第二十六章二次函數(shù)（8個(gè)知識(shí)歸納15類(lèi)題型突破）

第二十六章二次函數(shù)（8個(gè)知識(shí)歸納+15類(lèi)題型突破）1.掌握二次函數(shù)的概念；2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；3.掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；4.掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系；5.掌握二次函數(shù)的應(yīng)用；知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念1．知識(shí)回顧：（1）函數(shù)的概念：在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)量x和y，如果在x的允許范圍內(nèi)，變量y隨x的變化而變化，它們之間存在確定的依賴(lài)關(guān)系，那么變量y叫做變量x的函數(shù)，x叫自變量，y叫做因變量．（2）正比例函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)．（3）一次函數(shù)：形如，其中、為常數(shù)，且．特殊情況：當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為常值函數(shù)；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為正比例函數(shù)．2．二次函數(shù)的定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).它的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)．3．二次函數(shù)應(yīng)注意的問(wèn)題：（1）a、b、c三個(gè)系數(shù)中，必須保證，否則就不是二次函數(shù)了；而b、c兩數(shù)可以為0，如特殊形式：等．（2）由于二次函數(shù)的解析式是整式的形式，所以自變量的取值范圍是任意實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值0．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上x(chóng)=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上x(chóng)=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)直線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．簡(jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線(xiàn)有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線(xiàn)有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對(duì)二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號(hào)判斷常有些不知所措，這里介紹幾個(gè)口訣來(lái)幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開(kāi)口，看對(duì)稱(chēng)軸，看與y軸的交點(diǎn)位置，看與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．“四看”是對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識(shí)，而且這些判斷都可以通過(guò)圖象直接得到，同時(shí)還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點(diǎn)在a、b、c間的加減組合式中，最常見(jiàn)的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類(lèi)型的式子，這類(lèi)式子a、b、c三個(gè)字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時(shí)只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對(duì)應(yīng)的y的值時(shí)進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個(gè)字母只出現(xiàn)兩個(gè)間的組合時(shí)，這時(shí)對(duì)同學(xué)們來(lái)講難度是較大的，如何解決呢？其實(shí)我們只要想一想為什么會(huì)少一個(gè)字母，這個(gè)問(wèn)題就可以較好的解決．少一個(gè)字母的原因就是因?yàn)橛袑?duì)稱(chēng)軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對(duì)稱(chēng)軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對(duì)稱(chēng)軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a(bǔ)（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計(jì)算當(dāng)解題感到無(wú)從下手時(shí)，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及其圖象中特殊點(diǎn)的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開(kāi)口方向:當(dāng)時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上;當(dāng)時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下.(2)共同決定拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸位置:當(dāng)同號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè);當(dāng)異號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)(可以簡(jiǎn)稱(chēng)為“左同右異”);當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸.(3)決定與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo):當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn);當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù):當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸沒(méi)有交點(diǎn).(5)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線(xiàn)()的圖象是由拋物線(xiàn)()的圖象平移得到的.在平移時(shí)，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們?cè)诮鉀Q拋物線(xiàn)平移的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，首先需要化拋物線(xiàn)的解析式為頂點(diǎn)式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問(wèn)題，注意：(1)a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小.(2)理解并掌握平移的過(guò)程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；保持拋物線(xiàn)的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．知識(shí)點(diǎn)五：二次函數(shù)與一元二次方程1.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。2.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根。3.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒(méi)有實(shí)根。二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系有三種情況:①?zèng)]有公共點(diǎn);②有一個(gè)公共點(diǎn);③有兩個(gè)公共點(diǎn)，這對(duì)應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況:①有實(shí)數(shù)根，此時(shí)△＜0;②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)△=0;③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)△＞0.(2)解決函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般方法是函數(shù)解析式中所含字母的項(xiàng)的和為0時(shí)，則函數(shù)值不受字母的影響，據(jù)此可求圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).(3)拋物線(xiàn)中三角形面積的最值問(wèn)題，一般先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用其表示相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式來(lái)確定最值.在將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段的長(zhǎng)度時(shí)，要注意符號(hào)的轉(zhuǎn)換.知識(shí)點(diǎn)六：二次函數(shù)與不等式判別式拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無(wú)解△＜0全體實(shí)數(shù)無(wú)解知識(shí)點(diǎn)七：待定系數(shù)求解析式用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式，要根據(jù)具體已知條件靈活選擇解析式的三種表達(dá)形式:(1)已知三點(diǎn)坐標(biāo)，常設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為一般式;(2)已知頂點(diǎn)(或最值)，常設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為頂點(diǎn)式;(3)已知拋物線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，常設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為交點(diǎn)式.二次函數(shù)解析式的形式一般式：頂點(diǎn)式：交點(diǎn)式頂點(diǎn)在原點(diǎn)：過(guò)原點(diǎn)：頂點(diǎn)在y軸：求二次函數(shù)（a≠0）的最值的方法配方法：任意一個(gè)二次函數(shù)的一般式都可以配方成的形式若a＞0，當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)有最小值，且②若a＜0，當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)有最大值，且公式法：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），則若a＞0，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最小值，且若a＜0，當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)有最大值，且知識(shí)點(diǎn)八：二次函數(shù)的應(yīng)用1.審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)。2.設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確。3.列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)。4.按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題。5.檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問(wèn)題的答案。6.寫(xiě)出答案。題型一二次函數(shù)的概念、關(guān)系式與識(shí)別1．（23·24上·南通·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，一定為二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，是一次函數(shù)，不符合題意；B、，當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、，含有分式，不是二次函數(shù)，不符合題意；D、，是二次函數(shù)，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查判斷是否是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的定義：形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·營(yíng)口·階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的有（

