以這n個(gè)點(diǎn)作直線，那么一共可以畫出38條不同的直線，這時(shí)n等于（）A．9B．10C．11D．123．一名跳水運(yùn)動(dòng)員從10m高臺(tái)上跳水，他每一時(shí)刻所在高度h（單位：m）與所用時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系是h=－5（t－2）（t＋1），則該運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水所用的時(shí)間是（）A．5

sB．2

sC．3

sD．1

s4．（2014?湖北武漢元月調(diào)考）為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請(qǐng)n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書之后，又邀請(qǐng)n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，依此類推，已知經(jīng)過兩輪傳播后，共有111人參與了傳播活動(dòng)，則n=．5．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位與十位上的數(shù)字之和為8，把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，所得的新兩位數(shù)與原數(shù)的乘積為1855，則原兩位數(shù)是．6．（2014?浙江湖州模擬）甲型H1N1流感傳染能力很強(qiáng)．若有一人患這種流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患流感，則每輪傳染中平均一人傳染了人，若不加以控制，以這樣的速度傳播下去，經(jīng)過三輪傳播，將共有人患流感．7．（2014?湖北鄂州）近幾年，我國經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，但退休人員待遇持續(xù)偏低．為了促進(jìn)社會(huì)公平，國家決定大幅增加退休人員退休金．企業(yè)退休職工李師傅2011年月退休金為1500元，2013年達(dá)到2160元．設(shè)李師傅的月退休金從2011年到2013年年平均增長率為x，可列方程為（）A．2016（1－x）2=1500B．1500（1＋x）2=2160C．1500（1－x）2=2160D．1500＋1500（1＋x）＋1500（1＋x）2=21608．某商場有一種工藝品，一件工藝品進(jìn)價(jià)為100元，標(biāo)價(jià)為135元售出，每天可售出100件，根據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)，一件工藝品每降低1元出售，則每天可多售出4件，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價(jià)（）A．4元B．6元C．4元或6元D．5元9．（2014?鄂州二模）某方便面廠10月份生產(chǎn)方便面100噸，這樣1至10月份生產(chǎn)量恰好完成全年的生產(chǎn)任務(wù)，為了滿足市場需要，計(jì)劃到年底再生產(chǎn)231噸方便面，這樣就超額全年生產(chǎn)任務(wù)的21%，則11、12月的月平均增長率為（）A．10%B．31%C．13%D．11%10．（2014?湖北武漢調(diào)考）武漢市某中學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)規(guī)劃在校園內(nèi)的一塊長36米，寬20米的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的人行道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草（如圖所示），若使每一塊草坪的面積都為96平方米，設(shè)人行道的寬為x米，下列方程：①（36－2x）（20－x）=96×6，②2×20x＋（36－2x）x=36×20－96×6，③（18－x）（10－）=×96×6，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)11．（2015?貴州遵義模擬）如圖，矩形ABCD的周長是20cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面積之和68cm2，那么矩形ABCD的面積是（）A．21cm2B．16cm2C．24cm2D．9cm212．（2014?江蘇宿遷）一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是m．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.（2014?