2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題22 勾股定理的應(yīng)用十二種類型（解析版）

專題22勾股定理的應(yīng)用十二種類型類型一求梯子的滑動(dòng)高度1．如圖所示，一架云梯長(zhǎng)25m，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7m，這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？如果梯子頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑動(dòng)了4m嗎？【答案】這個(gè)梯子的頂端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑動(dòng)了4m，而是滑動(dòng)了8m．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)度，在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的長(zhǎng)度，用其減去BC的長(zhǎng)度即可得出結(jié)論．【詳解】解：在Rt△AOB中，∵AB＝25m，OB＝7m，，∴OA＝(m)，∵AA′＝4m，∴OA′＝OA﹣AA′＝20m；在Rt△A′OB′中，∴OB′＝（m），∴BB′＝OB′﹣OB＝8（m）．故這個(gè)梯子的頂端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑動(dòng)了4m，而是滑動(dòng)了8m．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一個(gè)竹竿斜靠在左墻時(shí)，竹竿底端O到左墻角的距離OC為0.7米，頂端B距墻頂A的距離AB為0.6米．如果保持竹竿底端位置不動(dòng)，將竹竿斜靠在右墻時(shí)，竹竿底端到右墻角的距離OF為1.5米，頂端E距墻頂D的距離DE為1米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)D、E、F在一條直線上，，，則墻的高度為多少米？【答案】墻的高度為3米．【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出OB的長(zhǎng)，同理可得出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)墻的高度為x米，即，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得即解得所以，墻的高度為3米．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．3．如圖，一根長(zhǎng)10m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端A到地面的距離AO為8m，（1）當(dāng)梯子的頂端A下滑1m時(shí)，求梯子底端B向外滑行的距離？（2）請(qǐng)判斷在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，中點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡(jiǎn)述理由；（3）求木棍滑動(dòng)的過(guò)程中△AOB面積的最大值；【答案】（1）m；（2）不變，為5m；（3）25m2【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求解再畫出下滑后的圖形，再利用勾股定理求解從而可得答案；（2）由為的中點(diǎn)，可得旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終有這個(gè)性質(zhì)，可得點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不變；（3）當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時(shí)面積最大．如圖，若h與OP不相等，則總有h＜OP，故根據(jù)三角形面積公式，有h與OP相等時(shí)△AOB的面積最大，從而可得答案.【詳解】解：（1）由題意得：如圖，梯子的頂端A下滑1m時(shí)，則所以梯子底端B向外滑行的距離為m.（2）如圖，連接為的中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后為的中點(diǎn)，而所以點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不變?yōu)?；（3）當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時(shí)面積最大．如圖，若h與OP不相等，則總有h＜OP，故根據(jù)三角形面積公式，有h與OP相等時(shí)△AOB的面積最大，此時(shí)，S△AOB=AB?h=．所以△AOB的最大面積為25m2．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是熟練的應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，理解當(dāng)高與斜邊上的中線相等時(shí)面積最大.類型二求旗桿高度4．學(xué)過(guò)《勾股定理》后，八（1）班數(shù)學(xué)興趣小組來(lái)到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿AB的高度．小華測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)1米（如圖1），小明拉著繩子的下端往后退，當(dāng)他將繩子拉直時(shí)，小凡測(cè)得此時(shí)小明拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為8米（如圖2）．(1)設(shè)AB長(zhǎng)為x米，繩子為米，AE為米（用x的代數(shù)式表示）；(2)請(qǐng)你求出旗桿的高度AB．【答案】(1)x＋1，x－1(2)旗桿的高度AB是16米【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形標(biāo)出的長(zhǎng)度，可以知道AB和AC的長(zhǎng)度差值是1，則繩長(zhǎng)AC=x+1，由CD=BE=1可得AE=AB-BE=x-1；（2）由AC=x+1，AE=x-1；以及CE＝8，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出旗桿的高度．(1)解：設(shè)AB長(zhǎng)為x米，則繩子長(zhǎng)為（x＋1）米，AE的長(zhǎng)度為（x?1）米．