專(zhuān)題1.1 絕對(duì)值貫穿有理數(shù)經(jīng)典題型（八大題型）解析版

專(zhuān)題1.1絕對(duì)值貫穿有理數(shù)經(jīng)典題型（八大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值】【題型2根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求值】【題型3根據(jù)參數(shù)的取值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值】【題型4根據(jù)絕對(duì)值的定義判斷正誤】【題型5根據(jù)絕對(duì)值的意義求取值范圍】【題型6絕對(duì)值中分類(lèi)討論問(wèn)題】【題型7絕對(duì)值中的分類(lèi)討論之多絕對(duì)值問(wèn)題】【題型8絕對(duì)值中最值問(wèn)題】滿(mǎn)分必練【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值】【典例1】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．（1）在數(shù)軸上表示﹣c，|b|．（2）試把﹣c，b，0，a，|b|這五個(gè)數(shù)從小到大用“＜”連接起來(lái)；（3）化簡(jiǎn)|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）a＜﹣c＜b＜0＜|b|＜c；（3）﹣3b﹣3c．【解答】解：（1）在數(shù)軸上表示﹣c，|b|．如圖：；（2）根據(jù)題意可得，a＜﹣c＜b＜0＜|b|＜c；（3）因?yàn)閍+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，原式＝﹣a﹣b+a﹣c﹣2（b+c）＝﹣a﹣b+a﹣c﹣2b﹣2c＝﹣3b﹣3c．【變式1-1】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)|b+a|+|a+c|+|c﹣b|的結(jié)果是（）A．2b﹣2c B．2c﹣2b C．2b D．﹣2c【答案】A【解答】解：由圖可知：c＜b＜0＜a，﹣c＞a，﹣b＜a，∴a+b＞0，a+c＜0，c﹣b＜0∴|b+a|+|a+c|+|c﹣b|＝a+b﹣a﹣c+b﹣c＝2b﹣2c．故選：A．【變式1-2】a、b、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，且|a|＝|b|（1）求出a、b、c各數(shù)的絕對(duì)值；（2）比較a，﹣a、﹣c的大??；（3）化簡(jiǎn)|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵從數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c；（2）∵從數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴﹣a＜a＜﹣c；（3）根據(jù)題意得：a+b＝0，a﹣b＞0，a+c＜0，b﹣c＞0，則|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|＝0+a﹣b﹣a﹣c+b﹣c＝﹣2c．【題型2根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求值】【典例2】已知|a?|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【答案】．【解答】解：∵|a?|+|b+|+|c+|＝0，|a﹣|≥0，|b+|≥0，|c+|≥0，∴a﹣＝0，b+＝0，c+＝0，∴a＝，b＝﹣，c＝﹣，∴a﹣|b|+（﹣c）＝﹣|﹣|+[﹣（﹣）]＝＝．【變式2-1】已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化簡(jiǎn)|a|+|﹣2b|+3a．【答案】2a+2b．【解答】解：∵|a|＝b，∴a＝±b，∵|ab|+ab＝0，∴|ab|＝﹣ab，ab≤0，∴b≥0，a≤0，∴|a|+|﹣2b|+3a＝﹣a+2b+3a＝2a+2b．【變式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．計(jì)算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意，得，解得．即x＝2，y＝﹣3，z＝5；（2）當(dāng)x＝2，y＝﹣3，z＝5時(shí)，|x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0，即|x|+|y|﹣|z|的值是0．【變式2-4】已知m，n滿(mǎn)足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【答案】7．【解答】解：∵|m﹣2|+|n﹣3|＝0，而|m﹣2|≥0，|n﹣3|≥0，∴|m﹣2|＝0，|n﹣3|＝0∴m﹣2＝0，n﹣3＝0，解得m＝2，n＝3，∴2m+n＝4+3＝7，答：2m+n的值為7．【變式2-5】已知|a﹣3|與|2b﹣4|互為相反數(shù)．（1）求a與b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反數(shù)．【答案】（1）a＝3，b＝2；（2）﹣14或14．【解答】解：（1）∵|a﹣3|與|2b﹣4|互為相反數(shù)，∴|a﹣3|+|2b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，2b﹣4＝0，解得a＝3，b＝2；（2）∵a＝3，b＝2，∴|x|＝2a+4b＝2×3+4×2＝6+8＝14，∴x＝±14，∴x的相反數(shù)為﹣14或14．【變式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【答案】9．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣5|＝0，|a+2|≥0，|b﹣5|≥0，∴a+2＝0，b﹣5＝0，解得a＝﹣2，b＝5，∴＝（﹣2+5﹣1）×（2+）＝2×＝9．【變式2-7】若a、b都是有理數(shù)，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求+++……+的值．