）①②③④⑤A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】形如（是常數(shù)，且）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：①，當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)；②，等號(hào)右側(cè)不是整式，不是二次函數(shù)；③，是二次函數(shù)；④，不是二次函數(shù)，是一次函數(shù)；⑤，是二次函數(shù)．綜上所述，一定是二次函數(shù)的是③⑤，共計(jì)2個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是理解并掌握二次函數(shù)的定義．3．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）已知某種產(chǎn)品的成本價(jià)為30元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w（元），則w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用這種產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)等于每千克的銷(xiāo)售利潤(rùn)乘以每天的銷(xiāo)售量，即可得出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】解：根據(jù)題意得，，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（23·24上·合肥·階段練習(xí)）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度總值約為千億元人民幣，若我市第三季度總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第二季度總值為，第三季度為，得解；【詳解】解：第三季度總值為；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查增長(zhǎng)率問(wèn)題，理解固定增長(zhǎng)率下增長(zhǎng)一期、二期后的代數(shù)式表達(dá)是解題的關(guān)鍵．2．（22·23上·嘉興·期中）有下列函數(shù)：①y=5x4；②；③；④；⑤；其中屬于二次函數(shù)的是（填序號(hào)）．【答案】②④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：②y=；④y=﹣1符合二次函數(shù)的定義，屬于二次函數(shù)；①y=5x﹣4是一次函數(shù)，不屬于二次函數(shù)；③y=自變量的最高次數(shù)是3，不屬于二次函數(shù)；⑤y=的右邊不是整式，不屬于二次函數(shù)．綜上所述，其中屬于二次函數(shù)的是②④．故答案為：②④．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．3．（23·24上·渭南·階段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)，甲說(shuō)：此函數(shù)不一定是二次函數(shù)；乙說(shuō)：此函數(shù)一定是二次函數(shù)；丙說(shuō)：此函數(shù)是不是二次函數(shù)與的取值有關(guān)．你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？為什么？【答案】乙的說(shuō)法對(duì)，理由見(jiàn)解析【分析】將x的二次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行配方得到，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：乙的說(shuō)法對(duì)．理由如下：，無(wú)論取何值，，即有，所以，故無(wú)論取何值，該函數(shù)一定是二次函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．題型二根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)1．（23·24上·安陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù)是二次函數(shù)，則滿(mǎn)足的條件為（

）．A．為常數(shù)，且 B．為常數(shù)，且C． D．可以為任意實(shí)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可得到答案．【詳解】由二次函數(shù)的定義可得，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握(是常數(shù)，)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．2．（23·24上·廊坊·階段練習(xí)）如果函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值是(

)A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，函數(shù)中含x的項(xiàng)的最高次為2次，且其項(xiàng)系數(shù)不為零，據(jù)此即可作答．【詳解】根據(jù)題意有：，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義：一般地，形如(a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．掌握這個(gè)定義是解題的關(guān)鍵．3．（22·23上·滁州·階段練習(xí)）函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)的定義可知且然后可求得m的取值．【詳解】函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，且，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·荊州·階段練習(xí)）若是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴且，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，解答關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的一般形式．2．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則代數(shù)式的值為．【答案】2020【分析】先將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，然后求代數(shù)式的值即可得出結(jié)果．【詳解】解：將代入函數(shù)解析式得，，∴，∴．故答案為：2020．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是將點(diǎn)代入函數(shù)解析式得到有關(guān)m的代數(shù)式的值．3．（23·24上·襄陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若是一次函數(shù)，求的值；(2)若是二次函數(shù)，求的值滿(mǎn)足什么條件．【答案】(1)(2)且【分析】（1）由一次函數(shù)的定義求解可得；（2）由二次函數(shù)的定義求解可得．【詳解】（1）若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，則且，解得；（2）若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，則，解得且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．題型三特殊二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（22·23上·定西·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)有最大值，則a的值為（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義條件列出方程求解，再根據(jù)二次函數(shù)有最大值就說(shuō)明圖象開(kāi)口向下，，分別解得即可．【詳解】解：由二次函數(shù)定義可知，解得，∵二次函數(shù)有最大值，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義及二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（22·23上·武漢·階段練習(xí)）已知：是二次函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或2【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義以及性質(zhì)，求解即可；【詳解】∵是二次函數(shù)，∴，解得m＝1或m＝﹣2，∵當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，即m+1＜0，∴m＜﹣1，∴m＝﹣2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義以及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用二次函數(shù)的定義以及性質(zhì)．3．（20·21上·黔西·期中）已知二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖象開(kāi)口向上 B．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) D．有最大值，為－3【答案】D【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)的定義得到解方程求出m的值，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)判斷開(kāi)口方向，根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸以及最大值．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴，解得：，∴，∴二次函數(shù)，∵，∴圖象開(kāi)口向下，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵圖象開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴有最大值，為－3，∴D選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．鞏固訓(xùn)練1．