第01講二元一次方程組的概念與求解（重難點突破）

第01講二元一次方程組的概念與求解（重難點）【知識點一、二元一次方程】含有兩個未知數，并且含有未知數的的次數都是，像這樣的方程叫做二元一次方程．說明：二元一次方程滿足的三個條件：（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.【知識點二、二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程兩邊的值的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的一組解．說明：(1)二元一次方程的解都是一對數值，而不是一個數值，一般用大括號聯(lián)立起來，如：．(2)一般情況下，二元一次方程有無數個解，即有無數多對數適合這個二元一次方程．【知識點三、二元一次方程組】把具有未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.說明：組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數，例如也是二元一次方程組.【知識點四、二元一次方程組的解】一般地，二元一次方程組的兩個方程的，叫做二元一次方程組的解.注意：（1）二元一次方程組的解是一組數對，它必須同時滿足方程組中的每一個方程，一般寫成的形式．(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數個．【知識點五、消元法】1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數，如果消去其中一個未知數，那么就把二元一次方程組轉化為我們熟悉的方程，我們就可以先求出一個未知數，然后再求出另一個未知數.這種將未知數由多化少、逐一解決的思想，叫做思想.2.消元的基本思路：未知數由多變少.3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉化為一元一次方程.【知識點六、代入消元法】通過“代入”消去一個未知數，將方程組轉化為方程，這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法．說明：(1)代入消元法的關鍵是先把系數較簡單的方程變形為：用含一個未知數的式子表示另一個未知數的形式，再代入另一個方程中達到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①當方程組中含有一個未知數表示另一個未知數的代數式時，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數的系數為1(或1)的方程．則選擇系數為1(或1)的方程進行變形比較簡便；③若方程組中所有方程里的未知數的系數都不是1或1，選系數絕對值較小的方程變形比較簡便．【知識點七、加減消元法解二元一次方程組】兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或時，將兩個方程的兩邊分別或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法．說明：用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不互為相反數，又不相等，那么就用適當的數乘方程的兩邊，使同一個未知數的系數互為相反數或相等；(2)把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程，求得一個未知數的值；（4)將這個求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數的值，并把求得的兩個未知數的值用“大括號”聯(lián)立起來，就是方程組的解．題型一二元一次方程例1．下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A．，是一元一次方程，故本選項不符合題意；B．，是二元二次方程，故本選項不符合題意；C．，是二元一次方程，故本選項符合題意；D．，是分式方程，故本選項不符合題意．故選：C．【變式訓練11】、下列一定是關于x、y的二元一次方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A．方程是二元二次方程，選項A不符合題意；B．當a，b不同時為0時，方程是一元一次方程，選項B不符合題意；C．方程是三元一次方程，選項C不符合題意；D．方程是二元一次方程，選項D符合題意．故選：D．【變式訓練12】、下列方程為二元一次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、是二元一次方程，符合題意；B、不是二元一次方程，不符合題意；C、不是二元一次方程，不符合題意；D、不是二元一次方程，不符合題意；故選：A．題型二二元一次方程的解例2．下列四組數值是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A、把代入方程，得，不是方程的解，本選項不符合題意；B、把代入方程，得，不是方程的解，本選項不符合題意；C、把代入方程，得，是方程的解，本選項符合題意；D、把代入方程，得，不是方程的解，本選項不符合題意；故選：C．【變式訓練21】、下列各組數滿足方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故A符合題意；當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故B不符合題意；當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故C不符合題意；當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故D不符合題意；故選：A．【變式訓練22】、為獎勵消防演練活動中表現(xiàn)優(yōu)異的同學，某校決定用1200元購買籃球和排球(兩種球都買且錢全部花光)，其中籃球每個120元，排球每個90元，購買方案有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】B【詳解】解：設購買籃球個，購買排球個，，解得，或或，在兩種球都買且錢全部花光的情況下，購買方案有3種，故選B．題型三二元一次方程組例3．在下列方程組：①，②，③，④中，是二元一次方程組的是（

）A．①③ B．①④ C．①② D．只有①【答案】B【詳解】解：方程組①，④中符合二元一次方程組的定義，符合題意．方程組②屬于二元二次方程組，不符合題意．方程組③中的第一個方程不是整式方程，不符合題意．故選：B．【變式訓練31】、下列方程組中是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A、最高次項的次數為2，不符合二元一次方程組的定義；B、整個方程組里含有3個未知數，不符合二元一次方程組的定義；C、符合二元一次方程組的定義；D、不是整式方程，不符合二元一次方程組的定義；故選：C．【變式訓練32】、下列方程組是二元一次方程組的有（

）①

②

③

④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：經過觀察可發(fā)現(xiàn)方程組③有三個未知數，不是二元一次方程組，方程組①②④都是二元一次方程組，共有3個．故選：C．題型四二元一次方程組的解例4．已知一個二元一次方程組的解是，則這個方程組是（

）A． B． C． D．【答案】C不是二元一次方程組，不符合題意．代入方程組可得，該數值不滿足方程組中的方程．代入方程組，可得這組解滿足每一個方程，符合題意．不是二元一次方程組，不符合題意．故選：C．【變式訓練41】、方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】代入①式中得，左邊右邊，成立．代入②式中得左邊右邊，②式不成立．因此A選項不是方程組的解，不符合題意．B.將代入①式中得，左邊右邊，①式不成立，因此A選項不是方程組的解，不符合題意．C.將代入①式中得，左邊右邊，成立．代入②式中得左邊右邊，②式成立．因此C選項是方程組的解，符合題意．代入①式中得，左邊右邊，①式不成立，因此D選項不是方程組的解，不符合題意．故選：C．【變式訓練42】、若是下列某二元一次方程組的解，則這個方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、，適合方程組中的每一個方程，故該選項符合題意；B、，不是方程組中每一個方程的解，故該選項不合題意．C、，不是方程的解，故該選項不合題意；D、，不是方程組中每一個方程的解，故本選項不合題意；故選：A．題型五代入消元法例5．已知方程，用含x的代數式表示y，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：根據題意，得，則，故選：A．【變式訓練51】、用代入消元法解方程組，下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：，由①得；，將代入②得，或，觀察四個選項，選項D符合題意，故選：D．【變式訓練52】、老師設計了一個解方程組的接力游戲，學習小組的個成員每人完成一步如圖所示是個人合作完成方程組的解題過程，合作中自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的同學是（）A．甲 B．丙 C．乙和丁 D．甲和丙【答案】B【詳解】解：，由①得，，將③代入②得，，去分母得，，合并同類項得，，系數化為得，，把代入③得，，∴原方程的解為，由上述解方程的過程可得，丙同學出錯，故選：．題型六加減消元法例6．已知x、y是二元一次方程組的解，則的值是（

）A．5 B．4 C．2 D．1【答案】C【詳解】解：，①－②得：，故選：C．【變式訓練61】、二元一次方程組的解是（

）A． B． C．