14.2.1平方差公式課件人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

平方差公式第1課時(shí)八年級(jí)上冊(cè)RJ初中數(shù)學(xué)因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.知識(shí)回顧提公因式法分解因式一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另外一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.知識(shí)回顧(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=a2-2ab+b2.完全平方公式:1.了解并掌握公式法分解因式的運(yùn)算法則.2.熟練運(yùn)用公式法分解因式的運(yùn)算法則進(jìn)行實(shí)際的計(jì)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂導(dǎo)入由于整式的乘法與因式分解是方向相反的變形,把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等號(hào)兩邊互換位置，就得到了a2-b2=(a+b)(a-b).多項(xiàng)式a2-b2有什么特點(diǎn)？回想平方差公式的特點(diǎn)，你能將它分解因式嗎？是兩個(gè)數(shù)的平方的差a2-b2=(a+b)(a-b).知識(shí)點(diǎn)1用平方差公式分解因式新知探究用平方差公式分解因式能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：多項(xiàng)式是一個(gè)二項(xiàng)式,兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反..“兩個(gè)數(shù)”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.例1分解因式：(1)4x2-9；

(2)(x+p)2-(x+q)2

.解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)；(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).新知探究跟蹤訓(xùn)練解：(1)x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)；(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)

.例2分解因式(1)x4-y4；

(2)a3b-ab.注意：分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.首、末兩項(xiàng)和是兩個(gè)數(shù)的平方和的形式，而中間的一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)的積的2倍.多項(xiàng)式a2+2ab+b2與a2-2ab+b2有什么特點(diǎn)？回想完全平方公式的特點(diǎn)，你能將它們分解因式嗎？新知探究知識(shí)點(diǎn)2用完全平方公式分解因式新知探究完全平方式:我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.符合兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍這個(gè)特點(diǎn)的式子就是完全平方式.把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.用完全平方公式分解因式:兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方.注意:公式中的a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，其中首、末兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的平方，且這兩項(xiàng)符號(hào)相同，中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或者兩個(gè)式子）的積的2倍，符號(hào)正負(fù)都可以；公式法：如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.a2-b2=(a+b)(a-b);a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.跟蹤訓(xùn)練新知探究例3分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2；(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例4把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)

(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解；(2)中，將a+b看成一個(gè)整體，設(shè)原式化為m,則原式化為完全平方式m2-12m+36.檢查是否分解徹底，若沒有則繼續(xù)分解一提考慮是否可用公式法分解，兩項(xiàng)考慮平方差公式，三項(xiàng)考慮完全平方公式二套看多有無(wú)公因式，若有應(yīng)先提取公因式因式分解的一般步驟：三查不能直接套公式時(shí)可適當(dāng)變形整理隨堂練習(xí)1.（2020·桂林）因式分解a2-4的結(jié)果是（）A.(a+2)(a-2)B.(a-2)2C.(a+2)2D.a(a-2)A2.將下列各式分解因式：(1)4x2-25y2；

(2)(a+2)2-1；

(3)16(a-b)2-25(a+b)2；

(4)x5-16x

.

解：(1)4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y);(2)(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1);(3)16(a-b)2-25(a+b)2=[4(a-b)]2-[5(a+b)]2=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b);(4)x5-16x=x(x4-16)=x[(x2)2-42]=x(x2+4)(x2-4)=x(x2+4)(x+2)(x-2).2.將下列各式分解因式：(1)4x2-25y2；

(2)(a+2)2-1；

(3)16(a-b)2-25(a+b)2；

(4)x5-16x

.

因式分解平方差公式法完全平方公式法課堂小結(jié)a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)21.已知k為正整數(shù)，試判斷(2k+1)2-1能否被8整除，并說明理由.拓展提升點(diǎn)撥：通過因式分解，并結(jié)合數(shù)的奇偶性，先確定因式分解后的式子含有哪些因數(shù)，再根據(jù)倍數(shù)關(guān)系確定能被什么數(shù)整除.解：(2k+1)2-1能被8整除，理由如下：(2k+1)2-1=(2k+1+1)(2k+1-1)=(2k+2)·2k=4k(k+1).因?yàn)閗為正整數(shù)，所以k，k+1為兩個(gè)相鄰的正整數(shù)，則其中必有一個(gè)為偶數(shù)，即2的倍數(shù).所以4k(k+1)為8的倍數(shù)，所以(2k+1)2-1能被8整除.解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2

.因?yàn)閙-4n=-3，mn=4，所以原式=-4×(-3)2=-4×9=-36.2.已知m-4n=-3，mn=4，求-m3n+8m2n2-16mn3的值.14.2乘法公式14.2.2完全平方公式人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因?qū)嶋H需要將其邊長(zhǎng)增加b米，形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種.(如圖)用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積，并進(jìn)行比較.你有什么發(fā)現(xiàn)呢？導(dǎo)入新知2.靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋.素養(yǎng)目標(biāo)3.體驗(yàn)歸納添括號(hào)法則.一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長(zhǎng)增加b

