2022年北京市101中學(xué)懷柔分校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（學(xué)生版+解析版）

2022年北京市101中學(xué)懷柔分校高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題

1.已知集合A={x|-/+2x>0},8="仇>1},則AACRB=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(…，o)D.(1,2)

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=^(?GR)是純虛數(shù)，則|遙—嗝=()

A.V5B.4C.3D.2

3.已知平面向量：=3i+2/,b=2i+3;,若i與j為單位正交基底，貝丘與b夾角的余弦值

為()

1255

A.—B.—C.—D.1

131213

4.要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A,B,C三個班中，要求每個班至少分到一人，則甲

被分到A班的分法種數(shù)為()

A.6B.12C.24D.36

5.我們學(xué)過用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因為在半

徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個

常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制

下，角e的面度數(shù)為導(dǎo)則角0的余弦值為()

73I1V3

A.—B.—Q,C.—D.

2222

6.某學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校3000名學(xué)生每人都參加

且只參加其中一個社團，校團委從這3000名學(xué)生中隨機選取部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)

A.50B.75C.100D.125

7.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史

文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，

下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲

清光緒六年（1880年）重建時的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹

作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓“之美譽.小

李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得NQAC=30°,NDBC

=45。，AB=14米，則岳陽樓的高度C￡）約為（）（&*1.414,V3?1.732）

8.定義在（0,+8）上的函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)，G）滿足011（x）則必有（）

A.6V（1）<f（2）B.81/（1）>16^（3）

C.4/（2）>f（4）D.729/（2）>Mf（3）

二、多選題

（多選）9.某次音樂節(jié)，評委給13支樂隊的評分（十分制）如圖，下列說法正確的是（）

B.13支樂隊中評分不低于7分的有6支

C.13支樂隊評分的平均數(shù)約為6.46

D.第6支到第12支樂隊的評分逐漸降低

（多選）10.已知尸=3,3>'=4,則（）

A.B.xy=2C.x>yD.x4-y>2y[2

(多選)11.根據(jù)中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到

高分為：男、子、伯、侯、公五個等級.現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)

地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分〃，處(機為正整

數(shù)).按這種分法，下列結(jié)論正確的是()

A.為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是3

4

B.為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是三

4

C.為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1

D.為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是三

4

(多選)12.己知函數(shù)/(x)=2cos(3X+<P)(3>o,0<<p<J)的圖象的相鄰兩條對稱軸

間的距離為2m/(0)=1.則()

A.3=j

B./(%)的圖象關(guān)于直線》=一竽對稱

C.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［4Kt—竽，4E:+粵］(k€Z)

D./(%)的解集為［4囪一等，4垢］(kez)

三、填空題

13.已知等差數(shù)列{〃〃},〃4=-〃8,03-45=4,則。1=.

14.已知P為雙曲線C：x2一。=i右支上一點，R,上分別為C的左、右焦點，且線

段AIA2,BIB2分別為C的實軸與虛軸.若|AIA2|,四及|,成等比數(shù)歹IJ,則尸尸2|=

15.甲、乙、丙三位同學(xué)獲得某項競賽活動的前三名，但具體名次未知.3人作出如下預(yù)測：

甲說：我不是第三名；乙說：我是第三名；丙說：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的

預(yù)測結(jié)果有且只有一個正確，由此判斷獲得第三名的是

16.著名數(shù)學(xué)家棣莫佛CDemoivre,1667?1754)出生于法國香檳，他在概率論和三角學(xué)方

面,發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：［r(cos0+zsin6)］w=iJ\cos/?O+zsin/?0),

其中r>0,〃EN*.根據(jù)這個公式，則(cos爸+is譏強)6=；若網(wǎng)^^^+is譏力尸=

-16,則「=.

四、解答題

17.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,2acosA=V3(/?cosC+ccosB).

(1)求角A；

(2)若b=2遍，BC邊上的高為3,求c.

18.在等差數(shù)列｛z｝中，m=3,其前"項和為S”,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛加｝中，b\=\,

且滿足b3=S2,ai+a2+bi=i0.