（22·23上·唐山·階段練習(xí)）若是二次函數(shù)，最大值為0，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義（形如，為常數(shù)，且的函數(shù)叫做二次函數(shù)）可得，由最大值為0，可得，由此即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（21·22上·青島·階段練習(xí)）若是二次函數(shù)，且圖象的開(kāi)口向下，則m的值為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，令m2?3＝2，求m的值，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，則二次項(xiàng)系數(shù)2?m＜0，確定m的值．【詳解】解：∵已知函數(shù)為二次函數(shù)，∴m2?3＝2，解得m＝?或，當(dāng)m＝時(shí)，2?m＝2?＜0，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，當(dāng)m＝?時(shí)，2?m＝2＋＞0，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，不符合題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義及性質(zhì)．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，a≠0，自變量最高次數(shù)為2．當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下．3．（22·23上·周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：(1)滿(mǎn)足條件m的值．(2)m為何值時(shí)，拋物線(xiàn)有最低點(diǎn)？求出這個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)，這時(shí)x為何值時(shí)y隨x的增大而增大？(3)m為何值時(shí)，拋物線(xiàn)有最大值？最大值是多少？這時(shí)x為何值時(shí)，y隨x的增大而減小．【答案】(1)2或(2)當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大(3)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值是0，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義可求得m的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)有最低點(diǎn)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定頂點(diǎn)坐標(biāo)和增減性；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最大值和增減性．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得且，解得，，所以滿(mǎn)足條件的m值為2或．（2）解：當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)有最低點(diǎn)，所以，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為，所以?huà)佄锞€(xiàn)的最低點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．（3）解：當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值；此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為，所以二次函數(shù)的最大值是0，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義和二次函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵是要注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為零．題型四y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)1．（23·24上·福州·期中）已知拋物線(xiàn)，則下列描述不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，先化為頂點(diǎn)式，找到對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，即可求解．【詳解】解：，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．故A選項(xiàng)不正確，故選：A．2．（21·22上·武漢·期末）已知二次函數(shù)(a為常數(shù)，且)的圖象上有三點(diǎn)則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∵，∴函數(shù)圖象開(kāi)口向上，∵，點(diǎn)在二次函數(shù)(a為常數(shù)，且)的圖象上，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（23·24上·邢臺(tái)·期中）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列判斷正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，，故A選項(xiàng)不符合題意；∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，，故B選項(xiàng)不符合題意；∵拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)不符合題意；∵拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·合肥·期中）已知二次函數(shù)（其中x是自變量），當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y均為正數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；首先根據(jù)題意求出對(duì)稱(chēng)軸，然后分兩種情況：和，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，分兩種情況討論．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，∴此時(shí)拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴，∴解得；當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，∴解得：，∴，∴綜上所述，當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為或．故選：D．2．（23·24上·新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，若點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】先畫(huà)出二次函數(shù)圖像，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交軸與點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)就是的最小值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)先求出，的坐標(biāo)，從而得出，的坐標(biāo)，得出，的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出結(jié)果．【詳解】解：二次函數(shù)圖像如下，過(guò)點(diǎn)根據(jù)作軸于點(diǎn)，取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交軸與點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)就是的最小值，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)中的線(xiàn)段最值和定值問(wèn)題，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（23·24上·密云·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和在二次函數(shù)的圖象上，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為．(1)當(dāng)時(shí)，求b的值；(2)若，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分別求出當(dāng)和時(shí)的函數(shù)值，再根據(jù)建立關(guān)于b的方程即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)，即可求出對(duì)稱(chēng)軸的取值范圍．【詳解】（1）解：將點(diǎn)和代入二次函數(shù)中，得：，當(dāng)時(shí)，則，解得：；（2）解：，，，解得：，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握拋物線(xiàn)上的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型五二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)1．（23·24上·汕頭·期中）二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是（

）A．②③④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由圖可得，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱(chēng)軸為，∴，，∴，即，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，故②正確；由圖可得，當(dāng)時(shí)，，把代入解析式得，，∴，故③正確；把代入解析式得，，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，∴，故④錯(cuò)誤；由圖象可得，拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，故⑤正確；故選：C．2．（23·24上·江北·期中）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，；⑤．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由題意可知二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，即可得出與的等量關(guān)系，據(jù)此即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是∴，解得：①二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，∴，∴，，∴，故①正確；②，故②正確；③由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；即，故③錯(cuò)誤；④由圖象可知：當(dāng)時(shí)，，故④正確；⑤，∴，故⑤正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．得出的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．3．（23·24上·徐州·期中）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論∶①；②；③方程的兩個(gè)根是；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。渲姓_結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：∵二次函數(shù)的開(kāi)口向下，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，即，∵二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，故②正確；∵拋物線(xiàn)與與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴拋物線(xiàn)與與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴方程的兩個(gè)根是，故③正確；∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，④正確，∴正確的個(gè)數(shù)為4．