九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)【北師大版】：一元二次方程九大考點(diǎn)精講精練（知識(shí)梳理+典型例題+變式訓(xùn)練）（解析版）

-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試高分直通車（月考+期中+期末）專題1.2一元二次方程九大考點(diǎn)精講精練（知識(shí)梳理+典型例題+變式訓(xùn)練）【知識(shí)梳理】1.一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2.一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．

其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．

（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．3.一元二次方程的根（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．

ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．4.一元二次方程的解法—配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．5.一元二次方程的解法—因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．6.一元二次方程的解法—公式法（1）把x=?b±b2?4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．

（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；

②求出b2-4ac的值（若b27.根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△=b2-4ac）判斷方程的根的情況．

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．

上面的結(jié)論反過來也成立．8.根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=-p，x1x2=q，反過來可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．

（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2=ca，反過來也成立，即b9.配方法的綜合應(yīng)用1、用配方法解一元二次方程．

配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2=（a±b）2

配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．

2、利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值．

關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．

3、配方法的綜合應(yīng)用．【典例剖析】【考點(diǎn)1】一元二次方程的定義【例1】已知關(guān)于x的方程（m+1）xm2+1+（m（1）m取何值時(shí)，它是一元二次方程？（2）m取何值時(shí)，它是一元一次方程？【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和已知條件得出m+1≠0且m2+1＝2，再求出答案即可；（2）根據(jù)一元一次方程的定義和已知條件得出∴①m+1＝0且m﹣2≠0，②m﹣2＝0且m+1≠0，m2+1＝1，③m2+1＝1且m+1+m﹣2≠0，再分別求出即可．【解析】（1）∵x的方程（m+1）xm2+1+（m∴m+1≠0且m2+1＝2，解得：m＝1，∴當(dāng)m＝1時(shí)，方程為一元二次方程；（2）∵x的方程（m+1）xm2+1+（m∴①m+1＝0且m﹣2≠0，②m﹣2＝0且m+1≠0，m2+1＝1，③m2+1＝1且m+1+m﹣2≠0，解得：①m＝﹣1，②不存在，③m＝0，∴m為﹣1或0時(shí)，方程是一元一次方程．【變式1.1】（2021·天津市晟楷中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（

）A．a(chǎn)x2+bx+c=0C．x2+3【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程）逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、當(dāng)a=0,b≠0時(shí)，方程axB、方程x2?4=x+3C、方程x2+3D、方程3xx?4=0整理為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟記一元二次方程的定義是解題關(guān)鍵．【變式1.2】（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)九年級(jí)期末）關(guān)于x的方程a+2xa2A．a(chǎn)=±2 B．a(chǎn)=?2 C．a(chǎn)=2 D．a(chǎn)為任意實(shí)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得a2?2=2且【詳解】解：由題意，得a2?2=2且解得：a=2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的方程叫做一元二次方程．【變式1.3】（2020?廣西模擬）關(guān)于x的方程(m【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，再解即可．【解析】依題意有，m2﹣7＝2，∴m＝±3，∵m﹣3≠0，∴m≠3，∴m＝﹣3，∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)方程(m【考點(diǎn)2】一元二次方程的一般形式【例2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．（1）（x﹣5）2＝36；（2）3y（y+1）＝2（y+1）．【分析】（1）首先去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，進(jìn)而整理為一元二次方程的一般形式得出各項(xiàng)系數(shù)；（2）首先去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，進(jìn)而整理為一元二次方程的一般形式得出各項(xiàng)系數(shù)．【解析】（1）一元二次方程（x﹣5）2＝36的一般形式是：x2﹣10x﹣11＝0，二次項(xiàng)系數(shù)是1、一次項(xiàng)系數(shù)是﹣10，常數(shù)項(xiàng)是﹣11；（2）一元二次方程3y（y+1）＝2（y+1）的一般形式是：3y2+y﹣2＝0，二次項(xiàng)系數(shù)3、一次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是﹣2．【變式2.1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將方程（3x－1）（2x＋4）＝2化為一般形式為____________，其中二次項(xiàng)系數(shù)為________，一次項(xiàng)系數(shù)為________．【答案】

