2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)?？键c精練（蘇科版）：專題21 折疊問題中的勾股定理（解析版）

專題21折疊問題中的勾股定理1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合．(1)若∠A＝35°，則∠CBD的度數(shù)為________；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的長；(3)當(dāng)AB＝m(m>0)，△ABC的面積為m＋1時，求△BCD的周長．(用含m的代數(shù)式表示)【答案】（1）∠CBD=20°；（2）AD=；(3)△BCD的周長為m+2【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊可得∠1=∠A=35°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出∠ABC=55°，進(jìn)而得到∠CBD=20°；（2）根據(jù)折疊可得AD=DB，設(shè)CD=x，則AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，進(jìn)而得到AD的長；（3）根據(jù)三角形ACB的面積可得，進(jìn)而得到AC?BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左邊配成完全平方可得CA+CB的長，進(jìn)而得到△BCD的周長．【詳解】（1）∵把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合，∴AD=DB，設(shè)CD=x，則AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x=，AD=8-=；（3）∵△ABC的面積為m+1，∴AC?BC=m+1，∴AC?BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC?BC=BA2+2AC?BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周長為m+2．【點睛】此題主要考查了圖形的翻折變換，以及勾股定理，完全平方公式，關(guān)鍵是掌握勾股定理，以及折疊后哪些是對應(yīng)角和對應(yīng)線段．2．（1）如圖①，Rt△ABC的斜邊AC比直角邊AB長2cm，另一直角邊BC長為6cm，求AC的長．（2）拓展：如圖②，在圖①的△ABC的邊AB上取一點D，連接CD，將△ABC沿CD翻折，使點B的對稱點E落在邊AC上．①AE的長．②求DE的長．【答案】（1）10cm；（2）①4cm；②3cm【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AB的長，即可求解；（2）①由折疊的性質(zhì)可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，進(jìn)而求出AE的值；②在Rt△ADE中，由勾股定理，列出方程，可求DE的長．【詳解】解：（1）設(shè)AB＝xcm，則AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2，∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）；（2）①由折疊的性質(zhì)可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，∴AE＝AC?EC＝4cm；②設(shè)DE＝DB＝y(tǒng)cm，則AD＝AB?BD＝（8?y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8?y）2＝42＋y2，解得：y＝3，∴DE＝3cm．【點睛】本題考查了翻折變換，折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵．3．如圖，折疊一張三角形紙片ABC，使點A落在BC邊上的點F，且折痕DE∥BC，連結(jié)AF．（1）試判斷△ACF的形狀；（2）若AC＝13，AB＝20，BC＝21，求CF的長．【答案】（1）直角三角形；（2）5【解析】【分析】（1）由折疊性質(zhì)可得DE⊥AF，根據(jù)DE∥BC，即得BC⊥AF，故△ACF是直角三角形；（2）設(shè)CF=x，則BF=21-x，在Rt△ACF和Rt△ABF中，利用公共邊AF=可列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）△ACF是直角三角形，理由如下：∵折疊一張三角形紙片ABC，使點A落在BC邊上的點F，∴DE是線段AF的垂直平分線，即DE⊥AF，∵DE∥BC，∴BC⊥AF，∴∠AFC＝90°，∴△ACF是直角三角形；（2）設(shè)CF＝x，則BF＝21﹣x，在Rt△ACF中，AF2＝AC2﹣CF2＝132﹣x2，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝202﹣（21﹣x）2，∴132﹣x2＝202﹣（21﹣x）2，解得x＝5，∴CF＝5．【點睛】本題考查三角形中的折疊問題，涉及勾股定理及應(yīng)用、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，利用勾股定理列方程解決問題．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC邊上的中線，將A點翻折與點D重合，得到折痕EF．（1）若a＝4，求CE的長；（2）求的值．【答案】（1）CE＝1.5；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)CE＝x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出x，計算即可；（2）設(shè)CE＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出x、y的關(guān)系，計算即可．【詳解】解：（1）設(shè)，，AD是BC邊上的中線，∴CD＝2，由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，，由勾股定理得，，解得，，則CE＝1.5.（2）設(shè)，∵，AD是BC邊上的中線，，由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，，由勾股定理得，，解得，，則，∴【點睛】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的過程，解題的關(guān)鍵是：在直角三角形中利用勾股定理建立等式。進(jìn)行求解．5．如圖，△ABD和△BCD都是等邊三角形紙片，AB=2，將△ABD紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB、AD上．（1）求證：△FBE是直角三角形；（2）求BF的長．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接BE、AE交FG于點O，利用等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定解答即可；（2）根據(jù)勾股定理和翻折的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）連接BE、AE交FG于點O，等邊△BCD中，E為CD中點，∴DBE=30°，BE⊥CD，∵∠ABD=60°，∴∠FBE=90°，即△FBE是直角三角形；（2）在Rt△EBC中，CE=1，BC=2，∴BE2=BC2﹣CE2=22﹣12=3，∵△AGF翻折至△EGF，∴AF=EF，在Rt△EBF中，設(shè)BF=x，則AF=EF=2﹣x，∴EF2=BF2+BE2，即（2﹣x）2=x2+3，解得：x=，即BF=．【點睛】本題考查了折疊問題，勾股定理，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．6．