【答案】．【解答】解：由題意可得：ab﹣2＝0，a﹣1＝0，∴a＝1??b＝2，原式＝＝1﹣+﹣+?…+＝1﹣＝．【題型3根據(jù)參數(shù)的取值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值】【典例3】已知1＜a＜4，則|4﹣a|+|1﹣a|的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A．5﹣2a B．﹣3 C．2a﹣5 D．3【答案】D【解答】解：∵1＜a＜4，∴4﹣a＞0，1﹣a＜0，∴原式＝4﹣a+a﹣1＝3．故選：D．【變式3-1】已知1＜x＜2，則|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2 C．2x D．﹣2【答案】B【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣3＜0，1﹣x＜0，∴|x﹣3|+|1﹣x|＝﹣（x﹣3）+|1﹣x|＝3﹣x﹣（1﹣x）＝2．故選：B．【變式3-2】若1＜x＜2，則化簡(jiǎn)|x+1|﹣|x﹣2|的結(jié)果為（）A．3 B．﹣3 C．2x﹣1 D．1﹣2x【答案】C【解答】解：∵1＜x＜2，∴|x+1|﹣|x﹣2|＝x+1﹣（2﹣x）＝2x﹣1．故選：C．【變式3-3】已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|b+1|﹣|b﹣a|的結(jié)果為（）A．a(chǎn)﹣2b﹣1 B．a(chǎn)+1 C．﹣a﹣1 D．﹣a+2b+1【答案】D【解答】解：由數(shù)軸可知，﹣1＜b＜0，1＜a＜2，∴b+1＞0，|b+1|＝b+1，b﹣a＜0，|b﹣a|＝a﹣b，∴原式＝b+1﹣（a﹣b）＝1+2b﹣a，故選：D．【變式3-4】若a＜0，則化簡(jiǎn)|3﹣a|+|2a﹣1|的結(jié)果為4﹣3a．【答案】4﹣3a．【解答】解：∵a＜0，∴|3﹣a|+|2a﹣1|＝3﹣a+[﹣（2a﹣1）]＝3﹣a﹣2a+1＝4﹣3a．故答案為：4﹣3a．【題型4根據(jù)絕對(duì)值的定義判斷正誤】、【典例4】在實(shí)數(shù)a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，則下列結(jié)論：①|(zhì)a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解答】解：∵a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，∴2c＜a+b＝0，∴c＜0．∵c﹣a＞0，∴c＞a，∴a＜0，∵a+b＝0，∴b＝﹣a＞0，∴a，b互為相反數(shù)，∴|a|＝|b|，綜上，正確的結(jié)論有：④，∴正確的個(gè)數(shù)有一個(gè)．故選：A．【變式4-1】將符號(hào)語(yǔ)言“|a|＝a（a≥0）”轉(zhuǎn)化為文字表達(dá)，正確的是（）A．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身 B．負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù) C．非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身 D．0的絕對(duì)值等于0【答案】C【解答】解：∵一個(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵a≥0，表述的是非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，不是負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，∴選項(xiàng)C符合題意；∵a≥0，表述的是非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，不只是0的絕對(duì)值，∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【變式4-2】已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡(jiǎn)|a+c|﹣|a+b|的結(jié)果是（）A．2a+b+c B．b﹣c C．c﹣b D．2a﹣b﹣c【答案】A【解答】解：由題意得：b＜a＜0＜c，且|c|＞|a|．∴a+c＞0，a+b＜0．∴原式＝a+c﹣（﹣a﹣b）＝a+c+a+b＝2a+b+c．故選：A．【變式4-3】下列說(shuō)法中正確的是（）A．兩個(gè)負(fù)數(shù)中，絕對(duì)值大的數(shù)就大 B．兩個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值較小的數(shù)就小 C．0沒(méi)有絕對(duì)值 D．絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)不一定相等【答案】D【解答】解：∵兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值越大，對(duì)應(yīng)的數(shù)越小，∴A選項(xiàng)不合題意，B選項(xiàng)不合題意，∵0的絕對(duì)值為0，∴C選項(xiàng)不合題意，∵絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)可能相等，也可能互為相反數(shù)，∴D選項(xiàng)正確，故選：D【題型5根據(jù)絕對(duì)值的意義求取值范圍】【典例5】若|5﹣x|＝x﹣5，則x的取值范圍為（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【答案】B【解答】解：∵|5﹣x|＝x﹣5，∴5﹣x≤0，即x≥5，故選：B．【變式5-1】已知|a|＝﹣a，則化簡(jiǎn)|a﹣1|﹣|a﹣2|所得的結(jié)果是（）A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a【答案】A【解答】解：∵|a|＝﹣a，∴a≤0．則|a﹣1|﹣|a﹣2|＝﹣（a﹣1）+（a﹣2）＝﹣1．故選：A．