重要幾何模型12-2 截長(zhǎng)補(bǔ)短【原卷版】

第十二章重要幾何模型2截長(zhǎng)補(bǔ)短模型1截長(zhǎng)定義：即在一條較長(zhǎng)的線段上截取一段較短的線段；示例剖析在線段上截取2補(bǔ)短定義：即在較短的線段上補(bǔ)一段線段使其和較長(zhǎng)的線段相等延長(zhǎng)，使得?！绢}型1】基本模型【典題1】如圖所示，在正方形ABCD中，E是CD上的任意一點(diǎn)，以AE為一邊作∠EAF＝45°，射線AF交BC于F點(diǎn)，連接EF，求證：EF＝DE+BF．【鞏固練習(xí)】1.如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分線交BC于D．求證：AB+BD＝AC．2.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上．求證：BC＝AB+DC．3.如圖在四邊形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60度角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)．連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．4.如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．(1)若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；(2)連CE，求證：BE＝AE+CE．【題型2】模型綜合練習(xí)【典題1】(1)問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；(2)探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠BAD＝2∠EAF，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3)實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以65海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，前進(jìn)3小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【鞏固練習(xí)】1.已知△ABC中，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點(diǎn)O．（1）直接寫(xiě)出∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系；（2）若∠A＝60°，利用（1）的關(guān)系，求出∠BOC的度數(shù)；（3）利用（2）的結(jié)果，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．2.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖2，請(qǐng)問(wèn)圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并證明．3.如圖，△ABC是等邊三角形、△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點(diǎn)，連接MN．(1)探究線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若點(diǎn)M、N分別是AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)作出圖形，再探究線段BM，MN，NC之間的數(shù)量關(guān)系．(不要求證明)1.如圖，△ABC中，∠A的平分線交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度數(shù)是．2.如圖，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD，求證：CD⊥AC．3.如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N為AB、AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠MCN＝75°．求證：MN＝BM+DN．4.如圖，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AD，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于E．求證：AB+AC＝2AE．5.[閱讀]在證明線段和差問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系，截長(zhǎng)法：將較長(zhǎng)的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等．補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短兩條線段中的一條，使得與較長(zhǎng)線段相等，證明延長(zhǎng)的那一段與另一條較短線段相等．[應(yīng)用]把兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，組成一個(gè)四邊形ACBD，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．(1)若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，證明：AM+BN＝MN；經(jīng)過(guò)思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補(bǔ)短法，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE＝AM，連接DE，先證明△DAM≌△DBE，再證明△MDN≌△EDN，即可求得結(jié)論．按照小紅的思路，請(qǐng)寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；(2)當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時(shí)，