浙江省杭州市及周邊重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫(xiě)班級(jí)、考試號(hào)和姓名；3.所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題即可得答案.【詳解】解：命題“，”的否定為：，.故選：B.2.小明有50元錢(qián)去買(mǎi)水果，他發(fā)現(xiàn)如果買(mǎi)1kg陽(yáng)光玫瑰和750g涌泉密桔則錢(qián)不夠，若買(mǎi)陽(yáng)光玫瑰和400g涌泉蜜桔則錢(qián)有余，設(shè)800g陽(yáng)光玫瑰與涌泉蜜桔的價(jià)格分別為，（單位：元），則（）A. B. C. D.，大小無(wú)法比較【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為根據(jù)約束條件作出可行域，然后采用平移直線法求解出目標(biāo)函數(shù)的最大值，可得答案.【詳解】設(shè)每千克陽(yáng)光玫瑰元，每千克涌泉密桔元，根據(jù)提可得，，作出可行域，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)有最大值，由解得，所以，由于點(diǎn)不滿足，所以.故選：A.3.下列方程中不能用二分法求近似解的為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用二分法的定義一一判定即可.【詳解】根據(jù)二分法的要求，在上，有才能用二分法，對(duì)于A，顯然在定義域上單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在定義域上連續(xù)，有，可以使用二分法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在定義域上連續(xù)，且有，可以使用二分法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，且只有一個(gè)零點(diǎn)，故不可以使用二分法，故D正確.故選：D4.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，設(shè)，，計(jì)算得到答案.【詳解】，設(shè)，則，故函數(shù)的值域?yàn)?故選：C5.函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由排除D；由排除C；由排除B，即得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，，故排除D；又因?yàn)?，，故排除C；又因?yàn)椋?，所以，即，符合題意的只有A，故排除B.故選：A.6.已知集合，集合，則“且”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因?yàn)榧?，集合，且，所以且，反之也成立，故選：C7.已知且，則的最小值為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】變換，代入計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，，，，，解得，即，故.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故選：B8.已知，若滿足，則取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)圖像，，設(shè)，得到，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示，設(shè)，則，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知集合，，則（）A.集合有8個(gè)子集 B.集合中有6個(gè)元素C. D.【答案】AC【解析】【分析】求出集合的子集判斷A，求出集合判斷B，并集運(yùn)算判斷C，根據(jù)集合關(guān)系判斷D.【詳解】集合的子集為：共8個(gè)，所以選項(xiàng)A正確；由集合，所以，所以集合中有5個(gè)元素，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由及知，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)椋?，所以不成立，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.一元二次不等式的解集為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)確定且，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】不等式的解集為，故且，即，對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，正確.故選：ACD11.已知，，，則下列不等式可能成立為（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】AB選項(xiàng)，可舉出實(shí)例；CD選項(xiàng)，由得到，從而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到，故，D錯(cuò)誤，不妨設(shè)，比較出，，C正確.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，，，則，A正確；B選項(xiàng)，若，則，，，則，B正確；CD選項(xiàng)，由定義域可知，，故成立時(shí)，則必有，此時(shí)，由于，故在上單調(diào)遞增，故，又在R上單調(diào)遞減，故，故，即，所以，D錯(cuò)誤，下面比較與的大小，不妨設(shè)，此時(shí)，因?yàn)?，所以，故，故，又，因?yàn)椋?，滿足，則成立，C正確；故選：ABC【點(diǎn)睛】比較指數(shù)式，對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系，需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用中間值比較，或畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.12.已知定義在上的函數(shù)的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，且關(guān)于點(diǎn)與對(duì)稱，則（）A.存在非零實(shí)數(shù)使 B.函數(shù)必存零點(diǎn)C.存在實(shí)數(shù)使 D.存在實(shí)數(shù)使【答案】BC【解析】【分析】確定函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，舉反例得到AD錯(cuò)誤，取兩點(diǎn)確定對(duì)稱點(diǎn)在軸上下，B正確，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性得到C正確，得到答案.【詳解】函數(shù)圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，且關(guān)于點(diǎn)與對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故關(guān)于直線對(duì)稱對(duì)選項(xiàng)A：取，滿足條件，不是周期函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：取，，關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在軸上方；取，，關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在軸下方；函數(shù)連續(xù)，故函數(shù)必存零點(diǎn)，正確；對(duì)選項(xiàng)C：取上一點(diǎn)，若，成立，若，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，兩點(diǎn)在異側(cè)，函數(shù)連續(xù)，故存在實(shí)數(shù)使，正確；對(duì)選項(xiàng)D：取，滿足條件，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，錯(cuò)誤；故選：BC.