(I)求數(shù)列｛斷｝與｛加｝的通項公式;

(II)若數(shù)列｛々｝的前n項和為Tn,證明：Tn<\.

19.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.

①點?(日1+而)=0；②PC=77；③點P在平面ABC。的射影在直線A。上.

如圖，平面五邊形以BC。中，△%￡>是邊長為2的等邊三角形，AD//BC,AB=2BC=

2,ABLBC,將△出￡)沿AD翻折成四棱錐P-ABCD,E是棱PD上的動點(端點除外)，

F、M分別是AB、CE的中點，且____.

(1)求證：ABVFM-,

(2)當(dāng)E尸與平面玄。所成角最大時，求平面ACE與平面以。所成的銳二面角的余弦

20.調(diào)味品品評師的重要工作是對各種品牌的調(diào)味品進行品嘗、分析、鑒定、研發(fā)，周而復(fù)

始、反復(fù)對比.對調(diào)味品品評師考核測試的一種常用方法如下：拿出n瓶外觀相同但品

質(zhì)不同的調(diào)味品讓他品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡

忘之后，再讓其品嘗這〃瓶調(diào)味品，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，稱這個過程為一輪

測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.

現(xiàn)設(shè)"=4,分別以“1,及，”3,a4表示第一次排序為1,2,3,4的四種調(diào)味品在第二次

排序時的序號,并令X=|l-ai|+|2-a2\+\3-?|+|4-a4\,則X是對兩次排序的偏離程度

的一種描述（如：若第二次排序的序號為1,3,2,4,則X=2）.

（1）假設(shè)41,。2,43,44的排列等可能為1,2,3,4的各種排列，求隨機變量X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）某調(diào)味品品評師在相繼進行的三輪測試中，都有XW2,貝IJ：

①假設(shè)各輪測試相互獨立，試按（1）的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種情況的概率；

②請你判斷該調(diào)味品品評師的品味鑒別能力如何，并說明理由.

21.2022年北京冬奧會標(biāo)志性場館--國家速滑館的設(shè)計理念來源于一個冰和速度結(jié)合的

創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運動員高速滑動時留下

的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶,22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會.其

中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動

感，體現(xiàn)了冰上運動的速度和激情.這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，

其設(shè)計參數(shù)包括曲率、撓率、面積、體積等.對幾何圖形的面積、體積計算方法的研究

在中國數(shù)學(xué)史上有過輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方

蓋的體積來推導(dǎo)球的體積公式，但由于不能計算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計

算公式.直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖曬父子在《綴術(shù)》提出祖曜原理：“幕勢既同，

則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式.原理的意思是：兩個等高的

幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.

（I）利用祖胞原理推導(dǎo)半徑為R的球的體積公式時，可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體

幾何體M的底面半徑和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面a內(nèi).設(shè)與平面a平

行且距離為d的平面p截兩個幾何體得到兩個截面，請在圖②中用陰影畫出與圖①中陰

影截面面積相等的圖形并給出證明；

（II）現(xiàn)將橢圓+￡=1（心心0）所圍成的橢圓面分別繞其長軸、短軸旋轉(zhuǎn)一周后

得兩個不同的橢球A,B（如圖3）,類比（I）中的方法，探究橢球A的體積公式，并

寫出橢球A,B的體積之

22.設(shè)函數(shù)+孩一,g(x)=QX-3,

(1)求函數(shù)(p(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)當(dāng)。=1時，記//(%)=/(x)?g(x),是否存在整數(shù)入，使得關(guān)于工的不等式2入2

h(x)有解？若存在，請求出入的最小值；若不存在，請說明理由.

2022年北京市101中學(xué)懷柔分校高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.己知集合4=區(qū)-7+2x>0},8={x|x>l},則ADCR8=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-8,o)D.(1,2)

【解答】解：???An&IOVxVZ},B={x|x>l},

CRB={X\X^I],AACRB=(0,1].

故選：B.