江蘇鎮(zhèn)江模擬）通過對(duì)蘇科版九（上）教材一道習(xí)題的探索研究，“在一次聚會(huì)中，有45個(gè)人，每兩個(gè)參加聚會(huì)的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”對(duì)這個(gè)問題，我們可以作這樣的假設(shè)：第1個(gè)學(xué)生分別與其他44個(gè)學(xué)生握手，可握44次手；第2個(gè)學(xué)生也分別與其他44個(gè)學(xué)生握手，可握44次手；…依此類推，第45個(gè)學(xué)生與其他44個(gè)學(xué)生握手，可握44次手，如此共有45×44次握手，顯然此時(shí)每兩人之間都按握了兩次手進(jìn)行計(jì)算的．因此，按照題意，45個(gè)人每兩人之間握一次手共握了=990次手．像這樣解決問題的方法我們不妨稱它為“握手解法”．（1）若本次聚會(huì)共有n個(gè)人，每兩個(gè)參加聚會(huì)的人都互相握了一次手，一共握了次手．請(qǐng)靈活運(yùn)用這一知識(shí)解決下列問題．（2）一個(gè)QQ群中有若干好友，每個(gè)好友都分別給群里其他好友發(fā)送了一條信息，這樣共有756條信息，這個(gè)QQ群中共有多少個(gè)好友？（3）已知一條直線上共有5個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上共有幾條線段？（4）利用（3）的結(jié)論解決問題：已知由邊長為1的正方形拼成如圖所示的矩形ABCD，圖中共有①多少個(gè)矩形？②多少個(gè)正方形？2．（☆☆2012?山東濰坊）如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出3×3個(gè)位置相鄰的9個(gè)數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，則這9個(gè)數(shù)的和為（）A．32B．126C．135D．1443．某旅店一樓的客房比二樓少一間，各個(gè)客房的床位同這層的房間數(shù)相同，現(xiàn)有36人入住，底樓都住滿了，二樓也只剩下一間空房，則二樓的房間有（）A．5間B．6間C．7間D．4間4．（☆☆☆）某書的頁碼是連續(xù)的自然數(shù)1，2，3，4，…9，10…，當(dāng)將這些頁碼相加時(shí)，某人把其中一個(gè)頁碼加了兩次，結(jié)果和為2006，加了兩次的是第（）頁．A．10B．20C．43D．535．（☆☆☆）在一次象棋比賽中，實(shí)行單循環(huán)賽制（即每個(gè)選手都與其他選手比賽一局），每局勝者記2分，負(fù)者記0分，如果平局，兩個(gè)選手各記1分．某位同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總和為110分，則這次比賽中共有名選手參賽．6．（2014?江蘇淮北模擬）如圖，每個(gè)大正方形是由邊長為1的小正方形組成．觀察如圖圖形，完成下列填空：（1）猜想：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，圖n中黑色小正方形的個(gè)數(shù)為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，圖n中黑色小正方形的個(gè)數(shù)為；（2）在邊長為偶數(shù)的正方形中，白色小正方形的個(gè)數(shù)是黑色小正方形個(gè)數(shù)的4倍，求這個(gè)正方形的邊長．7．某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛形，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程l（cm）與時(shí)間t（s）滿足關(guān)系：l=t2＋t（t≥0），乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長度為21cm．（1）甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？（3）甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？8.某商店將甲、乙兩種糖果混合運(yùn)算，并按以下公式確定混合糖果的單價(jià)：單價(jià)=（元/千克），其中m1，m2分別為甲、乙兩種糖果的重量（千克），a1，a2分別為甲、乙兩種糖果的單價(jià)（元/千克）．已知a1=20元/千克，a2=16元/千克，現(xiàn)將10千克乙種糖果和一箱甲種糖果混合（攪拌均勻）銷售，售出5千克后，又在混合糖果中加入5千克乙種糖果，再出售時(shí)混合糖果的單價(jià)為元/千克，這箱甲種糖果有千克．9．（2014?新疆烏魯木齊）某工廠使用舊設(shè)備生產(chǎn)，每月生產(chǎn)收入是90萬元，每月另需支付設(shè)備維護(hù)費(fèi)5萬元，從今年1月份起使用新設(shè)備，生產(chǎn)收入提高且無設(shè)備維護(hù)費(fèi)，使用當(dāng)月生產(chǎn)收入達(dá)100萬元，1至3月份生產(chǎn)收入以相同的百分率逐月增長，累計(jì)達(dá)364萬元，3月份后，每月生產(chǎn)收入穩(wěn)定在3月份的水平．