故選：D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口確定以及對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，可確定a，b，再根據(jù)拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，可判斷c，從而判斷①；把代入，可判斷②；根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可求出拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的增減性可以判定④．鞏固訓(xùn)練1．（21·22下·恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線(xiàn)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（包含端點(diǎn)），頂點(diǎn)坐標(biāo)為．以下判斷：①當(dāng)時(shí)，；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】①由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，一個(gè)交點(diǎn)，得到另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象即可對(duì)于選項(xiàng)①作出判斷；②根據(jù)拋物線(xiàn)開(kāi)口方向判定a的符號(hào)，由對(duì)稱(chēng)軸方程求得b與a的關(guān)系是，將其代入，并判定其符號(hào)；③利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后根據(jù)c的的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來(lái)求a的取值范圍；④把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到，利用c的取值范圍可以求得n的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)是，∵拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，∴該拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是，觀(guān)察圖象得：當(dāng)時(shí)，，故①正確；觀(guān)察圖象得：拋物線(xiàn)開(kāi)口方向向下，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸，∴，∴，即，故②錯(cuò)誤；∵拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，，∴方程的兩根為，3，∴，即，∵拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在、之間（包含端點(diǎn)），∴，∴，即，故③正確；∵，，∴，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴，即，故④正確；綜上所述，正確的有①③④，共3個(gè)．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的系數(shù)符號(hào)由拋物線(xiàn)開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·珠?！て谥校┤鐖D，二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）【答案】②④/④②【分析】由圖像可知開(kāi)口向下，與y軸的交點(diǎn)位于1和2之間，從而得出，．結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸為和對(duì)稱(chēng)軸公式可得出，，即可判斷①②；又可知，即得出，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得出，根據(jù)a和b的關(guān)系即得出可判斷③；根據(jù)圖像可知當(dāng)時(shí)，，結(jié)合a和b的關(guān)系即得出可判斷④．【詳解】解：由圖像可知拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，與y軸的交點(diǎn)位于x軸上方，∴，．∵對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，∴，∴，，故②正確；∴，故①錯(cuò)誤；由圖像可知拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)位于1和2之間，∴．∵，∴，兩邊都乘以，得：．∵，∴，∴，即，∴，故③錯(cuò)誤；由圖像可知當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故④正確．故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查利用二次函數(shù)的圖像判斷代數(shù)式的符號(hào)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（22·23上·蚌埠·階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的圖象如圖所示．(1)判斷、、及的符號(hào)；(2)求的值；(3)給出下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的有．（填序號(hào)）【答案】(1)，，，；(2)；(3)①③【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系求解，即可得到答案；（2）由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，代入即可得到答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)求解，即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，、異號(hào)，，拋物線(xiàn)與y軸負(fù)半軸相交，，當(dāng)時(shí)，，；（2）解：由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，；（3）解：由（1）可知，，，，①結(jié)論正確；，，，，，，②結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，③結(jié)論正確；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型六一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷1．（22·23上·六安·期中）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象推出，再根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，且與y軸交于負(fù)半軸，∴，∴，∴一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、四象限，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的綜合判斷，熟知三個(gè)函數(shù)圖象與其對(duì)應(yīng)的系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（22·23上·連云港·階段練習(xí)）函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)排除A、C，然后根據(jù)函數(shù)圖象得到的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：由函數(shù)可知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，故A、C不合題意；B、由拋物線(xiàn)可知，，由雙曲線(xiàn)可知，，故B不合題意；D、由拋物線(xiàn)可知，，由雙曲線(xiàn)可知，，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟記反比例函數(shù)與二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（23·24上·濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，（如圖所示），則能使成立的x的取值范圍是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖像寫(xiě)出拋物線(xiàn)在直線(xiàn)上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】∵二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，∴能使成立的x的取值范圍是或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖象法解不等式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（22·23下·德州·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，得，與軸交于正半軸，得，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸可得，從而得到一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，即可得到答案．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，與軸交于負(fù)半軸，，，又觀(guān)察二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，只有選項(xiàng)D圖象符合，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到，，，是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·合肥·階段練習(xí)）如圖，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則不等式的解集是．【答案】【分析】首先確定兩個(gè)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再判斷圖象的位置，當(dāng)直線(xiàn)在拋物線(xiàn)下方時(shí)，一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值，即可求出不等式的解集．【詳解】解：觀(guān)察圖象可知當(dāng)和時(shí)，，在交點(diǎn)之間時(shí)，一次函數(shù)的圖象在拋物線(xiàn)下方，即，∴不等式的解集是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)求不等式的解集，確定圖象之間的位置關(guān)系可得出函數(shù)值的大?。?．（23·24上·廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，圖象與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），完成以下的探究(1)畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；x……y……(2)若點(diǎn)C為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且的面積為6，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)當(dāng)平面內(nèi)的直線(xiàn)與這個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或(3)或【分析】（1）列表，描點(diǎn)，連線(xiàn)即可；（2）根據(jù)三角形面積公式以及的長(zhǎng)度，求出高，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再代入中求出相應(yīng)橫坐標(biāo)即可；（3）首先判斷出過(guò)定點(diǎn)，畫(huà)出相應(yīng)圖象，根據(jù)交點(diǎn)為3個(gè)找到準(zhǔn)確位置求出相應(yīng)k值即可．