6.4-6.5平行與垂直（重難點突破）原卷版

突破平行與垂直【知識點一、平行線的定義及畫法】1．定義：在同一平面內，的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．特別說明：(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個內；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內，兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種．特別地，直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關系．2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.④：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.【知識點二、基本事實】基本事實1、經過直線外一點，有且只有直線與這條直線平行．基本事實2、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線．特別說明：“經過直線外一點”，而非直線上的點；公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一；基本事實2也稱之為平行的傳遞性.【知識點三、垂線的定義及畫法】垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫．特別說明：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點O，記作：AB⊥CD于點O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質，即有：CD⊥AB．垂線的畫法：過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．特別說明：(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段．【知識點四、垂線的性質及距離問題】垂線的性質：（1）在同一平面內，過一點有且只有直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，最短．簡單說成：垂線段最短．特別說明：（1）性質（1）成立的前提是在“同一平面內”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質（2）是“連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短．”實際上，連接直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實際問題中經常應用其“最短性”解決問題．點到直線的距離：定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做．特別說明：點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度．(一)平行與垂直的位置關系例1．有8條不同的直線（、、、、、、、），其中，、、交于同一點，則這8條直線的交點個數(shù)最多有（）A．21個 B．22個 C．23個 D．24個【變式訓練1－1】如圖，在同一平面內，，，垂足為O，則與重合的理由是（

）A．兩點確定一條直線B．垂線段最短C．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．垂直于同一直線的兩條直線平行【變式訓練1－2】如圖，O為直線上一點，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓練1－3】如圖，在同一平面內，經過直線外一點的4條直線中，與直線相交的直線至少有條．【變式訓練1－4】如圖，在長方體中，與面垂直，又與面平行的棱是．【變式訓練1－5】已知和的兩邊分別互相垂直，且比的2倍少，求的度數(shù)．【變式訓練1－6】如圖，一組互相平行的直線有6條，它們和兩條平行線a，b都相交，構成若干個“#”形，則此圖中共有多少個“#”形？(二)平行線與垂線的繪制例2．如圖，已知，請你按下列步驟畫圖：（用三角板、量角器等工其畫圖，不寫畫法，只保留畫圖痕跡）①畫的平分線交線段于點D；②過點C畫的平行線交射線于點E；③過點E作的垂線段，垂足是F．【變式訓練2－1】如圖，在由相同小正方形組成的網格中，點A，B，C，O都在網格的格點上，，射線在的內部，請用無刻度的直尺作圖：(1)過點A作；(2)在的外部，作，使．【變式訓練2－2】如圖，分別是兩條筆直的公路，是三個商店．(1)如果經過點處建設一條公路，使這條公路與公路平行，且交于點，在圖上畫出這條公路．(2)一個人從處走最近的路線到達公路，畫出這個人行走的路線．(3)一輛貨車在公路上行駛，當停在處時，可以使兩處的人到貨車的距離之和最小，畫出點的位置．這樣畫的依據(jù)是．【變式訓練2－3】按照下列要求完成作圖及相應的問題解答(1)作出∠AOB的角平分線OM；(2)作直線，不能與直線OB相交，且交射線OM于點M；(3)通過畫圖和測量，判斷線段OP與線段PM的數(shù)量關系．(三)距離問題【例3】如圖，，，下列結論中，正確的結論有(

)①線段的長度是點到的距離；②線段是點到的距離；③；④線段是到的距離；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式訓練3－1】如圖，在中，，是邊上一點，且，那么下列說法中錯誤的是（

）．A．直線與直線的夾角為 B．直線與直線的夾角為C．線段的長是點到直線的距離 D．線段的長是點到直線的距離【變式訓練3－2】如圖是一條河是河邊外一點，是河邊上一碼頭．(1)若要從走到碼頭，請在圖1中作出最短路線示意圖．(2)現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到處，請在圖2上作出所需水管最短的鋪設方案．【變式訓練3－3】已知：如圖，點，點分別代表兩個小區(qū)，直線代表兩個小區(qū)中間的一條公路．根據(jù)居民出行的需要，計劃在公路上的某處設置一個公交站點．(1)若考慮到小區(qū)居住的老年人較多，計劃建一個離小區(qū)最近的車站，請在公路上畫出車站的位置用點表示；(2)若考慮到修路的費用問題，希望車站的位置到小區(qū)和小區(qū)的距離之和最小，請在公路上畫出車站的位置用點表示．【變式訓練3－4】如圖所示的正方形網格，所有小正方形的邊長都為1，、、都在格點上．(1)利用網格作圖：①過點畫直線的平行線；②過點畫直線的垂線，垂足為點；(2)線段的長度是點________到直線________的距離；(3)比較大?。篲_______（填>、<或=），理由：________．【變式訓練3－5】定義：連接已知線段外一點與這條線段上各點的所有線段中，最短線段的長度叫做這點到已知線段的距離．(1)如圖，已知線段和點C，D，分別畫出表示點C，D到線段距離的線段．(2)若，動點P到線段的距離為，請畫出動點P運動的路徑．并求出運動路徑的長（精確到）．【變式訓練3－6】如圖