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=晝(”6R)是純虛數(shù)，則南一山|=()

A.V5B.4C.3D.2

【解答】解：z=^=奔需尊=心”紇生是純虛數(shù)，

i-l1)(1■十I)Z

則{害之

解得“=-2,

則|b+24=3.

故選：C.

3.已知平面向量;=3；+2；,b=2i+3j,若；與;為單位正交基底，貝丘與?夾角的余弦值

為()

1255

A.-B.——C.—D.1

131213

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè):與1夾角為。，

平面向量Q=3i+2j,b=2i+3j,且i與j為單位正交基底，

則|。|=，9+4=\b\=V4+9=V13，=6+6=12,

則cos0=

1。1網(wǎng)

故選：A.

4.要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A,B,C三個班中，要求每個班至少分到一人，則甲

被分到A班的分法種數(shù)為()

A.6B.12C.24D.36

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分為3組，有C42=6種分組方法，

②將甲所在的組分到A班，剩下2組安排到B、C班，有42=2種情況,

則有6義2=12種分法，

故選：B.

5.我們學(xué)過用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因為在半

徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個

常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制

71

下，角e的面度數(shù)為或則角e的余弦值為（）

V311V3

A.一殍B.-4C.-D.一

2222

【解答】解：設(shè)角0所在的扇形的半徑為〃

-r26rrn_

則由題意，可得—=不解得e=冬，

r23§

”日27T1

可得COS。=COS=——.

32

故選：B.

6.某學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校3000名學(xué)生每人都參加

且只參加其中一個社團，校團委從這3000名學(xué)生中隨機選取部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)

A.50B.75C.100D.125

【解答】解：由條形統(tǒng)計圖得抽到50名同學(xué)演講,

由扇形統(tǒng)計圖片得抽到的學(xué)生中演講同學(xué)占10%,

??.一共抽取的學(xué)生數(shù)為："=^=500（人），

...抽到的學(xué)生中合唱學(xué)生占：—XW0%=400/0,

.?.選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為：

500（1-40%-10%-15%-20%）=75（人）.

故選：B.

7.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史

文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，

下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲

清光緒六年（1880年）重建時的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹

作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓“之美譽.小

李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得ND4C=30°,ZDBC

=45°,A8=14米，則岳陽樓的高度CO約為（）（魚=1.414,次。1.732）

【解答】解：設(shè)CQ=x,

如圖，測得ND4C=30°,NDBC=45°,AB=14米,

則：DC=BC,

在△AC。中，

利用三角函數(shù)的關(guān)系式:

tanZDAC=Y

V3X

整理得式=

工+14’

解得:X^19（米）,

故選：B.

8.定義在（0,+8）上的函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)/（x）滿足^則必有（）

A.64/(1)</(2)B.81/(1)>\6f(3)

C.4/(2)>f(4)D.729/(2)>6學(xué)(3)

【解答】解：令〃(X)=牛，xe(0,+8),

則/(X)=列(”答5-幻=X-叼6f(x),

,：xf(x)<6f(x),：.xf(x)-6f(x)<0,：.h'(x)<0,

函數(shù)a（%）在（o,+°°）上單調(diào)遞減,

：.h(1)>h(2)>h(3)>h(4),

即f(1)>f(2)>f(3)>f(4)

即/⑴>-6T>729>4096,

A64/,(I)>f(2),729f(1)>f(3),64/(2)>f(4),729/(2)>64f(3),

故A,B,C錯誤，￡>正確.

故選：D.

二、多選題

（多選）9.某次音樂節(jié)，評委給13支樂隊的評分（十分制）如圖，下列說法正確的是（）

011345^8910111213^=

A.13支樂隊評分的極差為7

B.13支樂隊中評分不低于7分的有6支

C.13支樂隊評分的平均數(shù)約為6.46

D.第6支到第12支樂隊的評分逐漸降低

【解答】解：對于4,13支樂隊評分的極差為10-3=7,選項4正確；

對于8,13支樂隊中評分不低于7分的有10、7、10、9、8、7共6支，選項8正確；

對于C,計算13支樂隊評分的平均值為上x（10+6+7+5+3+10+9+4+8+6+5+4+7）=

13

QA

言=6.46,選項C正確；

對于D,從第6支到第12支樂隊的評分并不是逐漸降低的,其中第9支樂隊評分較高的,

選項。錯誤.