【變式5-2】若|1﹣a|＝a﹣1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)≤1【答案】B【解答】解：∵|1﹣a|＝a﹣1，∴1﹣a≤0，∴a≥1，故選：B．【變式5-3】若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對(duì)一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是a≤7．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：數(shù)形結(jié)合．絕對(duì)值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點(diǎn)x，y之間的距離．畫(huà)數(shù)軸易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2這四個(gè)點(diǎn)的距離之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3時(shí)，y＝11，x＝﹣1時(shí)，y＝7，x＝1時(shí)，y＝7，x＝2時(shí)，y＝9，可以觀察知：當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，由于四點(diǎn)分列在x兩邊，恒有y＝7，當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時(shí)，7＜y≤11，當(dāng)x＜﹣3時(shí)，y＞11，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，7≤y＜9，當(dāng)x≥2時(shí)，y≥9，綜合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．從而a的取值范圍為a≤7【題型6絕對(duì)值中分類(lèi)討論問(wèn)題】【典例6】計(jì)算：（abc≠0）＝±1或±3．【答案】±1或±3．【解答】解：①a、b、c三個(gè)為正，原式＝1+1+1＝3；②a、b、c三個(gè)為負(fù)，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；③a、b、c兩個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)時(shí)，原式＝1+1﹣1＝1；④a、b、c一個(gè)為為正，兩個(gè)為負(fù)時(shí)，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；綜上所述，原式＝±1或±3．故答案為：±1或±3．【變式6-1】若n＝，abc＞0，則n的值為3或﹣1．【答案】3或﹣1．【解答】解：因?yàn)閍bc＞0，①當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，abc＞0，n＝＝++＝1+1+1＝3；②a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，abc＞0，n＝＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1；所以n的值為3或﹣1．故答案為：3或﹣1．【變式6-2】已知abc＞0，則式子：＝（）A．3 B．﹣3或1 C．﹣1或3 D．1【答案】C【解答】解：∵abc＞0，∴a、b、c均為正數(shù)或者兩個(gè)為負(fù)數(shù)，另外一個(gè)為正數(shù)．當(dāng)a、b、c均為正數(shù)時(shí)，|a|＝a，|b|＝b，|c|＝c．∴＝＝3．當(dāng)a、b、c中兩個(gè)為負(fù)數(shù)，另外一個(gè)為正數(shù)時(shí)，可設(shè)a＜0，b＜0，c＞0，∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，|c|＝c．∴＝＝﹣1．綜上：＝3或﹣1．故選：C．【變式6-3】已知a，b為有理數(shù)，ab≠0，且．當(dāng)a，b取不同的值時(shí)，M的值等于（）A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5【答案】D【解答】解：由于a，b為有理數(shù)，ab≠0，當(dāng)a＞0、b＞0時(shí)，且＝2+3＝5．當(dāng)a＞0、b＜0時(shí)，且＝2﹣3＝﹣1．當(dāng)a＜0、b＞0時(shí)，且＝﹣2+3＝1．當(dāng)a＜0、b＜0時(shí)，且＝﹣2﹣3＝﹣5．故選：D．【變式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．則m共有x個(gè)不同的值，若在這些不同的m值中，最大的值為y，則x+y＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，∴a、b、c為兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，m＝++∴分三種情況說(shuō)明：當(dāng)a＜0，b＜0，c＞0時(shí)，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，當(dāng)a＜0，c＜0，b＞0時(shí)，m＝﹣1﹣2+3＝0，當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，∴m共有3個(gè)不同的值，﹣4，0，﹣2，最大的值為0．∴x＝3，y＝0，∴x+y＝3．故選：B．【變式6-5】已知a、b、c均為不等于0的有理數(shù)，則的值為3或1或﹣1或﹣3．【答案】3或1或﹣1或﹣3．【解答】解：當(dāng)a、b與c均為正數(shù)時(shí)，即a＞0，b＞0，c＞0，則＝．當(dāng)a、b與c中有兩個(gè)正數(shù)時(shí)，假設(shè)a＞0，b＞0，c＜0，則＝＝1．當(dāng)a、b與c中有一個(gè)正數(shù)時(shí)，假設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，則＝＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．當(dāng)a、b與c中沒(méi)有正數(shù)時(shí)，假設(shè)a＜0，b＜0，c＜0，則＝＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3．