（1）求使用新設(shè)備后，2月、3月生產(chǎn)收入的月增長率；（2）購進(jìn)新設(shè)備需一次性支付640萬元，使用新設(shè)備幾個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤？（累計(jì)利潤是指累計(jì)生產(chǎn)收入減去就設(shè)備維護(hù)費(fèi)或新設(shè)備購進(jìn)費(fèi)）10．（2014?湖北隨州）楚天汽車銷售公司5月份銷售某種型號(hào)汽車，當(dāng)月該型號(hào)汽車的進(jìn)價(jià)為30萬元/輛，若當(dāng)月銷售量超過5輛時(shí)，每多售出1輛，所有售出的汽車進(jìn)價(jià)均降低0．1萬元/輛．根據(jù)市場調(diào)查，月銷售量不會(huì)突破30臺(tái)．（1）設(shè)當(dāng)月該型號(hào)汽車的銷售量為x輛（x≤30，且x為正整數(shù)），實(shí)際進(jìn)價(jià)為y萬元/輛，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知該型號(hào)汽車的銷售價(jià)為32萬元/輛，公司計(jì)劃當(dāng)月銷售利潤25萬元，那么月需售出多少輛汽車？（注：銷售利潤=銷售價(jià)－進(jìn)價(jià)）11．（2014?安徽安慶模擬）某市2012年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2011年增長了12%，由于受到國際金融危機(jī)的影響，預(yù)計(jì)今年比2012年增長7%，若這兩年GDP年平均增長率為x%，則x%滿足的關(guān)系是（）A．12%＋7%=x%B．（1＋12%）（1＋7%）=2（1＋x%）C．12%＋7%=2?x%D．（1＋12%）（1＋7%）=（1＋x%）212．（2015?湖北黃岡二模）某廠把500萬元資金投入新產(chǎn)品生產(chǎn)，一年后獲得了一定的利潤，在不抽掉資金和利潤的前提下，第二年的利潤率比第一年的利潤率增加了8%，這樣第二年凈得利潤112萬元，為求第一年的利潤率，可設(shè)它為x，則解得第一年的利潤率是（）A．10%B．11%C．12%D．13%13．（2014?山東泰安）某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時(shí)，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0．5元，要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3＋x）（4－）=15B．（x＋3）（4＋）=15C．（x＋4）（3－）=15D．（x＋1）（4－）=1514．隨著青奧會(huì)的臨近，青奧特許商品銷售逐漸火爆．甲、乙兩家青奧商品專賣店一月份銷售額分別為10萬元和15萬元，三月份銷售額甲店比乙店多10萬元．已知甲店二、三月份銷售額的月平均增長率是乙店二、三月份月平均增長率的2倍，那么乙店這兩個(gè)月的月平均增長率是．15．燃放煙花爆竹是中國春節(jié)的傳統(tǒng)民俗，可注重低碳、環(huán)保、健康的市民讓今年的煙花爆竹遇冷．在江北區(qū)北濱路一煙花爆竹銷售點(diǎn)了解到，某種品牌的煙花2013年除夕每箱進(jìn)價(jià)100元，售價(jià)250元，銷售量40箱．而2014年除夕當(dāng)天和去年當(dāng)天相比，該店的銷售量下降了4a%（a為正整數(shù)），每箱售價(jià)提高了a%，成本增加了50%，其銷售利潤僅為去年當(dāng)天利潤的50%．則a的值為．16．某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的進(jìn)價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0．1萬元/部，月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內(nèi)（含10部），每部返利0．5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元．（1）若該公司當(dāng)月售出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為萬元；（2）如果汽車的售價(jià)為28萬元/部，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤＋返利）17．（2014?重慶A卷）為豐富居民業(yè)余生活，某居民區(qū)組建籌委會(huì)，該籌委會(huì)動(dòng)員居民自愿集資建立一個(gè)書刊閱覽室．