專題07 一次函數(shù)與面積綜合運用（原卷版）

專題07一次函數(shù)與面積綜合運用（三大題型）重難點題型歸納【題型1常規(guī)三角形面積】【題型2鉛垂法求面積】【題型3等底轉(zhuǎn)化】【題型1常規(guī)三角形面積】【解題技巧】當(dāng)三角形的底或高在坐標(biāo)軸上，或者平行于坐標(biāo)軸上，這樣的三角形為常規(guī)三角形，可以直接利用三角形的面積公式進行求解?！镜淅?】（2023春?永定區(qū)期末）綜合與探究：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝圖象分別交x軸、y軸于點A，B，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過點B，并與x軸交于點C，點P是直線AB上的一個動點．（1）求A，B兩點的坐標(biāo)；（2）并直接寫出點C的坐標(biāo)并求直線BC的表達式；（3）試探究直線AB上是否存在點P，使以A，C，P為頂點的三角形的面積為18？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【變式1-1】（2023春?鳳山縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA，OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C，過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．（1）求直線AB的解析式；（2）若△ABC的面積為15，求點C的坐標(biāo)；【變式1-2】（2023春?涪陵區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝﹣x﹣3與x軸、y軸分別交于點A，B，直線l2交x軸、y軸分別于點C（﹣6，0），D（0，6），直線l2與直線l1交于點E，連接BC．（1）求直線l2的解析式；（2）求△BCE的面積；（3）連結(jié)OE，若點P是x軸上一動點，連結(jié)PE，當(dāng)△POE為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【變式1-3】（2023春?蘭陵縣期末）如圖，已知函數(shù)y＝x+1的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點B（0，﹣1），與x軸以及y＝x+1的圖象分別交于點C，D，且點D的坐標(biāo)為（1，n）．（1）則k＝，b＝，n＝；（2）求四邊形AOCD的面積；（3）在x軸上是否存在點P，使得以點P，C，D為頂點的三角形是直角三角形，請求出點P的坐標(biāo)．【變式1-4】（2023春?連城縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處．（1）求AB的長；（2）求點C和點D的坐標(biāo)；（3）y軸上是否存在一點P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式1-5】（2023春?文登區(qū)期中）如圖，直線l1表達式為y＝﹣3x+3，且與x軸交于點D，直線l2經(jīng)過點A（4，0），B（3，），直線l1，l2交于點C．（1）求直線l2的表達式；（2）在直線l2上存在點P，能使S△ADP＝3S△ACD，求點P的坐標(biāo)．【變式1-6】（2023?花都區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+4（k≠0）交x軸于點A（8，0），交y軸于點B．（1）k的值是；（2）點C是直線AB上的一個動點，點D和點E分別在x軸和y軸上．①如圖，點D的坐標(biāo)為（6，0），點E的坐標(biāo)為（0，1），若四邊形OECD的面積是9，求點C的坐標(biāo)；②當(dāng)CE平行于x軸，CD平行于y軸時，若四邊形OECD的周長是10，請直接寫出點C的坐標(biāo)．【題型2鉛垂法求面積】【解題技巧】對于一般三角形，我們可以選擇鉛垂法求解三角形的面積。比如求△ABC的面積，我們可以選取任意兩點橫坐標(biāo)之差的絕對值作為水平寬，過第三個點作鉛垂線，與之前兩點所在直線交于一點，第三個點與這個交點縱坐標(biāo)之差的絕對值作為鉛垂高，利用水平寬與鉛垂高乘積的一半求出三角形的面積。【典例2】（2021秋?開江縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝kx+1交y軸于點A，交x軸于點B（4，0），過點E（2，0）的直線l2平行于y軸，交直線l1于點D，點P是直線l2上一動點（異于點D），連接PA、PB．（1）求直線l1的解析式；（2）設(shè)P（2，m），求△ABP的面積S的表達式（用含m的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)△ABP的面積為3時，則以點B為直角頂點作等腰直角△BPC，請直接寫出點C的坐標(biāo)．【變式2】（秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與x軸交于點A，點B（5，n）在直線y＝x+2上，點C是線段AB上的一個動點，過點C作CP⊥x軸交直線點P，設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m．（1）n的值為；（2）用含有m的式子表示線段CP的長；（3）若△APB的面積為S，求S與m之間的函數(shù)表達式，并求出當(dāng)S最大時點P的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，把直線AB沿著y軸向下平移，交y軸于點M，交線段BP于點N，若點D的坐標(biāo)為，在平移的過程中，當(dāng)∠DMN＝90°時，請直接寫出點N的坐標(biāo)．【題型3等底轉(zhuǎn)化】【典例3】（秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1的解析式為y＝﹣x，直線l2與l1交于點A（a，﹣a），與y軸交于點B（0，b），其中a，b滿足﹣a＝3．（1）求直線l2的解析式．（2）在平面直角坐標(biāo)系中第二象限有一點P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，請求出點P的坐標(biāo)．（3）已知平行于y軸左側(cè)有一動直線，分別與l1，l2交于點M、N，且點M在點N的下方，點Q為y軸上一動點，且△MNQ為等腰直角三角形，請求出滿足條件的點Q的坐標(biāo)．【變式3】（秋?南岸區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，三個頂點的坐標(biāo)分別為A（0，4），B（﹣2，0），C（﹣4，1），點D是AC延長線與x軸的交點，點P（﹣1，