【詳解】（1）解：列表：x…01234…y…60206…如圖所示：（2）∵，的面積為6，∴，則，在中，令，則，解得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或；（3）在中，令，則，即直線(xiàn)必定經(jīng)過(guò)；如圖，直線(xiàn)和都經(jīng)過(guò)，其中直線(xiàn)與拋物線(xiàn)開(kāi)口向下的部分只有一個(gè)交點(diǎn)，則令，整理得：，，解得：；直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，則，解得：；如圖，直線(xiàn)和也同樣滿(mǎn)足，同理可得：或；綜上：k的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫(huà)函數(shù)圖象，三角形的面積，二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問(wèn)題．題型七二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性1．（23·24上·東莞·期中）二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，方程的解為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的兩個(gè)根．熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，而拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以?huà)佄锞€(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，所以方程的解為：．故選：B．2．（23·24上·武漢·期中）已知拋物線(xiàn)（為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．先求出，可得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，再根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合，可得，然后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴拋物線(xiàn)解析式為，∵拋物線(xiàn)（為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，∴，即，∴，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，故選：B3．（23·24上·南通·階段練習(xí)）若二次函數(shù)的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則當(dāng)時(shí)，y的值為（

）xy353A．5 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)表格找到函數(shù)值相同的兩個(gè)自變量的值，確定出對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由表格可知：和的函數(shù)值相同，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，∴和的函數(shù)值相同，為；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)確定拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）坐標(biāo)平面上有兩個(gè)二次函數(shù)的圖形，其頂點(diǎn)、皆在軸上，且有一水平線(xiàn)與兩圖形相交于、、、四點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示，若，，，則的長(zhǎng)度為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，，，∴設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，∵點(diǎn)P，Q分別為兩條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，求出點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)．2．（23·24上·?？凇るA段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)，連接和，則的最小值是．【答案】【分析】作點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，可得，由此可解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接，連接交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則，令，解得，，．令，則，．又拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，．，的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，線(xiàn)段的最值問(wèn)題，兩點(diǎn)間距離公式等，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性．3．（23·24上·龍巖·階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，我們就把直線(xiàn)稱(chēng)為這條拋物線(xiàn)的極限分割線(xiàn)．(1)拋物線(xiàn)的極限分割線(xiàn)與這條拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，它的極限分割線(xiàn)與該拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)極限分割線(xiàn)的定義，得到拋物線(xiàn)的極限分割線(xiàn)，再根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，即可解答；（2）將代入拋物線(xiàn)，得到的關(guān)系，再利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，即可解答．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)，極限分割線(xiàn)為，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，極限分割線(xiàn)與這條拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：，；（2）解：拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型八待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（23·24上·昆明·階段練習(xí)）若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該拋物線(xiàn)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，將點(diǎn)代入，即可求解．【詳解】解：設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，將點(diǎn)代入，得解得：∴解析式為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·邯鄲·期中）已知頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，此拋物線(xiàn)的表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后將代入，可求得a的值．【詳解】解：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，則設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，把代入，得，解得，故這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)正確設(shè)出二次函數(shù)的表達(dá)式．3．（21·22上·武漢·期中）將二次函數(shù)的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到的圖象的解析式為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出原來(lái)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，開(kāi)口方向發(fā)生變化，但開(kāi)口大小不變，即可求解．【詳解】解：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，所得到的圖象的解析式為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求得旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·珠海·期中）若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且拋物線(xiàn)過(guò)，則二次函數(shù)的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，再將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得，解得，所以該二次函數(shù)的解析式為．故選：A；【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．2．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象的解析式是．【答案】【分析】先找出拋物線(xiàn)上三個(gè)點(diǎn)，再求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入所設(shè)新拋物線(xiàn)的方程即可解答．【詳解】解：從拋物線(xiàn)上找三個(gè)點(diǎn)，，．它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是，，．設(shè)新函數(shù)的解析式為，則，解得．故所求解析式為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，得到所求拋物線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)是原拋物線(xiàn)上的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．3．（23·24上·張家口·期中）如圖二次函數(shù)的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，點(diǎn)B的坐標(biāo)是．(2)在x軸是否存在一點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】(1)(2)存在這樣的點(diǎn)P使得是等腰三角形，且坐標(biāo)分別為，，，【分析】（1）把，點(diǎn)分別代入解析式，計(jì)算即可．（2）根據(jù)等腰三角形的定義，分點(diǎn)P在x軸的正半軸和負(fù)半軸兩種情況求解即可．【詳解】（1）把，點(diǎn)分別代入解析式，得，解得，故拋物線(xiàn)的解析式為，令，得，解得，故點(diǎn)，故答案為：．（2）存在這樣的點(diǎn)P使得是等腰三角形，且坐標(biāo)分別為，，，．理由如下：∵點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，∴，當(dāng)點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸，且時(shí)，故點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在x軸的正半軸，且時(shí)，故點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在x軸的正半軸，且時(shí)，，故點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在x軸的正半軸，且時(shí)，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，故點(diǎn)；故存在這樣的點(diǎn)P使得是等腰三角形，且坐標(biāo)分別為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，等腰三角形的分類(lèi)計(jì)算，勾股定理，解方程，熟練掌握待定系數(shù)法，勾股定理，分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵．題型九二次函數(shù)的平移問(wèn)題1．（23·24上·慶陽(yáng)·期中）將拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)平移得到拋物線(xiàn)，平移過(guò)程正確的是(