故選：ABC.

（多選）10.已知尸=3,3>'=4,則（）

A.x<^B.xy—2C.x>yD.x+y>2\/2

【解答】解：,答=3,3y=4,

.*.x=log23?y=21og32,

因為9>8,A32>23,故210g23>/og223,即210g23>3,

：.x>l，所以選項A錯誤，

"."Ay=log23-21og32=2,所以選項B正確，

344

log?2>/°。23>,。。33?

34

??1+log22>1+，。。33?

即Iog23>log34,所以選項C正確，

由于B正確，所以=2A/L所以選項。正確.

故選：BCD.

（多選）11.根據(jù)中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到

高分為：男、子、伯、侯、公五個等級.現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)

地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分用處（機為正整

數(shù)）.按這種分法，下列結(jié)論正確的是（）

3

A.為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是:

B.為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是工

4

C.為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1

D.為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是二

【解答】解：由題意可知，5位諸侯分得的領(lǐng)地數(shù)成等差數(shù)列｛劭｝,

設(shè)該等差數(shù)列的前〃項和為S”因為的=50,則有5%+竽巾=50,即“1=10-2m

因為〃，均為正整數(shù)，

則有產(chǎn)=心,『1=5,『1=。,產(chǎn)=上共四種情況,

=1=2=3=4

當(dāng)猊二:時，有m=8,42=9,43=10,04=11,45=12,

當(dāng)｛.二：時，有42=8,〃3=10,44=12,45=14,

當(dāng)｛賓二;時，有。1=4，42=7,43=10,44=13,as—16,

當(dāng)晚二時,有。1=2,01=6,6/3=10,44=14,05=18,

其中m,。2,。3,〃4,〃5分別對應(yīng)男、子、伯、侯、公分到領(lǐng)地數(shù)，

所以為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是士故選項4正確;

4

為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是1,故選項B錯誤；

為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1,故選項C正確;

為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是工，故選項。正確.

4

故選：ACD.

(多選)12.已知函數(shù)/(x)=2cos(u)x+(p)(a)>0,0<(p<^)的圖象的相鄰兩條對稱軸

間的距離為2m/(0)=1.則()

A.3=%

B./(%)的圖象關(guān)于直線》=一號對稱

C.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［4m一冬，4hr+等］(依Z)

D.f(x)21的解集為［4E-竽，4^n］(依Z)

T

【解答】解：函數(shù)/(%)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為2e即鼻=如，

解得T=4ir,所以3=竿=與選項A錯誤；

171

由，(0)=2cos(p=l,得cos(p=5，解得(p=2Ki土一，kWZ,

又OVtpV*,所以(p=4所以/(冗)=2cos(-x+^)；

由八一鄂=2cos(-J+J)=2,所以/(x)的圖象關(guān)于直線”一竽對稱，選項3

正確；

令2阮<5<2丘+11,依Z,解得44n-ZcGZ；

所以了(工)的單調(diào)減區(qū)間為［4內(nèi)i一等，4匕r+粵］,依Z,選項C正確；

令/(x)21,得cos(r+等)>i>解得2/JI—5<蔡+5<2Znr+5,依Z；即4/m-WxW

,2323z333

4E,ZEZ；

所以f(x)21的解集是[4內(nèi)r一學(xué)，4內(nèi)r],依Z,選項。正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.己知等差數(shù)列｛〃〃｝,〃4=-〃8，43-々5=4,則0=等.

【解答】解：在等差數(shù)列｛板｝中，設(shè)公差為力

由。4=-。8,〃3-05=4,

想+3d=-(4+7d)即[2%+10d=0

付i(Qi+2d)-(a1+4d)=4f1t-2d=4'

解得｛建2

故答案為：10.

14.已知P為雙曲線C：x2一1=1右支上一點，尸|,已分別為C的左、右焦點，且線

段4A2,BIB2分別為C的實軸與虛軸.若14A成等比數(shù)列，則仍尸2|=」.