經(jīng)預(yù)算，一共需要籌資30000元，其中一部分用于購買書桌、書架等設(shè)施，另一部分用于購買書刊．（1）籌委會(huì)計(jì)劃，購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設(shè)施資金的3倍，問最多用多少資金購買書桌、書架等設(shè)施？（2）經(jīng)初步統(tǒng)計(jì)，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需集資150元．鎮(zhèn)政府了解情況后，贈(zèng)送了一批閱覽室設(shè)施和書籍，這樣，只需參與戶共集資20000元．經(jīng)籌委會(huì)進(jìn)一步宣傳，自愿參與的戶數(shù)在200戶的基礎(chǔ)上增加了a%（其中a＞0）．則每戶平均集資的資金在150元的基礎(chǔ)上減少了a%，求a的值．18．（2014?江蘇宿遷）一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是m．19．（2015?江蘇蘇州模擬）如圖，鄰邊不等的矩形花圃ABCD，它的一邊AD利用已有的圍墻，另外三邊所圍的柵欄的總長度是6m．若矩形的面積為4m2，則AB的長度是m（可利用的圍墻長度超過6m20．（2014?山西?。┠承陆ɑ疖囌菊厩皬V場需要綠化的面積為46000米2，施工隊(duì)在綠化了22000米2后，將每天的工作量增加為原來的倍，結(jié)果提前4天完成了該項(xiàng)綠化工程．（1）該項(xiàng)綠化工程原計(jì)劃每天完成多少米2？（2）該項(xiàng)綠化工程中有一塊長為20米，寬為8米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），問人行通道的寬度是多少米？21．（2014?江蘇秦淮區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長為10cm，點(diǎn)P從A開始沿折線A→D→C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從D開始沿CD邊以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、D同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)C時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）t為何值時(shí)，△PQB為直角三角形；（2）t為何值時(shí)，△PQB面積為正方形ABCD面積的？22．（2014?湖北咸寧）用一條長為40cm的繩子圍成一個(gè)面積為acm2的長方形，a的值不可能為（）A．20B．40C．100D．12023．（2014?江岸區(qū)模擬）如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫豎彩條的寬度比為2：1，如果要使彩條所占面積是圖案面積的，則豎彩條寬度為（）A．1cmB．2cmC．19cmD．1cm或19cm24．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且△AEF是等邊三角形，則BE的長為（）A．2?B．2＋C．2＋D．?225．（2014?黑龍江牡丹江）現(xiàn)有一塊長80cm、寬60cm的矩形鋼片，將它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長為xcm的小正方形，做成一個(gè)底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，根據(jù)題意列方程，化簡可得．26．（2014?天橋區(qū)三模）如圖，矩形ABCD是由三個(gè)矩形拼接成的．如果AB=8，陰影部分的面積是24，另外兩個(gè)小矩形全等，那么小矩形的長為．27．（2014?江蘇淮安）用長為32米的籬笆圍一個(gè)矩形養(yǎng)雞場，設(shè)圍成的矩形一邊長為x米，面積為y平方米．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圍成的養(yǎng)雞場面積為60平方米？（3）能否圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場？如果能，請(qǐng)求出其邊長；如果不能，請(qǐng)說明理由．28．（2015?江蘇徐州二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿A→D→C的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（秒），△APQ的面積為S（平方單位）．（1）點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是秒．（2）當(dāng)S=時(shí)，求x的值．（3）當(dāng)△AQP為銳角三角形時(shí)，直接寫出x的取值范圍．