)A．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度C．向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【分析】將拋物線(xiàn)寫(xiě)為頂點(diǎn)式，通過(guò)點(diǎn)的平移得到拋物線(xiàn)的平移，本題主要考查了二次函數(shù)圖像的變換．【詳解】解：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，則點(diǎn)到點(diǎn)為向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，那么拋物線(xiàn)也為向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度．故選：A．2．（23·24上·福州·期中）將拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的拋物線(xiàn)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】將拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線(xiàn)的解析式是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．3．（23·24上·濟(jì)寧·階段練習(xí)）將拋物線(xiàn)先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：將拋物線(xiàn)先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式是：，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·安陽(yáng)·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則，的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，根據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得原拋物線(xiàn)的解析式，展開(kāi)即可得到，的值．【詳解】由題意可得新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，∴原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，設(shè)原拋物線(xiàn)的解析式為,代入得：，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線(xiàn)平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)的值，兩個(gè)二次函數(shù)的圖象的平移問(wèn)題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可．2．（23·24上·周口·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，現(xiàn)將拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)，則陰影部分的面積是．【答案】4【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線(xiàn)的性質(zhì)得出陰影部分的面積即可．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴陰影部分的高為2，又∵拋物線(xiàn)向右平移了2個(gè)單位，∴陰影部分的面積．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（23·24上·普陀·期中）已知拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)記作點(diǎn)P．(1)求此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)將拋物線(xiàn)向左平移m（）個(gè)單位，使其頂點(diǎn)落在直線(xiàn)上，求平移后新拋物線(xiàn)的表達(dá)式．【答案】(1)此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為；(2)平移后新拋物線(xiàn)的表達(dá)式為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得拋物線(xiàn)的表達(dá)式，再配成頂點(diǎn)式，即可求解；（2）利用二次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得，解得，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，∴此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）解：由題意得平移后的拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵頂點(diǎn)落在直線(xiàn)上，∴，解得，∴平移后新拋物線(xiàn)的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型十y=ax2+bx+c的最值1．（23·24上·石景山·期中）求二次函數(shù)的最小值（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，由此即可得到答案．【詳解】解：，，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，的值最小為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式是解此題的關(guān)鍵．2．（23·24上·廣安·階段練習(xí)）二次函數(shù)在范圍內(nèi)的最大值為（

）A．25 B．30 C．36 D．40【答案】C【分析】將函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定函數(shù)的最小值，再分別計(jì)算時(shí)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，得到函數(shù)值的范圍即可．【詳解】解：∵，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)拋物線(xiàn)有最小值0，∵時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在時(shí)，，即最大值為36，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，已知自變量的值求函數(shù)值，正確理解函數(shù)的開(kāi)口方向確定最值是解題的關(guān)鍵．3．（23·24上·邢臺(tái)·期中）已知關(guān)于的二次函數(shù)，在的取值范圍內(nèi)，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)有最大值 B．函數(shù)有最大值5C．函數(shù)沒(méi)有最小值 D．函數(shù)沒(méi)有最大值【答案】B【分析】先求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∵，開(kāi)口向下，在的取值范圍內(nèi)，又，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，觀(guān)察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)B符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的最值問(wèn)題．理解二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象（）如圖，關(guān)于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有最小值，無(wú)最大值 B．有最小值，有最大值C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值【答案】C【分析】根據(jù)圖象及的取值范圍，求出最大值和最小值即可．【詳解】解：根據(jù)圖象及的取值范圍，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)，取最大值為，該函數(shù)有最小值，有最大值，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是要能根據(jù)圖象確定函數(shù)的最大值和最小值，函數(shù)所對(duì)的最低點(diǎn)的值為最小值，最高點(diǎn)的值為最大值．2．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是．【答案】【分析】先將該函數(shù)的表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，得出當(dāng)時(shí)，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：∵，，∴當(dāng)時(shí)，y有最小值2，把代入得：，解得：，∵當(dāng)時(shí)，有最大值3，最小值2，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和增減性，以及求二次函數(shù)的最值的方法．3．（22·23下·西安·期末）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)求線(xiàn)段的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)，利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式為，由軸，可得，從而可得，即可求解．【詳解】（1）解：把、代入，得，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為；（2）解：設(shè)，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，代入點(diǎn)、，得，解得，∴直線(xiàn)的解析式為，∵軸，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．題型十一二次函數(shù)與一元二次方程1．（23·24上·南通·期中）已知二次函數(shù)的變量x，y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…01…y…12…根據(jù)表中信息，可得一元二次方程的一個(gè)近似解的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表格可知隨著x的增大，的值逐漸增大，在和時(shí)函數(shù)值由負(fù)數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，即可得到方程的一個(gè)近似解的范圍．【詳解】解：觀(guān)察表格可知，隨著x的增大，的值逐漸增大，在和時(shí)函數(shù)值由負(fù)數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，∴一元二次方程的一個(gè)近似解在和之間，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·津南·期中）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【詳解】本題主要考查了根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)求一元二次方程的解，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得另一交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．