如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，求線段CN的長．【答案】3cm．【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN=x，則DN=NE=8-x，CE=4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長．【詳解】解：由題意設(shè)CN=xcm，則EN=（8-x）cm，又∵點D落在BC邊中點E處∴CE=DC=4cm，∴在Rt△ECN中，EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=42+x2，解得：x=3，即CN=3cm．7．如圖，四邊形是邊長為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點落在邊上的點處，點的對應(yīng)點為點，且，求的長．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，連接，，分別在和中利用勾股定理得出三邊關(guān)系，然后利用得出，最后利用方程求解即可．【詳解】設(shè)，連接，，在中，，在中，，∵，∴，即，解得，即．【點睛】本題主要考查折疊問題及勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是關(guān)鍵．8．如圖，把長方形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，點落在點處.（1）試說明；（2）設(shè)，，，試猜想，，之間的關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2），，之間的關(guān)系是．理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對等邊即可說明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之間的關(guān)系．【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)，得，，在長方形紙片中，，∴，∴，∴，∴．（2），，之間的關(guān)系是．理由如下：由（1）知，由折疊的性質(zhì)，得，，．在中，，所以，所以．【點睛】本題主要考查了勾股定理，靈活利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．9．如圖，把一張長方形紙片ABCD折疊起來，使其對角頂點A與C重合，D與G重合，若長方形的長BC為8，寬AB為4，求：（1）DE的長；（2）△GED的面積．【答案】（1）3，（2）【解析】【分析】（1）設(shè)DE＝EG＝x，則AE＝8﹣x，在Rt△AEG中，根據(jù)AG2+EG2＝AE2構(gòu)建方程即可解決問題；（2）過G點作GM⊥AD于M，根據(jù)三角形面積不變性，AG×GE＝AE×GM，求出GM的長，根據(jù)三角形面積公式計算即可．【詳解】解：（1）設(shè)DE＝EG＝x，則AE＝8﹣x，在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，∴16+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴DE＝3．（2）過G點作GM⊥AD于M，則AG×GE＝AE×GM，∵AG＝4，AE＝5，GE＝DE＝3，∴GM＝，∴S△GED＝GM×DE＝．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積，靈活運用折疊的性質(zhì)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG．（1）求證：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度數(shù)；（3）求BG的長．【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）BG＝2．【解析】【分析】（1）利用翻折變換對應(yīng)邊關(guān)系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；（2）由（1）可得∠FAG＝∠BAF，由折疊的性質(zhì)可得∠EAF＝∠DAF，繼而可得∠EAG＝∠BAD＝45°；（3）首先設(shè)BG＝x，則可得CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，然后利用勾股定理GE2＝CG2＋CE2，得方程：（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解此方程即可求得答案．【詳解】（1）證明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG＝∠BAF，由折疊的性質(zhì)可得：∠EAF＝∠DAE，∴∠EAF＝∠DAF，∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；（3）∵E是CD的中點，∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，設(shè)BG＝x，則CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，∵GE2＝CG2＋CE2∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，∴BG＝2．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系、注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．11．如圖，正方形ABCD中，，點E在CD上，且，將沿AE對折至，延長EF交BC于點G，連接AG、CF．求證：≌；求BG的長；求的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）3；（3）．【解析】【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證≌；在直角中，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；結(jié)合和求出的面積，最后用同高的兩三角形的面積的比等于底的比，即可得出結(jié)論．【詳解】是由折疊得到，，，又四邊形ABCD是正方形，，，，，在和中，≌，正方形ABCD中，，，，設(shè)，則．在直角中，根據(jù)勾股定理，得，解得．；由知，，，由知，≌，，，由知，，，，．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．12．如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù)；（2）當(dāng)折痕MN與對角線AC重合時，試求△MNK的面積．（3）△MNK的面積能否小于0．5？若能，求出此時∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由；【答案】40°；1．3；不能．【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)矩形得出AM∥DN，則∠KNM=∠1，根據(jù)∠KMN=∠1得出∠KNM=∠KMN，根據(jù)∠1=70°得到∠KNM=∠KMN=70°，從而求出∠MKN的度數(shù)；（2）根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)MK=AK=CK=x，則DK=5－x，根據(jù)勾股定理求出x的值，從而得出△MNK的大??；（3）過M點作AE⊥DN，垂足為點E，則ME=AD=1，由（1）得∠KNM=∠KMN，根據(jù)MK=NK，MK≥ME，ME=AD=1，得出MK≥1，從而得到△MNK的面積最小值．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AM∥DN，