參考答案當(dāng)堂檢測(cè)1．【答案】B【解析】每支球隊(duì)都需要與其他球隊(duì)賽（x－1）場，但2隊(duì)之間只有1場比賽，所以可列方程為x（x－1）=4×7．2．【答案】B【解析】由n個(gè)點(diǎn)中每次選取兩個(gè)點(diǎn)連直線，可以畫出條直線，若A，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出3條直線，若A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出6條直線，∴－3－6＋2=38，整理得n2－n－90=0，（n－10）（n＋90）=0，∴n=10或n=－90（舍去）．3．【答案】D【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)員起跳到入水所用的時(shí)間是xs，根據(jù)題意可知－5（x－2）（x＋1）=10，解得x1=0（不合題意舍去），x2=1．那么運(yùn)動(dòng)員起跳到入水所用的時(shí)間是1s．4．【答案】10【解析】由題意，得n＋n2＋1=111，解得n1=－11（舍去），n2=10．5．【答案】35或53【解析】設(shè)原來的兩位數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為（8－x），依題意得（10x＋8－x）〔10（8－x）＋x〕=1855，解這個(gè)方程得x1=3，x2=5．當(dāng)x=3時(shí)，8－x=5；當(dāng)x=5時(shí)，8－x=3，∴原來的兩位數(shù)是35或53．6．【答案】7，512【解析】設(shè)每輪傳染中平均一人傳染了x人，則1＋x＋（1＋x）x=64，解得x=7，x=－9（不合題意舍去）．經(jīng)過三輪傳播，第三輪患流感人數(shù)=64×7=448（人），三輪總?cè)藬?shù)為448＋64=512（人）．7．【答案】B【解析】如果設(shè)李師傅的月退休金從2011年到2013年年平均增長率為x，那么根據(jù)題意得今年退休金為1500（1＋x）2，列出方程為1500（1＋x）2=2160．8．【答案】B【解析】設(shè)工藝品需降價(jià)x元，（135－x）（100＋4x）－100（100＋4x）=3596，x2－10x＋24=0，x=4或x=6．因?yàn)橐诡櫩捅M量得到優(yōu)惠，所以x=6．9．【答案】A【解析】設(shè)11、12月的月平均增長率為x，由題意，得100（1＋x）＋100（1＋x）2=231，解得x1=－（舍去），x2=0．1=10%．10．【答案】D【解析】依題意得可列出方程①、（36－2x）（20－x）=96×6；②、20x×2＋36×x＋96×6=36×20；即2×20x＋（36－2x）x=36×20－96×6；③、將方程①兩邊同除4可得（18x－x）（10－）=×96×6，∴正確的為①、②、③．11．【答案】B【解析】設(shè)AB=xcm，AD=（10－x）cm，則正方形ABEF的面積為x2cm2，正方形ADGH的面積為（10－x）2cm2，根據(jù)題意得x2＋（10－x）2=68，整理得x2－10x＋16=0，解得x1=2，x2=8，所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，綜上可求矩形ABCD的面積是16cm12．【答案】12【解析】設(shè)原菜地的長為x米，則寬為（x－2）米，根據(jù)題意，得x（x－2）=120，解得x=12或x=－10（舍去）．家庭作業(yè)1．【解析】（1）；（2）設(shè)這個(gè)QQ群中共有n個(gè)好友，依題意，得=756，解得n=28．答：這個(gè)QQ群中共有28個(gè)好友；（3）=10．答：一條直線上共有5個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上共有10條線段；（4）①圖中AD上有6個(gè)點(diǎn)，可得AD上有=15條線段；AB上有5個(gè)點(diǎn)，可得AB上有=10條線段．而AD上任意一條線段與AB上任一條線段“握手”，都會(huì)構(gòu)成一個(gè)矩形，所以圖中共有mn=15×10=150個(gè)矩形；②AD上的線段與AB上的線段“握手”時(shí)，要構(gòu)成正方形，就要去“握手”的兩條線段必須相等．如下表：