【解答】解：由雙曲線的方程x2_[=1,則。=1,b=2,所以|AIA2|=2,|81因=4,

由14A2|,四固，|PF1|成等比數(shù)列，即|BIB2|2=|4A2|?『FI|,則16=2X|PFI|,

所以|PFI|=8,

由P在雙曲線的右支上，則|PF1|-|P放|=2,所以|PF2|=6,

故答案為：6.

15.甲、乙、丙三位同學(xué)獲得某項競賽活動的前三名，但具體名次未知.3人作出如下預(yù)測:

甲說：我不是第三名；乙說：我是第三名；丙說：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的

預(yù)測結(jié)果有且只有一個正確，由此判斷獲得第三名的是甲

【解答】解：若甲正確，則乙、丙均錯誤，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，

與“甲說：我不是第三名”正確相矛盾，

故甲錯誤，因此，甲為第三名；

于是乙、丙中必有一人正確，一人錯誤.

若丙錯誤(則乙正確)，即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，與乙正確“我是

第三名”矛盾，

故丙正確，即丙不是第一名，為第二名；

故答案為：甲.

16.著名數(shù)學(xué)家棣莫佛^Demoivre,1667~1754)出生于法國香檳，他在概率論和三角學(xué)方

面,發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式:[XcosO+isin。)]"=/(cos"0+isin〃。)，

其中r>0,〃€N*.根據(jù)這個公式,則(cos$+isin金)6=/；若[r(cos/+isin箴|，=

-16,則r=2.

77"TT71]L

【解答】解：由題意可知(cos豆+is譏分)6=cos—r+zsin-=i.

[r(cos,+isin^)]4=—16,可得，r4(cosn+zsinir)=-16,

所以r=2.

故答案為：i;2.

四、解答題

17.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為mb,c,2acosA=V3(hcosC4-ccosB).

(1)求角A；

(2)若b=2遮，BC邊上的高為3,求c.

【解答】解：(1)V2acosA=\[3｛bcosC+ccosB),

:.由正弦定理可得：2sinAcosA=V3(sinBcosC+sinCcosB),即2sinAcosA=V3sin(8+C)

=V3sinA,

VsinA^O,

,AV3

??cosA=

???由AE(0,it),可得A=z.

o

111

(2)V5AABC=2^^=2a9^BC9且人=28，〃BC=3,sinA="

A-x2^/3xcx4=2x〃X3,解得a=

?二由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得(-^-)2=(2>/3)2+c2-2x2^3x導(dǎo)c,即c2

-9c+18=0,

；?解得c=3或6.

18.在等差數(shù)列｛劭｝中，m=3,其前〃項和為S〃，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛為｝中，6=1,

且滿足。3=S2,。1+。2+4=10.

(I)求數(shù)列｛〃〃｝與｛b｝的通項公式;

(II)若數(shù)列｛4｝的前〃項和為〃，證明：Tn<l，

【解答】解：（I）設(shè)數(shù)列｛4〃｝的公差為a｛瓦｝的公比為夕,

rasl.17c7s(3+3+d+1=10

因為勿=1,加=S2,“1+42+61=10,所以12,o.?，

(q=Q3+3+d

解答d=3,q=3(負值舍去)，

故?！?3+3(H-1)=3〃，囪=3"，

(H)證明：由(I)得%=-3產(chǎn)=3嗎+D,

_.12211

所以一=--------=一(一一——).

Sn3n(n+l)3nn+1

所以數(shù)列｛?-｝的前〃項和為為=￡(1—義+/一卷=5(1-),

/乙D7c7cI?!.5iLIX

9

所以T"Vg.

19.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.

①最?(日1+而)=0；②PC=木;③點P在平面4BCD的射影在直線A。上.

如圖，平面五邊形附BCD中，△以。是邊長為2的等邊三角形，AD//BC,AB=2BC=

2,AB±BC,將△抬。沿AD翻折成四棱錐P-ABCD,E是棱PD上的動點(端點除外)，

F、M分別是AB、CE的中點，且.