3x2＋5x－3＝0

3

5【分析】將方程展開，化簡(jiǎn)后即可求解．【詳解】將(3x－1)(2x＋則可知一次項(xiàng)系數(shù)為5，二次項(xiàng)系數(shù)為3，故答案為：3x【點(diǎn)睛】本題主要考查了將一元二次方程化為最簡(jiǎn)式以及判斷方程各項(xiàng)系數(shù)的知識(shí)，熟記相關(guān)考點(diǎn)概念是解答本題的關(guān)鍵．【變式2.2】（2021·江蘇·漣水縣紅日中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）一元二次方程x2【答案】6【分析】確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)以后即可求解．【詳解】根據(jù)題意可得，一元二次方程x2∴和為1+4+1=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，利用二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之和算出算式是解題關(guān)鍵．【變式2.3】（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化為一般形式是；其中二次項(xiàng)系數(shù)是．【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）．a(chǎn)x2叫二次項(xiàng)，a叫二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫一次項(xiàng)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)；c叫常數(shù)項(xiàng)．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括號(hào)，再移項(xiàng)，最后合并即可．【解析】（3x+2）（2x﹣3）＝5，去括號(hào)：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，移項(xiàng)：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，合并同類項(xiàng)：6x2﹣5x﹣11＝0．故一般形式為：6x2﹣5x﹣11＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為：6．故答案為：6x2﹣5x﹣11＝0；6．【考點(diǎn)3】一元二次方程的根【例3】（2021春?招遠(yuǎn)市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式1+6m﹣2m2的值為（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【分析】根據(jù)m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，可以求得所求代數(shù)式的值，本題得以解決．【解析】∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故選：D．的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式3.1】（2022·廣西崇左·八年級(jí)期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax?2=0的一個(gè)根，則【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將x=1代入x2+ax?2=0，得到關(guān)于【詳解】將x=1代入該方程，得：1+a?2=0，解得：a=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解的定義．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．【變式3.2】（2022·浙江紹興·八年級(jí)期末）若a是方程2x2?x?5=0【答案】-9【分析】由題意可得2a2-a=5，再由2a-4a2+1=-2（2a2-a）+1，即可求解．【詳解】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一個(gè)根，∴2a2-a-5=0，∴2a2-a=5，∴4a2-2a=10，∴2a-4a2+1=-10+1=-9，故答案為：-9．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，代數(shù)式求值，恰當(dāng)?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵．【變式3.3】（2020?浙江自主招生）若n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2+mx+2n＝0的根，則m3+n3﹣6mn的值為（）A．﹣2 B．8 C．﹣6 D．﹣8【分析】先根據(jù)n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2+mx+2n＝0的根，得到關(guān)于m和n的一個(gè)方程，再根據(jù)n≠0，得出m和n的數(shù)量關(guān)系，然后將所給的整式利用因式分解和配方法進(jìn)行變形，最后將m與n的數(shù)量關(guān)系代入，即可求得答案．【解析】∵n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2+mx+2n＝0的根∴n2+mn+2n＝0∵n≠0∴方程兩邊同時(shí)除以n得：n+m+2＝0∴m+n＝﹣2∴m3+n3﹣6mn＝（m+n）（m2﹣mn+n2）﹣6mn＝﹣2[（m+n）2﹣3mn]﹣6mn＝﹣2（m+n）2+6mn﹣6mn＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8故選：D．【變式3.4】（2021春?淮北月考）若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式a2﹣2021a+a【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2＝2020a﹣1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解析】∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根，∴a2﹣2020a+1＝0，∴a2＝2020a﹣1，∴a2﹣2021a+a2+12020=＝﹣a+a﹣1＝﹣1．【考點(diǎn)4】一元二次方程的解法—配方法【例4】（2021春?碑林區(qū)校級(jí)月考）若x2+ax＝（x+12）2+b，則a，A．a(chǎn)＝1，b=14 B．a(chǎn)＝1，b=?14 C．a(chǎn)＝2，b=12【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出a，b的值．【解析】∵（x+12）2+b∴ax＝x，14∴a＝1，b=?1故選：B．【變式4.1】．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）2﹣3＝0，那么（n﹣m）2020＝______．【答案】1【分析】先把方程進(jìn)行配方，即可求出n、m的值，再最后求值即可．【詳解】解：把方程x2＋4x＋n＝0進(jìn)行配方，得：x+22由已知可得：m=2?4+n=?3，化簡(jiǎn)m=2∴n?m2020故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查配方法，掌握完全平方公式的合并化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式4.2】．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）對(duì)方程x2+25x?【答案】1【分析】方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，依此可求m．