米.形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積，

并進(jìn)行比較.aabb直接求：總面積=(a+b)(a+b)間接求：總面積=a2+ab+ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2探究新知知識(shí)點(diǎn)1完全平方公式計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p–1)2=(p–1)(p–1)=

.p2–2p+1(4)

(m–2)2=(m–2)(m–2)=

.m2–4m+4根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出下列式子的答案嗎？(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2探究新知問題1：?jiǎn)栴}2：(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2也就是說，兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.這兩個(gè)公式叫做(乘法的)完全平方公式.簡(jiǎn)記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中央”探究新知完全平方公式你能根據(jù)下面圖形的面積說明完全平方公式嗎?探究新知設(shè)大正方形ABCD的面積為S.S=

=S1+S2+S3+S4=

.(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4探究新知證明aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：探究新知幾何解釋a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2(a–b)2=

.a2–2ab+b2差的完全平方公式：探究新知幾何解釋(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.觀察下面兩個(gè)完全平方式，比一比，回答下列問題：(1)說一說積的次數(shù)和項(xiàng)數(shù).(2)兩個(gè)完全平方式的積有相同的項(xiàng)嗎？與a，b有什么關(guān)系？(3)兩個(gè)完全平方式的積中不同的是哪一項(xiàng)？與a，

b有什么關(guān)系？它的符號(hào)與什么有關(guān)？探究新知問題4：

公式特征：公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.積為二次三項(xiàng)式；積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和；另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號(hào)相同.探究新知下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？(1)(x+y)2=x2

+y2(2)(x–y)2

=x2–y2(3)(–x

+y)2

=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2

=4x2+2xy+y2××××(x

+y)2

=x2+2xy+y2(x–y)2

=x2–2xy+y2

(–x

+y)2

=x2–2xy

+y2

(2x

+y)2

=4x2+4xy+y2探究新知想一想例1運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab

+b2(4m)2+2?(4m)?n+n2+8mn+n2；素養(yǎng)考點(diǎn)1利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算探究新知(2)(a–b)2=a2–2ab

+b2y2=y2–y+解：=+–2?y?1.利用完全平方公式計(jì)算：(1)(5–a)2；

(2)(–3m–4n)2；(3)(–3a＋b)2.(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2；(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；鞏固練習(xí)(1)1022；=(100–1)2=10000–200+1解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=9801.

例2運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：

素養(yǎng)考點(diǎn)2利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算探究新知2.利用乘法公式計(jì)算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152鞏固練習(xí)例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.素養(yǎng)考點(diǎn)3利用完全平方公式的變形求整式的值探究新知方法總結(jié)：本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.(1)已知x+y=10，xy=24，則x2+y2=_____.523.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練.(2)如果x2+kx+81是運(yùn)用完全平方式得到的結(jié)果，

則k=________.18或–18(3)已知ab=2，(a+b)2=9，則(a–b)2的值為______.1鞏固練習(xí)添括號(hào)法則a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a

–b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c

).去括號(hào)：把上面兩個(gè)等式的左右兩邊反過來，也就是添括號(hào)：知識(shí)點(diǎn)2探究新知

添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào);如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)(簡(jiǎn)記為“負(fù)變正不變”).探究新知添括號(hào)法則例4運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解:(1)(2)原式=[(a+b)+c]2=x2–(2y–3)2=x2–(4y2–12y+9)=x2–4y2+12y–9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.素養(yǎng)考點(diǎn)4添括號(hào)法則的應(yīng)用探究新知4.計(jì)算：(1)(a–b＋c)2；(2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．＝1–4x2＋4xy–y2.解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；(2)原式＝[1＋(–2x＋y)][1–(–2x＋y)]＝12–(–2x＋y)2鞏固練習(xí)1.將2變形正確的是(

)

2=922

2=()(10–)

2=102–2

2=9222.若x2+2(m–3)x+16是關(guān)于x的完全平方式，則m=

．連接中考C–1或7鞏固練習(xí)2.下列計(jì)算結(jié)果為2ab–a2–b2的是()A．(a–b)2B．(–a–b)2

C．–(a＋b)2D．–(a–b)21.運(yùn)用乘法公式計(jì)算(a–2)2的結(jié)果是(

)A．a(chǎn)2–4a+4B．a(chǎn)2–2a+4C．a(chǎn)2–4D．a(chǎn)2–4a–4AD基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測(cè)3.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x–3y)2=_______________；(3)(2m–1)2

=__________