(1)求證：ABVFM-.

(2)當(dāng)EF與平面外力所成角最大時，求平面4CE與平面鞏。所成的銳二面角的余弦

【解答】(1)證明：取，C。的中點分別為0,G,連接P0,FG,

選擇①：

因為昂?（易+而）=0,PA+PD=2PO,

所以贏?訪=0,即BA_LPO....................................................................（1分）

又BALAD,ADHPO=O,

所以8A_L平面以D....................................................................（2分）

因為M,G分別為CE,C。的中點，

所以MG//PD,且MGC平面PAD,POu平面PAD,

所以MG〃平面力￡>......................................（3分）

同理可得：FG〃平面出。.

因為MGAFG=G,

所以平面FGM〃平面物力，.....................................（4分）

所以BA_L平面FGM.....................................................................（5分）

又FMu平面FGM,

所以BA_LFM.................................................................（6分）

選擇②：

連接OC,則OC=A8=2,OP=V3,

因為PC=y/7,PC2=OP2+OC2,

所以BAJ_PO.....................................................................（1分）

又ADQPO=O,

所以BA_L平面以Q......................................（2分）

因為M,G分別為CE,CQ的中點，

所以MG〃尸。，且MGC平面也。，尸。<=平面

所以MG〃平面B4D....................................................................（3分）

同理可得：PG〃平面附。.

因為MGAFG=G,

所以平面FGM〃平面B4。，.....................................（4分）

所以&4_L平面FGM.....................................................................（5分）

又FMu平面FGM,

所以8A_LFM.................................................................（6分）

選擇③：

因為點P在平面A8CZ）的射影在直線40上，

所以平面以D_L平面ABCD....................................................................（1分）

因為平面以。。平面ABCQ=A￡>,OPu平面以。，ADrPO,

所以O(shè)P_L平面ABCQ,

所以&4_LP0.....................................................................（2分）

XBA±AD,ADC\PO=O,

所以平面以D.....................................................................（3分）

因為例，G分別為CE,CQ的中點，

所以MG〃尸。，且MGC平面B4O,PDu平面B4D,

所以MG〃平面%D....................................................................（4分）

同理可得：/G〃平面以O(shè).

因為MGAFG=G,

所以平面PGM〃平面外。，.....................................（5分）

所以8Al.平面FGM.

又FMu平面FGM,

所以8A_LFM.................................................................（6分）

（2）解：連接AE,EF,由（1）可知：48，平面公。，

所以乙4E尸即為EF與平面以。所成的角.

因為tm4EF=^=%，所以當(dāng)AE最小時，N4EF最大，

所以當(dāng)AE，P。，即E為PQ中點，AE最小..............................（7分）

以點0為坐標(biāo)原點，以0C為x軸，0。為y軸，0P為z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則4（0,-1,0）,E（0,易，C（2,0,0）.

所以族=（0,|,AC=（2,1,0）.....................（8

分）

設(shè)平面CAE的法向量為m=（xi,yi,zi）,

（3□.由n1

則《yi+WZi=0,,令%]=6，得7n=&,_i,V3）.....................（9

2%i+月=0

分）

由題意可知:平面孫。的法向量為”=（1,0,0）,......................（10分）

所以cosVm，n>=湍嬴=塔,.................................（11分）

y/17

所以平面ACE與平面以。所成的銳二面角的余弦值為=7...............（12分）

20.調(diào)味品品評師的重要工作是對各種品牌的調(diào)味品進行品嘗、分析、鑒定、研發(fā)，周而復(fù)

始、反復(fù)對比.對調(diào)味品品評師考核測試的一種常用方法如下：拿出n瓶外觀相同但品

質(zhì)不同的調(diào)味品讓他品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡

忘之后，再讓其品嘗這n瓶調(diào)味品，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，稱這個過程為一輪

測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.

現(xiàn)設(shè)〃=4,分別以防，“2,。3,。4表示第一次排序為1,2,3,4的四種調(diào)味品在第二次

排序時的序號,并令%=|1-</1|+|2-能|+|3-03|+|4-訓(xùn),則X是對兩次排序的偏離程度

的一種描述（如：若第二次排序的序號為1,3,2,4,則X=2）.