綜上：的值為3或1或﹣1或﹣3．故答案為：3或1或﹣1或﹣3．【變式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值為n，求的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)a，b，c三個(gè)都大于0，可得++﹣＝2當(dāng)a，b，c，都小于0，可得++﹣＝﹣2當(dāng)a，b，c一正二負(fù)，可得++﹣＝﹣2當(dāng)a，b，c二正一負(fù)可得++﹣＝2∴m＝2，n＝﹣2∴原式＝﹣1【變式6-8】在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的“探究”【提出問(wèn)題】三個(gè)有理數(shù)a、b、c滿(mǎn)足abc＞0，求++的值．【解決問(wèn)題】解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，則：++＝++＝1+1+1＝3；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，則：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值為3或﹣1．【探究】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：（1）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，①當(dāng)a，b，c都是負(fù)數(shù)，即a＜0，b＜0，c＜0時(shí)，則：++＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，設(shè)a＜0，b＞0，c＞0，則++＝1+1﹣1＝1．（2）∵|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，∴a＝﹣3，b＝1或﹣1，則a+b＝﹣2或﹣4．【變式6-9】閱讀下列材料完成相關(guān)問(wèn)題：已知a，b、c是有理數(shù)（1）當(dāng)ab＞0，a+b＜0時(shí)，求的值；（2）當(dāng)abc≠0時(shí)，求的值；（3）當(dāng)a+b+c＝0，abc＜0，的值．【答案】（1）＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）當(dāng)a、b、c同正時(shí)，＝1+1+1＝3；當(dāng)a、b、c兩正一負(fù)時(shí)，＝1+1﹣1＝1；當(dāng)a、b、c一正兩負(fù)時(shí)，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；當(dāng)a、b、c同負(fù)時(shí)，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；（3）﹣3或1或1，詳見(jiàn)解答．【解答】解：（1）∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0∴＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）當(dāng)a、b、c同正時(shí)，＝1+1+1＝3；當(dāng)a、b、c兩正一負(fù)時(shí)，＝1+1﹣1＝1；當(dāng)a、b、c一正兩負(fù)時(shí)，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；當(dāng)a、b、c同負(fù)時(shí)，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；（3）∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c∴＝+﹣＝﹣﹣+又∵abc＜0，∴當(dāng)c＜0，a＞0，b＞0時(shí)，原式＝﹣﹣+＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；當(dāng)c＞0，a＞0，b＜0時(shí)，原式＝﹣﹣+＝﹣1+1+1＝1；當(dāng)c＞0，a＜0，b＞0時(shí)，原式＝﹣﹣+＝1﹣1+1＝1．【題型7絕對(duì)值中的分類(lèi)討論之多絕對(duì)值問(wèn)題】【典例7】（2022?河北模擬）（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的有理數(shù)是a、b，求這兩點(diǎn)之間的距離；（2）是否存在有理數(shù)x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整數(shù)x；如果不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)或|a﹣b|；（2）利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）|a﹣b|；（2）x的取值可能是x＜﹣1，﹣1≤x≤3，x＞3，化簡(jiǎn)得﹣2x+2，4，2x﹣2，則不存在|x+1|+|x﹣3|＝x的情況；（3）x的取值可能是x＜﹣4，﹣4≤x＜﹣3，﹣3≤x≤3，3＜x≤4，x＞4，化簡(jiǎn)得﹣4x，﹣2x+8，14，2x+8，4x，故存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14，即﹣3≤x≤3，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．【變式7-1】（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，則a的取值范圍為1≤a≤4．【分析】分情況討論：①a﹣4≥0；②a﹣1≥0，且a﹣4≤0．【解答】解：①a﹣4≥0，解得a≥4，化簡(jiǎn)原式＝2a﹣5，不合題意，舍去．②a﹣1≥0，且a﹣4≤0，解得1≤a≤4，化簡(jiǎn)原式＝3，符合題意．所以1≤a≤4．【變式7-2】（2022秋?