先求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，再求出二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系進(jìn)行即可解答．【分析】解：∵二次函數(shù)解析式為,∴二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∵二次函數(shù)的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，∴二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是，∴方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，．故選：A．3．（2022下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線(xiàn)解析式知對(duì)稱(chēng)軸，與x軸交于點(diǎn)，設(shè)另一交點(diǎn)為，可求得．于是的解是．【詳解】解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，與x軸交于點(diǎn)，設(shè)另一交點(diǎn)為，∴，得．于是的解是；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系；理解函數(shù)與方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·淮北·階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)（）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】由頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，解得，，，根據(jù)一元二次方程根的判別式，判斷作答即可．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)（）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，解得，，，∵，∴，∴，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，一元二次方程根的判別．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．（23·24上·南通·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào)，則m的取值范圍是．【答案】【分析】可得，令，可得一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào)，就是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào)，據(jù)此結(jié)合圖象即可求解．【詳解】解：由得，令，一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào)，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào)，如圖，由圖可得：拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)在軸上方時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào)，解得：；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)中數(shù)形結(jié)合能力，利用二次函數(shù)圖象根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)的取值范圍，掌握解法是解題的關(guān)鍵．3．（23·24上·廣州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，求出y與m的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，若時(shí)，求y的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）只要證明方程的判別式即可；（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解答即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵方程的判別式，∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，∴，，∴；∴y與m的函數(shù)關(guān)系式是；（3）∵，∴此拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∵∴當(dāng)時(shí)，y取得最小值，當(dāng)時(shí)，y取得最大值是，∴y的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型十二二次函數(shù)與不等式1．（23·24上·延慶·期中）二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方部分的x的取值范圍即可．【詳解】由圖可知，或時(shí)二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方，所以，滿(mǎn)足的x的取值范圍是或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類(lèi)題目，數(shù)形結(jié)合準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．2．（22·23上·金昌·期中）如圖所示：已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，則不等式的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖像寫(xiě)出拋物線(xiàn)在直線(xiàn)上方部分的x的取值范圍即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，，∴能使成立的x的取值范圍是或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖象法解不等式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（23·24上·臨沂·階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)、，請(qǐng)你根據(jù)圖象寫(xiě)出使成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】圖象法，找到直線(xiàn)在拋物線(xiàn)上方時(shí)，的取值范圍即可．【詳解】解：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)在拋物線(xiàn)的上方，∴使成立的的取值范圍是；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圖象法求不等式的解集．正確的識(shí)圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（22·23下·福州·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．則如下四個(gè)值中有可能為m的是(

)A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】由時(shí)，x的取值范圍為或，可得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，從而可得b與a的關(guān)系，將代入二次函數(shù)解析式，用含a的代數(shù)式表示m，求出m的范圍，進(jìn)而求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或，∴為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴四個(gè)值中有可能為m的是4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．2（22·23下·六安·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)：．（1）該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是；（2）若，，為拋物線(xiàn)上三點(diǎn)，且總有，結(jié)合圖象，則m的取值范圍是；【答案】直線(xiàn)【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)代入即可求解；（2）由拋物線(xiàn)解析式可得拋物線(xiàn)開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸，分類(lèi)討論與，由兩點(diǎn)中點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系求解．【詳解】解：（1）拋物線(xiàn)：，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)；故答案為：直線(xiàn)；（2）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，，，即，解得，，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（23·24上·杭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，（為常數(shù)且）(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)中的其中一個(gè)點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時(shí)，判斷與的大小并說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線(xiàn)解析式為(2)①，；②，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①由函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，推出當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)；②設(shè)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，當(dāng)時(shí)，，則拋物線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則不能過(guò)，把代入得，，解得，∴拋物線(xiàn)解析式為；（2）解：①函數(shù)，該函數(shù)恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∵函數(shù)、的圖象始終經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)M，當(dāng)時(shí)，，由（1）可得，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)都過(guò)定點(diǎn)，②∵，，設(shè)，令，∴或，∵，故函數(shù)y開(kāi)口向上，則當(dāng)時(shí)，，即．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．題型十三二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題11．（23·24上·廣安·階段練習(xí)）2022年北京某零售店“冰墩墩”的銷(xiāo)售日益火爆，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元．銷(xiāo)售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，銷(xiāo)售單價(jià)每降價(jià)1元，每天銷(xiāo)量增加20個(gè)．現(xiàn)商家決定降價(jià)銷(xiāo)售，每個(gè)降價(jià)x元（）．