【詳解】解：由題意得：m=25故答案為：125【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．【變式4.3】（2020秋?西豐縣期末）如果ax2+3x+12=（3x+12）2+m，則a【分析】根據(jù)完全平方公式把等式的右邊變形，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【解析】（3x+12）2＝9x2+3x+14則a＝9，14+m解得，m=1故答案為：9，14【考點(diǎn)5】一元二次方程的解法—因式分解法【例5】（2021春?平谷區(qū)校級(jí)期中）方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是．【分析】直接利用因式分解法解方程即可．【解析】∵（x﹣4）（x+3）＝0，∴x﹣4＝0或x+3＝0，∴x1＝4，x2＝﹣3；故答案為：x1＝4，x2＝﹣3．【變式5.1】（2020?張家界）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩根，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．8 D．2或4【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長(zhǎng)，用三角形存在的條件分類討論邊長(zhǎng)，即可得出答案．【解析】x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，2，4時(shí)，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，4，4時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成三角形，此時(shí)三角形的底邊長(zhǎng)為2，故選：A．【變式5.2】（2021·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）若一個(gè)一元二次方程x2?5x+6=0的兩個(gè)根分別是Rt△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)，則Rt△AB【答案】13【分析】解一元二次方程求出x1=2，x2=3，根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵x2∴（x-2）（x-3）=0，解得x1=2，x2=3，∴Rt△ABC斜邊長(zhǎng)為22故答案為：13．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程，勾股定理，正確掌握解方程的方法及勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【變式5.3】（2021·河南·鄧州市城區(qū)第五初級(jí)中學(xué)校.九年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b=a+b2?a?b2【答案】﹣3或4【分析】利用新定義得到m+2+m?32【詳解】解：根據(jù)題意得m+2+∴2m?12∴2m?12∴（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）=0，∴2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0，解得m1=﹣3，m2=4．故答案為：﹣3或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元二次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6】一元二次方程的解法—解答題【例6】（2020春?文登區(qū)期中）解下列方程：（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．【分析】（1）根據(jù)配方法即可求出答案；（2）利用公式法求解即可．【解析】（1）3x2﹣5x+1＝0，方程整理得：x2?53x配方得：x2?53x+2536=?13開方得：x?5∴x1=5+136，x（2）（x+3）（x﹣1）＝5，方程整理得：x2+2x﹣8＝0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，則△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，∴x=?2±∴x1＝﹣4，x2＝2．【變式6.1】．（2021·江蘇·儀征市古井中學(xué)九年級(jí)期末）解方程：(1)3x2﹣(2)x?22﹣x【答案】(1)x1(2)x1【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．（1）解：原方程可化為3x∵a=3，b=-1，c=-3，∴b2∴x=1±得x1（2）∵(x?2)(x?3)=0，∴x-2=0或x-3=0，∴x1【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6.2】．（2021·江蘇·東海縣駝峰中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）解方程(1)2(x?3)(2)x【答案】(1)x=6或x=0；(2)x1【分析】（1）利用直接開平方，再解一元二次方程即可；（2）利用解一元二次方程得公式法即可求解．（1）解：2(x?3)2?18=0∴2（x2?6x+9（2）解：x2?5x+3=0由x=?b±b2?4ac2a【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法中的直接開平方與公式法，熟記一元二次方程的解法為關(guān)鍵．【變式6.3】（2020春?文登區(qū)期中）解下列方程：（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．【分析】（1）根據(jù)配方法即可求出答案；（2）利用公式法求解即可．【解析】（1）3x2﹣5x+1＝0，方程整理得：x2?53x配方得：x2?53x+2536=?1開方得：x?5∴x1=5+136，x（2）（x+3）（x﹣1）＝5，方程整理得：x2+2x﹣8＝0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，則△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，∴x=?2±∴x1＝﹣4，x2＝2．【考點(diǎn)7】根的判別式【例7】（2021?西城區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，求此時(shí)方程的根．【分析】（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．（2）由（1）中k的取值范圍得出符合條件的k的最大整數(shù)值，代入原方程，利用因式分解法即可求出x的值．【解析】（1）∵關(guān)于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴k?1≠0(?2解得：k≤2且k≠1．（2）當(dāng)k＝2時(shí)，方程為：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【變式7.1】（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程a?1x(1)求證：此方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果這個(gè)方程根的判別式的值等于9，求a的值．【答案】(1)見解析(2)a=0【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其值大于0即可得證；（2）表示出根的判別式，讓其值為9求出a的值即可．（1）∵Δ=2a+1∵2a?12≥0∴Δ=2a?1∴此方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=2a?1∴2a?12∴a1=0，a∵a≠1，

