專題3.4 輔助圓定點(diǎn)定長(zhǎng)（隱圓壓軸一）（原卷版）

專題3.4輔助圓定點(diǎn)定長(zhǎng)模型一：定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長(zhǎng)度固定，則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓。模型二：點(diǎn)圓最值已知平面內(nèi)一定點(diǎn)D和O，點(diǎn)E是O上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)D之間距離為d，O半徑為r.位置關(guān)系點(diǎn)D在O內(nèi)點(diǎn)D在O上點(diǎn)D在O外圖示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接DO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E

DE的最小值r－d0d－r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接OD并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E點(diǎn)E與點(diǎn)D重合連接OD交O于點(diǎn)E【典例1】（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是．【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，則∠BDC＝．版權(quán)所有【變式1-2】如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝．【變式1-3】如圖（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，如圖（2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．（1）求證：BD1＝CE1；（2）當(dāng)∠CPD1＝2∠CAD1時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角為a＝（直接寫結(jié)果）（3）連接PA，△PAB面積的最大值為（直接寫結(jié)果）【典例2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），沿DE翻折△DCE使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，請(qǐng)畫出點(diǎn)F的軌跡．版權(quán)所有【變式2-1】如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，將△AEB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與邊BC重合，得到△MNB，請(qǐng)畫出在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡．【變式2-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿AD對(duì)折，得到△AB'D，當(dāng)點(diǎn)B'落在AC邊上時(shí)，點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)，若AB'＝AC，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B'的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【變式2-3】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，將菱形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到菱形A'BC'D'，求出當(dāng)點(diǎn)D'在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線面BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在的直線折疊得到，連接，求的最小值?！咀兪?-1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，BF⊥AE，則CG的最小值為【變式3-2】（錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是．【變式3-3】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是，點(diǎn)F到線段BC的最短距離是．【典例4】（邗江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ACB＝90°，D為直線y＝x上的動(dòng)點(diǎn)，則線段CD長(zhǎng)的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【變式4-1】（武江區(qū)校級(jí)期末）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為（5，12），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最小值為．【變式4-2】（薩爾圖區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，OM的最大值為．【變式4-3】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B