線段長度AD上的條數(shù)

AB上的條數(shù)

“握手”次數(shù)

1

5

4

5×4=20

2

4

3

4×3=12

3

3

2

3×2=6

4

2

1

2×1=2由表中可得，共“握手”20＋12＋2=40次，即圖中共有40個(gè)正方形．2．【答案】D【解析】由日歷表可知，圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的差總為16，又已知最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，所以設(shè)最大數(shù)為x，則最小數(shù)為x－16．∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（負(fù)數(shù)舍去）．∴最大數(shù)為24，最小數(shù)為8．∴圈出的9個(gè)數(shù)為8，9，10，15，16，17，22，23，24，和為144．3．【答案】A【解析】設(shè)二樓的房間有x間，根據(jù)題意得（x－1）2＋（x2－x）=36，方程化簡為2x2－3x－35=0，即（x－5）（2x＋7）=0，解得x=5，x=－（舍去），故選A．4．【答案】D【解析】設(shè)書的頁數(shù)到n頁，重復(fù)加了第x頁，則＋x=2006，n（n＋1）=4012－2x，62×63＜4012＜63×64，∴n=62，∴x=53．5．【答案】11【解析】設(shè)這次比賽中共有x名選手參加，則2×x（x－1）=110，解得x=11．6．【解析】（1）（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，圖n中黑色小正方形的個(gè)數(shù)為2n－1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，圖n中黑色小正方形的個(gè)數(shù)為2n；（2）設(shè)這個(gè)正方形的邊長為n，根據(jù)題意，得n2－2n=4×2n，整理得n2－10n=0，解得n=10或n=0（不合題意，舍去）．答：這個(gè)正方形的邊長為10．7．【解析】（1）當(dāng)t=4s時(shí)，l=t2＋t=8＋6=14（cm），答：甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是14cm；（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時(shí)走過的路程為半圓21cm，甲走過的路程為t2＋t，乙走過的路程為4t，則t2＋t＋4t=21，解得t=3或t=－14（不合題意，舍去）．答：甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了3s；（3）由圖可知，甲乙第二次相遇時(shí)走過的路程為三個(gè)半圓：3×21=63cm，則t2＋t＋4t=63，解得t=7或t=－18（不合題意，舍去）．答：甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了7s．8．【答案】10【解析】設(shè)這箱甲種糖果重x千克，則20x＋（10＋5）×16=×5＋（x＋10）×17．5．去分母整理得x2－4x－60=0，解得x1=10，x2=－6．經(jīng)檢驗(yàn)x1，x2都是原方程的根，但x2=－6不合題意，舍去，∴x=10．9．【解析】（1）設(shè)每月的增長率為x，由題意得：100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2=364，解得x=0．2，或x=－3．2（不合題意舍去）答：每月的增長率是20%．（2）設(shè)使用新設(shè)備y個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤，依題意有364＋100（1＋20%）2（y－3）－640≥（90－5）y，解得y≥12．故使用新設(shè)備12個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤．10．【解析】（1）由題意，得當(dāng)0＜x≤5時(shí)，y=30．當(dāng)5＜x≤30時(shí)，y=30－0．1（x－5）=－＋．∴y=；（2）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，（32－30）×5=10＜25，不符合題意．當(dāng)5＜x≤30時(shí)，[32－（－＋）]x=25，解得x1=－25（舍去），x2=10．答：該月需售出10輛汽車．11．【答案】D【解析】若設(shè)2011年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為a，則根據(jù)實(shí)際增長率和平均增長率,得到2012年國內(nèi)生產(chǎn)總值a（1＋x%）或a（1＋12%），所以1＋x%=1＋12%；今年的國內(nèi)生產(chǎn)總值a（1＋x%）2或a（1＋12%）（1＋7%）．所以（1＋x%）2=（1＋12%）（1＋7%）．12．【答案】C【解析】第一年的利潤是500x萬元，則第二年的投入資金為（500＋500x）萬元，第二年的利潤率為x＋8%，利潤為112萬元，所以可得方程（500＋500x）（x＋8%）=112，解方程可得x=12%，故選C．13．【答案】A【解析】根據(jù)已知假設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x＋3）株，得出平均單株盈利為（4－0．5x）元，由題意得（x＋3）（4－0．5x）=15．14．【答案】60%【解析】設(shè)乙店銷售額月平均增長率為x，由題意得：10（1＋2x）2－15（1＋x）2=10，解得

x1=60%，x2=－1（舍去）．15．【答案】10【解析】根據(jù)題意得40（1－4a%）×[250（1＋a%）－（1＋50%）×100]=40×（250－100）×50%，整理得（1－4a%）（100＋2．5a）=75，即（a＋25）（a－10）=0，解得a=－25（舍去）或a=10，則a的值為10．16．【解析】（1）26．8；（2）設(shè)需要售出x部汽車，由題意可知，每部汽車的銷售利潤為28－[27－（x－1）]=（0．1x＋）（萬元），當(dāng)0≤x≤10，根據(jù)題意，得x·（＋）＋0．5x=12，整理，得x2＋14x－120=0，解這個(gè)方程，得x1=－20（不合題意，舍去），x2=6．當(dāng)x＞10時(shí)，根據(jù)題意，得x·（＋）＋x=12，整理，得x2＋19x－120=0，解這個(gè)方程，得x1=－24（不合題意，舍去），x2=5．∵5＜10，∴x2=5舍去．答：要賣出6部汽車．17．【解析】（1）設(shè)用于購買書桌、書架等設(shè)施的為x元，則購買書籍的有（30000－x）元，根據(jù)題