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而求解得或，進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的定義驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋环项}意；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，符合題意.綜上所述，.故答案為：.14.計(jì)算：________.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：15.已知定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知把換成，建立方程組求解.【詳解】因?yàn)椋褤Q成有：，聯(lián)立，解得.故答案為：16.已知實(shí)數(shù)，滿足，，則________.【答案】4【解析】【分析】構(gòu)造同源函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得解.【詳解】由，得，即，即又，即，設(shè)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，即，所以，所以，故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，.（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)不等式為，根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；（2）先求得集合，再根據(jù)包含關(guān)系求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，即，化簡(jiǎn)得，即，所以.【小問(wèn)2詳解】由，即或，即或，所以或，由，得或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知，是方程的實(shí)數(shù)解.（1）若，，求的最小值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式求解即可；（2）利用不等式的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】由是方程的實(shí)數(shù)解得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取到最小值5.【小問(wèn)2詳解】記，則由，得，解得，故.19.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義列式求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及偶函數(shù)性質(zhì)得，然后利用絕對(duì)值定義結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由得，所以，化簡(jiǎn)得，即，解得.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)由與及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知上單調(diào)遞增，又在定義域上增，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以由不等式可得，所以或，所以或，所以不等式的解集為.20.通貨膨脹率被定義為物價(jià)總水平的增長(zhǎng)率，已知某件商品2015年10月的定價(jià)為，而該商品2023年10月的定價(jià)為22.8.該商品的增長(zhǎng)率恰與某地區(qū)的物價(jià)總水平的增長(zhǎng)率一致.（1）求該地區(qū)2015年至2023年的年平均通貨膨脹率；（2）資金的增長(zhǎng)率被稱為名義利率，以歐文·費(fèi)雪（IrvingFisher）（20世紀(jì)一位偉大的貨幣經(jīng)濟(jì)學(xué)家）命名的費(fèi)雪方程式給出了關(guān)于實(shí)際利率的定義，費(fèi)雪方程式表明名義利率等于實(shí)際利率加上通貨膨脹率.已知某銀行三年期定期存款的利率如下圖所示（銀行定期年利率為單利，三年存款的利息=本金*年利率*3）.圖中數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：存入日存期到期日起息日年利就操作員流水號(hào)2020102136月20231021202010213.8500%22628583081（i）求該存款2020年至2023年的實(shí)際年平均利率（精確到）；（ii）若在2015年至2023年間該存款以同樣的年利率（3.8500%，單利）存五年定期，則其實(shí)際年平均利率與三年定期相比是大還是小?（只寫(xiě)出結(jié)論，不要求證明）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，【答案】20.21.（i）；（ii）五年期實(shí)際年平均利率小【解析】【分析】（1）設(shè)年平均通貨膨脹率為，列式計(jì)算可得解；（2）設(shè)名義年平均利率為，由題意列式得出的值，進(jìn)而求出實(shí)際年平均利率得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)年平均通貨膨脹率為，由，解得，故年平均通貨膨脹率為.【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)名義年平均利率為，由，解得，，故實(shí)際年平均利率約為.（ii）五年期實(shí)際年平均利率小.由，解得，，故五年期實(shí)際年平均利率比三年期小.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，使不等式對(duì)恒成立，求的最小值及的最小值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）考慮和兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到答案.（2）考慮和兩種情況，分離常數(shù)，題目轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，計(jì)算參數(shù)范圍，再計(jì)算函數(shù)的最值得到答案.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立得，，在上單調(diào)遞增，，故；取，對(duì)恒成立，即，在上單調(diào)遞增，，故；②當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，則，，故，取，對(duì)恒成立，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故；③當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，則，在上單調(diào)遞增，，故，??；對(duì)恒成立，，故，故.取，解得，時(shí)，；時(shí)，；綜上所述：，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：.22.定義1：通常我們把一個(gè)以集合作為元素的集合稱為族（collection）.定義2：集合上的一個(gè)拓?fù)洌╰opology）乃是的子集為元素的一個(gè)族，它滿足以下條件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.（1）族，族，判斷族與族是否為集合的拓?fù)?；?）設(shè)有限集為全集（i）證明：；（ii）族為集合上的一個(gè)拓?fù)?，證明：由族所有元素的補(bǔ)集構(gòu)成的族為集合上的一個(gè)拓?fù)?【答案】（1）都是集合的拓?fù)洌?）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的拓?fù)涠x判斷即可；（2）（i）根據(jù)集合的拓?fù)涠x證