初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用

頁，共15頁3初等變換的應(yīng)用3.1利用初等變換求伴隨矩陣在進(jìn)行伴隨矩陣求解的過程中，我們會利用代數(shù)余子式得出所要用到的矩陣，進(jìn)而得出結(jié)果.但是隨著矩陣的階數(shù)越來越大，它的計算量也將會快速的增加.這時利用矩陣的初等變換來求解伴隨矩陣則會變的很容易，計算量相對來講也會較小.定理1若階方針是可逆矩陣，則可通過對進(jìn)行初等變換求出，即.定理2設(shè)為階可逆方陣，作出矩陣，用初等變換將中化成.同時中就化成了.證明由逆矩陣的性質(zhì)可知，若A可逆，則有又因為所以，結(jié)論得證.例1已知矩陣A可逆，，求其伴隨矩陣.解所以通過上面的算法，可以看出.相對于利用伴隨矩陣定義求階數(shù)較大的伴隨矩陣，利用初等變換求法其簡便性更為突出.并且通過矩陣初等列變換也可求得A*，即3.2利用初等變換求多項式最大公因式輾轉(zhuǎn)相除法可以用于求多項式的最大公因式，這里將利用一種新的方法得出多項式的最大公因式.引理1設(shè)是關(guān)于x的多項式，作其系數(shù)矩陣A作初等變換后，相應(yīng)的兩個多項式的最大公因式不變.證明設(shè)作一次初等變換之后化為，設(shè)則，由此可得出.引理2設(shè)是指定的關(guān)于的多項式，作出它們的系數(shù)矩陣如下分別對應(yīng)多項式和，將第二行中的元素輪換一次，得到，設(shè)第二行所對應(yīng)的多項式為，則.證明顯然，所以引理2成立.設(shè)是指定的關(guān)于的多項式，作出它們的系數(shù)矩陣如下，當(dāng)A經(jīng)過初等變換和行元素輪換之后化為或時，如果非零行一共輪換了次，則和的最大公因式為，且.證明：由引理1可知，初等行變換不改變多項式的最大公因式，則只需考慮行元素輪換的次數(shù).假如經(jīng)過了次輪換之后化為，設(shè).由引理2可得.例2設(shè)，，求與的最大公因式.解作矩陣第二行元素一共輪換了3次，.所以與的首項為1的最大公因式為這種解法也適用于求解多個多項式的最大公因式.3.3利用初等變換求特征值和特征向量在進(jìn)行特征值與特征向量的求解過程中，往往用分步的求法，過程很繁瑣而且計算量也是相當(dāng)大.這里將利用初等變換的方法可以同時求得特征值和特征向量.使之過程簡化許多.給定矩陣，作分塊矩陣，其中為對角矩陣或者斜對角矩陣.求出的根就是A的特征值；當(dāng)值確定后，當(dāng)中與當(dāng)中零列元素所對應(yīng)的的列元素就是與所對應(yīng)的特征向量.證明：通過左右乘可逆矩陣可對矩陣進(jìn)行初等變換，即存在可逆矩陣，使（1）可得，兩邊同時取行列式可得到，因為，所以與有相同的解，即的根就是A的特征值.由上面可以知道，當(dāng)值確定，當(dāng)中非零元素列的列數(shù)就是的秩，假設(shè)，則，由，得，由矩陣相乘可以知道的后列是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，同時也是的基礎(chǔ)解系，即的后列是所對應(yīng)的特征向量.所以求出了也就會得出了所對應(yīng)的特征向量.由（1）式可得，，即，所以當(dāng)中與當(dāng)中零列所對應(yīng)的后面的列是所對應(yīng)的特征向量.例3已知矩陣，求其特征值與特征向量.解則A的特征值為，.當(dāng)時，把特征值-1帶入最后一個矩陣，得出對應(yīng)的一個特征向量為，則所有的特征向量表示為.當(dāng)時，把特征值2帶入上面最后一個矩陣，由于2為該矩陣的二重根，可得到相對應(yīng)的兩個線性無關(guān)向量，，從而可以得出全部的特征向量為不全為零.具體解題的時候不一定非得要把化為對角形矩陣或者斜對角形矩陣，也可以把化為上三角形矩陣或者下三角形矩陣.這樣做的優(yōu)點是不用進(jìn)行初等行變換，只對進(jìn)行初等列變換就可以了.但是這種方法求特征值和特征向量也有其缺點，就是不能立即看出其特征向量.3.4利用初等變換求線性方程組通解求非齊次線性方程組的通解，通常用高斯消元法，即通過對增廣矩陣實施初等行變換，化為階梯矩陣來實現(xiàn).