∴a=0，【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，熟練掌握根的判別式與根的情況之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式7.2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的方程px2+2p+1x+【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式Δ=b2?4ac結(jié)合第一個(gè)方程，可確定【詳解】∵關(guān)于x的方程px∴Δ=b2解得：p>?18且∵關(guān)于x的方程x2?3x?2p=0的根的判別式∴Δ=9+8p>8，且Δ∴關(guān)于x的方程x2【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式．解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為Δ=b2?4ac【變式7.3】（2020春?雨花區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2?74=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1（1）若m為正整數(shù)，求m的值；（2）在（1）的條件下，求代數(shù)式（x1x2）（x12+x22）的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＞0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，再結(jié)合m為正整數(shù)，解之即可得出結(jié)論；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝﹣1，x1x2=?34，將其代入（x1x2）（x12+x【解析】（1）∵方程x2+（2m﹣1）x+m2?7∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2?7解得：m＜2．∵m為正整數(shù)，∴m＝1，答：m的值為1；（2）∵m＝1，∴x2+x?3∵x1，x2是方程的根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2=?∴（x1x2）（x12+x22）=?34[（x1+x2）2﹣2x1x2]=?3【考點(diǎn)8】根與系數(shù)的關(guān)系【例8】（2021春?長(zhǎng)沙期中）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩根x1，x2，滿足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．【分析】（1）根據(jù)方程的根的判別式△＞0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及（x1+1）（x2+1）＝4，即可得出關(guān)于k的分式方程，解之即可得出k值，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可確定k的值．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．∴k﹣1≠0，△＝b2﹣4ac＞0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．（2）∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的兩根為x1，x2，∴x1+x2=4k?1，x1x2∵（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即4k?1整理，得：k﹣1＝1，【變式8.1】（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍；(2)若m，n是方程的兩根，且1m+1【答案】(1)k<2且k≠0(2)k=【分析】（1）根據(jù)題意可知b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且k≠0，求出k的取值范圍即可；（2）先用含k的代數(shù)式表示mn和m+n，再將1m+1（1）∵關(guān)于x的一元二次方程kx∴Δ=b2解得：k<2且k≠0．（2）根據(jù)題意m+n=?2k，由1m+1∴代入得：?2整理得：?2k=6k?1解得：k=3【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握x1+x【變式8.2】．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程(1)求m的取值范圍；(2)若x12＋【答案】(1)m≥1(2)m【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)根得到Δ=（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x1+x2=2（m＋1），x1x2=m（1）解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程∴Δ=∴?2m即8m?8≥0，∴m≥1．（2）解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程∴x1+x∵m≥1，∴x1+x∴x1＞0∵x12＋∴（x∴4（解得：m＝1或又∵m≥1，∴m＝【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根找出?2m＋12－【變式8.3】（2020?十堰）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．【分析】（1）根據(jù)△≥0建立不等式即可求解；（2）先提取公因式對(duì)等式變形為x1【解析】（1）由題意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范圍是：k≥2．故答案為：k≥2．（2）由題意得：x1由韋達(dá)定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值為k＝3．故答案為：k＝3．【變式8.5】（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．（1）試判斷方程根的情況；（2）若方程的兩根x1，x2滿足x1?x2＞1，n＝1，求m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)△的值，可以判斷該方程根的情況，故只要計(jì)算△的值即可；（2）將n＝1代入方程，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1?x2=?(m+1)m和x1?x2＞1，即可求得【解析】（1）∵一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0，∴△＝n2﹣4m×[﹣（m+n）]＝（n+2m）2≥0，∴該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）將n＝1代入方程mx2+nx﹣（m+n）＝0，得mx2+x﹣（m+1）＝0，∵方程的兩根x1，x2滿足x1?x2＞1，∴x1?x2=?(m+1)解得?12即m的取值范圍是?12【考點(diǎn)9】配方法的綜合應(yīng)用【例9】（2020春?儀征市期末）閱讀理解：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0．∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．方法應(yīng)用：（1）已知a2+b2﹣10a+4b+29＝0，求a、b的值；（2）已知x+4y＝4．①用含y的式子表示x：x＝4﹣4y；②若xy﹣z2﹣6z＝10，求yx+z的值．【分析】（1）利用完全平方公式以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即