（1）假設(shè)G,“2,43,44的排列等可能為1,2,3,4的各種排列，求隨機變量X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）某調(diào)味品品評師在相繼進行的三輪測試中，都有XW2,貝IJ：

①假設(shè)各輪測試相互獨立，試按（1）的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種情況的概率；

②請你判斷該調(diào)味品品評師的品味鑒別能力如何，并說明理由.

【解答】解：（1）X的可能取值為0,2,4,6,8.

由1,2,3,4的全排列為4!=24個，

一一列出可得：P(X=0)=蕓，"1，〃2,Q3,〃4的排列只能為1,2,3,4.

P(X=2)=完，m,42,〃3,44的排列只能為1,2,4,3；1,3,2,4；2,1,3,4.

同理可得：P(X=4)=嘉7，尸(x=6)=另Q，。(x=8)=言4.

可得分布列：

X02468

P137—94

2424242424

13794

???E(X)=0x+2x+4x+6x+8x=5.

1al

(2)①由⑴可得：P(XW2)=P(X=0)+P(X=2)=合+熱:=9?

進行的三輪測試中都有XW2的概率記做p,由假設(shè)各輪測試相互獨立,可得:p=/

②由二一V-J是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試中，都有X

2161000

W2的結(jié)果可能性很小，所以我們認為品評師的品味鑒別能力很強，不是靠隨機猜測.

21.2022年北京冬奧會標(biāo)志性場館--國家速滑館的設(shè)計理念來源于一個冰和速度結(jié)合的

創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運動員高速滑動時留下

的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶,22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會.其

中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動

感，體現(xiàn)了冰上運動的速度和激情.這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，

其設(shè)計參數(shù)包括曲率、撓率、面積、體積等.對幾何圖形的面積、體積計算方法的研究

在中國數(shù)學(xué)史上有過輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方

蓋的體積來推導(dǎo)球的體積公式，但由于不能計算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計

算公式.直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖曬父子在《綴術(shù)》提出祖唯原理：“幕勢既同，

則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式.原理的意思是：兩個等高的

幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.

(I)利用祖晅原理推導(dǎo)半徑為/?的球的體積公式時，可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體M,

幾何體M的底面半徑和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面a內(nèi).設(shè)與平面a平

行且距離為"的平面截兩個幾何體得到兩個截面，請在圖②中用陰影畫出與圖①中陰

影截面面積相等的圖形并給出證明；

Xv

（II）現(xiàn)將橢圓至+款=1（a>6>0）所圍成的橢圓面分別繞其長軸、短軸旋轉(zhuǎn)一周后

得兩個不同的橢球A,B（如圖3）,類比（I）中的方法，探究橢球A的體積公式，并

寫出橢球A,B的體積之

【解答】解：（I）由圖可知，圖①幾何體是半徑為R的半球，圖②幾何體是底面半徑與

高都為R的圓柱挖掉了一個圓錐，

與圖①截面面積相等的圖形是一個圓環(huán)，如陰影部分.

證明如下：在圖①中，設(shè)截面圓的圓心為01,則圓。1的面積為n

在圖②中，截面截圓錐得到的小圓的半徑為"，則圓環(huán)的面積為P

截得的截面面積相等；

（H）類比（I）可知，橢圓的長半軸為短半軸為6,構(gòu)造一個底面半徑為6,

高為a的圓柱，把半橢球與圓柱放在同一個平面上，在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱

下底面圓心為頂點，以圓柱上底面為底面的圓錐，即挖去的圓錐的底面半徑為b,高為a,

V2%2

橢球軸截面橢圓的方程為+77=1,取y=d,

22

可得彳2=-d2),則半橢球截面圓的面積為兀-(a2-d2),

22

在圓柱內(nèi)，圓環(huán)的面積為兀力2-7r.L.d2=7r.^(a2_d2)y

根據(jù)祖地原理得出橢球A的體積為匕