玉門(mén)市期末）在數(shù)軸上有四個(gè)互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，設(shè)d在a、c之間，則|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【分析】由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a?a＜b＜c，又d在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．分別討論可得|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝|c﹣b|＝c﹣b．【解答】解：由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a可得a＜b＜c，又因?yàn)閐在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．當(dāng)a＜d＜b＜c時(shí)，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，當(dāng)a＜b＜d＜c時(shí)，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，故選：B．【題型8絕對(duì)值中最值問(wèn)題】【典例8】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是1；表示﹣2和1兩點(diǎn)之間的距離是3；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝1或﹣3；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是12，最小距離是2．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣3與5之間，則|a+3|+|a﹣5|＝8．（5）當(dāng)a＝1時(shí)，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是9．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是：3﹣2＝1；表示﹣2和1兩點(diǎn)之間的距離是：1﹣（﹣2）＝3；（2）|x+1|＝2，x+1＝2或x+1＝﹣2，x＝1或x＝﹣3．（3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5，當(dāng)a＝7，b＝﹣5時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是12，當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最小距離是2，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是12，最小距離是2；（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣3與5之間，|a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8．（5）當(dāng)a≥4時(shí)，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，這時(shí)的最小值為3×4＝12當(dāng)1≤a＜4時(shí)，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，這時(shí)的最小值為1+8＝9當(dāng)﹣5≤a＜1時(shí)，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，這時(shí)的最小值接近為1+8＝9當(dāng)a≤﹣5時(shí)，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，這時(shí)的最小值為﹣3×（﹣5）＝15綜上可得當(dāng)a＝1時(shí)，式子的最小值為9故答案為：（1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9．【變式8-1】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是5；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．如果表示數(shù)a和﹣1的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么a＝﹣4或2．（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|的值為6；（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是12．（4）當(dāng)a＝1時(shí)，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是7．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，|﹣3﹣2|＝5，|a﹣（﹣1）|＝3，所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，解得a＝﹣4或a＝2；（2）∵表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，∴a+4＞0，a﹣2＜0，∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整數(shù)點(diǎn)有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．故這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是12；（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．故答案為：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．【變式8-2】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是5；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)