然后求對應(yīng)的其次線性方程組的基礎(chǔ)解系和的一個特解.最后得到通解.這種方法只用了初等行變換，初等列變換并不可以使用.現(xiàn)在我們就只利用初等列變換來直接求出的通解.這種方法不僅簡單直觀，而且容易理解，可以靈活多變.定理3，對則的通解為，即的列是的基礎(chǔ)解系，是的一個特解.證明已知，通過對矩陣右乘可逆矩陣來對矩陣作初等列變換，構(gòu)造分塊可逆矩陣，其中是一個可逆矩陣，可知也是可逆矩陣.易得，即的后列是的解，又，可逆，可知的后列是的基礎(chǔ)解系，由矩陣相等得到，則就是的后列.由，可知是的一個特解，由矩陣相等可得，從而得出的通解為.例4解線性方程組解則方程組的通解為.由上面例題可以看出來，在整個計算的過程中，只是需要將化為r個非零列和零列即可，不用非得化成列階梯型矩陣.但是最重要的一點是必須需要記住的.分塊矩陣中的最后一列不可以與前面的任何一列互相交換.如果分塊矩陣中最后一列不可以全部化為零的話，則就是說明此方程組無解.因此需要注意的是在使用初等列變換時，我們不用再考慮這一初等列變換.也就是說，我們只需要哦用一種初等列變換就可以得出方程組的通解.用這樣的方法解方程組就會更加的簡單與靈活.這種方法在解齊次線性方程組的時候也依然可以使用.在齊次線性方程組中，由于，所以在計算的時候可以把分塊矩陣的最后一列去掉.接下來的步驟依然不變.例5解線性方程組解=從而可以得出方程組的通解為上面用初等列變換求解方程組通解的方法也能夠應(yīng)用在線性代數(shù)的很多方面，例如求整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，求向量組的極大無關(guān)組，求矩陣的特征值與特征向量等.3.5利用初等變換求標(biāo)準(zhǔn)正交基采用Schmidt正交化法可以求標(biāo)準(zhǔn)正交基，但是一次只可求出一個向量，這里將給出同時求出所有向量初等變換法.合同變換：給出定矩陣，構(gòu)造矩陣（對作一系列初等行變換和對應(yīng)相同的列變換把化為對角矩陣）.命題2設(shè)是線性無關(guān)，記，則當(dāng)時，B的列向量組就是一個正交組.證明：設(shè)可以經(jīng)過行初等變換化為正交矩陣B，則一定有可逆矩陣P使得.可以看的出來，對進(jìn)行合同變換時也要對進(jìn)行一致的行初等變換（注意：不可以進(jìn)行初等列變換），當(dāng)上面的變換成時，下面的就變成了.例6給定，將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.解令，則.因此，標(biāo)準(zhǔn)正交基如下：.通過以上的分析與探究，可知初等變換的內(nèi)容貫穿于整個高等代數(shù)，適當(dāng)?shù)睦贸醯茸儞Q解決問題會相對來說比較簡單.應(yīng)用初等變換證明一些命題，過程很容易被大家所接受.所以，很多數(shù)學(xué)研究者們不斷的在探究初等變換被應(yīng)用的問題，使初等變換可以在高等代數(shù)以及數(shù)學(xué)其他各大領(lǐng)域中發(fā)揮更大的作用.

結(jié)語通過對初等變換進(jìn)行深度的分析與探討，文章對初等變換的應(yīng)用進(jìn)行了歸納性的闡述和整理。在初等變換的相關(guān)預(yù)備知識的基礎(chǔ)上。通過具體的例子，介紹了初等變換在求解伴隨矩陣、求特征值與特征向量、求多項式的最大公因式、解線性方程組的通解以及求標(biāo)準(zhǔn)正交基方面的應(yīng)用并且進(jìn)行了總結(jié)。使人們對初等變換有了更深一層的認(rèn)識。在寫這篇論文之前，只是對初等變換有一些淺淺的了解.經(jīng)過這幾個月的努力與研究.讓我對初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用的幾個方面銘記于心.深度的了解了初等變換在求解伴隨矩陣、求特征值與特征向量、求多項式的最大公因式、解線性方程組的通解以及求標(biāo)準(zhǔn)正交基方面的應(yīng)用.

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