設(shè)每天銷(xiāo)售量為y個(gè)，每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w元，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)每天銷(xiāo)售量為個(gè)，每個(gè)降價(jià)x元（），商家每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可求解．【詳解】解：設(shè)每天銷(xiāo)售量為個(gè)，每個(gè)降價(jià)x元（），商家每天銷(xiāo)售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)元，根據(jù)題意得，則，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·亳州·階段練習(xí)）某商店經(jīng)營(yíng)襯衫，已知所獲利潤(rùn)(元)與銷(xiāo)售的單價(jià)(元)之間滿(mǎn)足表達(dá)式，則所獲利潤(rùn)最多為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以，當(dāng)時(shí)，可以取得最大值．【詳解】二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以，當(dāng)時(shí)，可以取得最大值，即．所以，所獲利潤(rùn)最多為元．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)，牢記二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（22·23下·安慶·期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來(lái)勢(shì)洶洶，為了更好地讓顧客做好防護(hù)，某商場(chǎng)銷(xiāo)售一款升級(jí)版的KN95口罩，市場(chǎng)信息顯示，銷(xiāo)售這種口罩，每天所獲的利潤(rùn)y（元）與售價(jià)x（元/個(gè)）之間關(guān)系式滿(mǎn)足，第一天將售價(jià)定為16元/個(gè)，當(dāng)天獲利132元，第二天將售價(jià)定為20元/個(gè)，當(dāng)天獲利180元．則這種口罩的成本價(jià)是多少元/個(gè)？（單位利潤(rùn)=售價(jià)?成本價(jià)）（

）A．10 B．12 C．14 D．15【答案】A【分析】根據(jù)題意列方程組求出二次函數(shù)的解析式，再列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，代入中，得，解得：，∴，當(dāng)每天利潤(rùn)為0元時(shí)，售價(jià)即為成本價(jià)．令，解得：，由題意可知38不符合條件，∴，∴這種口罩的成本價(jià)是10元/個(gè)；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·河?xùn)|·期中）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．有下列結(jié)論：①降價(jià)8元時(shí)，數(shù)量為36件．②若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元．③商場(chǎng)平均每天盈利最多為1250元．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件列出算式計(jì)算即可判斷①；設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，則每天多銷(xiāo)售件，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可判斷②；設(shè)商場(chǎng)每天的盈利為元，根據(jù)題意得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，降價(jià)8元時(shí)，每天售出的件數(shù)為：（件），故①正確，符合題意；設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，則每天多銷(xiāo)售件，由題意得：，整理得：，解得：，，盡快減少庫(kù)存，，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元，故②錯(cuò)誤，不符合題意；設(shè)商場(chǎng)每天的盈利為元，由題意得：，，當(dāng)時(shí)，最大為元，故③正確，符合題意；綜上所述，正確的有①③，共2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出算式、一元二次方程以及二次函數(shù)是解此題的關(guān)鍵．2．（22·23上·全國(guó)·單元測(cè)試）某超市銷(xiāo)售一款洗手液，其成本價(jià)為每瓶元，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為元時(shí)，每天可售出80瓶．根據(jù)市場(chǎng)行情，現(xiàn)決定降價(jià)銷(xiāo)售．市場(chǎng)調(diào)查反映：銷(xiāo)售單價(jià)每降低元，則每天可多售出20瓶（銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)），若設(shè)這款的銷(xiāo)售單價(jià)為x（元），每天的銷(xiāo)售量為（瓶）．（1）每天的銷(xiāo)售量y（瓶）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）銷(xiāo)售這款“洗手液”每天的最大利潤(rùn)為．【答案】360元【分析】（1）根據(jù)銷(xiāo)售單價(jià)每降低元，則每天可多售出20瓶（銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)），列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）解：由題意，得：；故答案為：；（2）設(shè)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，則有：，∵，∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，∵，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為360元．故答案為：360元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）第十九屆亞運(yùn)會(huì)在杭州隆重舉辦，政府鼓勵(lì)全民加強(qiáng)體育鍛煉，李明在政府的扶持下投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件50元的乒乓球拍．銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：．(1)設(shè)月利潤(rùn)為W（元），求W關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)銷(xiāo)售單價(jià)定為每件多少元時(shí)，所得月利潤(rùn)最大？最大月利潤(rùn)為多少元？(3)若物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種乒乓球拍的銷(xiāo)售單價(jià)不得超過(guò)75元，李明想使獲得的月利潤(rùn)不低于3000元，求銷(xiāo)售單價(jià)x的取值范圍．【答案】(1)(2)70，4000(3)【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)每件的利潤(rùn)銷(xiāo)售數(shù)量，列出關(guān)系式即可；（2）由（1）得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決即可；（3）根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意每月銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系：，根據(jù)利潤(rùn)每件的利潤(rùn)銷(xiāo)售數(shù)量得：，；（2）解：由（1）得，銷(xiāo)售單價(jià)定為每件70元時(shí)，所得月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為4000元；（3）解：由（1）得，當(dāng)時(shí)，即，整理得：，解得：，，，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，獲得的月利潤(rùn)不低于3000元，，銷(xiāo)售單價(jià)不得超過(guò)75元，．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查拋物線(xiàn)的基本性質(zhì)，另外將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，從而來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．題型十四二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題21．（22·23下·南通·一模）如圖1，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x，，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大長(zhǎng)度是，則矩形的面積是（

）A．20 B．16 C． D．【答案】A【分析】由題意可知，易證，可得，根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性可得在中點(diǎn)時(shí)，有最大值，列出方程式即可解題．【詳解】解：若點(diǎn)在上時(shí)，如圖，，，，在和中，，，∴，由二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性可得在中點(diǎn)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，即，，當(dāng)時(shí)，代入方程式解得：(舍去)，，，，，矩形的面積為；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了矩形面積的計(jì)算，本題中由圖象得出為中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測(cè)）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線(xiàn)形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線(xiàn)的解析式為；③池塘最深處到水面的距離為；④若池塘中水面的寬度減少為原來(lái)的一半，則最深處到水面的距離減少為原來(lái)的．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)圖象可以判斷①；設(shè)出池底所在拋物線(xiàn)的解析式為，再把代入解析式求出即可判斷②；把代入解析式求出，再用即可判斷③；把代入解析式即可判斷④．【詳解】解：①觀(guān)察圖形可知，，故①正確；②設(shè)池底所在拋物線(xiàn)的解析式為，將代入，可得，故拋物線(xiàn)的解析式為；故②正確；③，當(dāng)時(shí)，，故池塘最深處到水面的距離為，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)池塘中水面的寬度減少為原來(lái)的一半，即水面寬度為12時(shí)，將代入，得，可知此時(shí)最深處到水面的距離為，即為原來(lái)的，故④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．3．（23·24上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某市公園欲修建一個(gè)圓型噴泉池，在水池中垂直于地面安裝一個(gè)柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線(xiàn)路徑落下，在過(guò)的任一平面上，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示），水平距離與水流噴出的高度之間的關(guān)系式為，則水流噴出的最大高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將配方成頂點(diǎn)式求解即可．【詳解】∴當(dāng)時(shí)，y取得最大值4，∴水流噴出的最大高度是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．鞏固訓(xùn)練1．（2