新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程章末綜合提升教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊

第3章圓錐曲線的方程章末綜合提升類型1圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓錐曲線的定義是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”，對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略．2．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法(1)直接法：動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型，可設(shè)出方程形式，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù)．3．圓錐曲線定義的應(yīng)用及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．【例1】(1)已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2A．x24－y212＝1 B．xC．x23－y29＝1 D．x(2)雙曲線16x2－9y2＝144的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|＝64，則∠F1PF2＝________．(1)C(2)60°[(1)法一：因?yàn)殡p曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞解得c=2a，b=3a.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±bax＝±3x.依題意，不妨設(shè)Ac，b2a，因?yàn)閐1＋d2＝6，所以3c-b2a所以23a-3a解得a＝3，所以b＝3，所以雙曲線的方程為x23－y29＝1法二：因?yàn)殡p曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞解得c=2a，b=3a，如圖所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，所以a＝(2)雙曲線方程16x2－9y2＝144，化簡為x29－y2即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，解得a＝3，c＝5，所以F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)．設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由雙曲線的定義知|m－n|＝2a＝6，又已知m·n＝64，在△PF1F2中，由余弦定理知cos∠F1PF2＝P＝m＝m＝36+2×64-所以∠F1PF2＝60°．]類型2圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用1．本類問題主要有兩種考查類型：(1)已知圓錐曲線的方程研究其幾何性質(zhì)，其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點(diǎn)．(2)已知圓錐曲線的性質(zhì)求其方程，基本方法是待定系數(shù)法，其步驟可以概括為“先定位、后定量”．2．圓錐曲線的性質(zhì)的討論和應(yīng)用充分體現(xiàn)了直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．【例2】(1)(2022·江蘇省南通市模擬)已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為23，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為A．x23＋y2＝1 B．x23C．x29＋y24＝1 D．x(2)已知雙曲線C的方程為x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，過右焦點(diǎn)F作雙曲線在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線①求證：P在直線x＝a2②求雙曲線C的離心率e的取值范圍；③若|AP|＝3|PB|，求離心率e.(1)D[由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12.所以a＝3.因?yàn)闄E圓的離心率e＝ca＝23，所以c所以b2＝a2－c2＝5.所以橢圓C的方程為x29＋y25(2)[解]①證明：由題意知，l：y＝－ab(x－c)，由y＝bax及y＝－ab(x－c)，聯(lián)立解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為a2c，abc，②由y消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2a4ca4-b4，由于點(diǎn)A，B分別在兩支上，所以x1·x2＝a2a2c2+b4a4-b4<0，所以b2>a2③由題意知：P分AB所成的比λ＝3，所以x1+3x24＝a2c，即x1又由x1＋x2＝2a解得x1＝a2a2+2b2從而a2a2+2b化簡得4a2＝b2，所以e＝ca＝1+b2類型3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、求弦長、求最值等問題，它是圓錐曲線的定義、性質(zhì)與直線的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有：(1)有關(guān)直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合．(2)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系．(3)有關(guān)垂直問題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，簡化運(yùn)算．2．借用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．【例3】已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0，3)，離心率為12，左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：y＝－12x＋m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足ABCD＝53[解](1)由題設(shè)知b=3，ca=12，b2∴橢圓的方程為x24＋y(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1，∴圓心到直線l的距離d＝2m由d<1得|m|<52.∴|CD|＝21-d2＝21設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y=-12x+m，x24+yΔ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0.②由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝1+＝152由ABCD＝534，得4解得m＝±33，經(jīng)檢驗(yàn)滿足①②∴直線l的方程為y＝－12x＋33或y＝－12x類型4圓錐曲線的綜合問題1．圓錐曲線的綜合問題包括位置關(guān)系證明及定值、最值問題，解決的基本思路是利用代數(shù)法，通過直線與圓錐曲線的方程求解．2．圓錐曲線的綜合問題的解決培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例4】已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于D，E兩點(diǎn)，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，|DE|＝4.(1)求拋物線C的方程；(2)如圖所示，設(shè)點(diǎn)R(x0，2)在拋物線C上，過點(diǎn)Q(1，1)作直線交拋物線C于不同于R的兩點(diǎn)A，B，若直線AR，BR分別交直線y＝2x＋2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|最小時(shí)直線AB的方程．[解](1)∵點(diǎn)F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，∴Fp2，0，又∵當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，|DE|＝4，∴又∵點(diǎn)D在拋物線上，∴4＝2p×p2＝p2，∴p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x(2)∵點(diǎn)R(x0，2)在拋物線C上，∴x0＝1，∴R(1，2)．設(shè)直線AB的方程為x＝m(y－1)＋1(m≠0)，A14y12由x=my-1+1，y2=4x，