故答案是：（x＋1）；（x?1）；(2)解：在Rt△ACE中，AC＝（x＋1）米，AE＝（x?1）米，CE＝8米，由勾股定理可得，（x?1）2＋82＝（x＋1）2，解得：x＝16．答：旗桿的高度為16米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，表示出AE與AC長(zhǎng)度利用勾股定理求出，善于挖掘題目的隱含信息是解決本題的關(guān)鍵．5．學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上垂直豎立的旗桿的頂端A系有一根升旗用的繩子,繩子垂直到地面時(shí)還剩1米長(zhǎng)在地面(如圖①),小芳為了測(cè)量旗桿AB的高度,將繩子拉直,使繩子的另一端C剛好著地(如圖②)．量得BC＝5米,求旗桿AB的高度．【答案】12米【解析】【分析】由題意可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為，則，在中，利用勾股定理即可得到關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】設(shè)旗桿的高度為，則，在中，由勾股定理即可得解得：故旗桿的高度為米【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形，利用勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．6．如圖所示，小明在測(cè)量旗桿的高度時(shí)發(fā)現(xiàn)，國(guó)旗的升降繩自然下垂到地面時(shí)，還剩余0.3米，小明走到距離國(guó)旗底部6米的C處，把繩子拉直，繩子末端恰好位于他的頭頂D處，假設(shè)小明的身高為1.5米，求旗桿的高度是多少米？【答案】旗桿的高度為10.6米【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，可證四邊形為長(zhǎng)方形，可知米，設(shè)旗桿高度為米，則繩子長(zhǎng)度為米，米，在中，由勾股定理，得，，解方程即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，∴四邊形為長(zhǎng)方形，∴米，設(shè)旗桿高度為米，則繩子長(zhǎng)度為米，米，在中，由勾股定理，得，∴，整理得，即，解得．答：旗桿的高度為10.6米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的解法，利用勾股定理結(jié)合旗桿與繩長(zhǎng)的關(guān)系構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．類型三求小鳥飛行距離7．有一只喜鵲在一棵高3米的小樹的樹梢上覓食，它的巢筑在距離該樹24米，高為14米的一棵大樹上，且巢離大樹頂部為1米，這時(shí)，它聽到巢中幼鳥求助的叫聲，立刻趕過(guò)去，如果它的飛行速度為每秒5米，那么它至少幾秒能趕回巢中？【答案】它至少5.2秒能趕回巢中.【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).求出AF,EF,再根據(jù)勾股定理求出AE，從而求出時(shí)間.【詳解】解：如圖所示，米，米，米，米.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).在中，米，米，所以.所以喜鵲離巢的距離米.喜鵲趕回巢所需的時(shí)間為（秒）.即它至少5.2秒能趕回巢中.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：勾股定理和逆定理運(yùn)用.構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.8．如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請(qǐng)問(wèn)它飛行的最短路程是多少米？（先畫出示意圖，然后再求解）．【答案】小鳥飛行的最短路程為13m．【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解．試題解析：如圖所示，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB，垂足為E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（負(fù)值舍去）答：小鳥飛行的最短路程為13m．9．11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個(gè)“鳥兒捉魚”問(wèn)題:小溪邊長(zhǎng)著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望一棵棕櫚樹高是30肘尺(肘尺是古代的長(zhǎng)度單位)，另外一棵高20肘尺;兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然，兩只鳥同時(shí)看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻以相同的速度飛去抓魚，并且同時(shí)到達(dá)目標(biāo).問(wèn):這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根有多遠(yuǎn)?【答案】20．【解析】【分析】【詳解】解：如圖，由題意得：AB=20，DC=30，BC=50，設(shè)EC為x肘尺，BE為(50﹣x)肘尺，在Rt△ABE中，，在Rt△DEC中，，又∵AE=DE，∴，解得：，答：這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根20肘尺．類型四求大樹折斷前的高度10．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”其大意是：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是多少？（其中丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺．）【答案】折斷處離地面的高度是4.55尺．【解析】【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，設(shè)折斷處離地面x尺，則折斷的度為（10?x）尺，再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．【詳解】解：設(shè)折斷處離地面x尺，則折斷的度為（10?x）尺，根據(jù)題意得：x2＋32＝（10?x）2，解得：x＝4.55，答：折斷處離地面的高度是4.55尺．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長(zhǎng)度）？【答案】這棵樹在離地面6米處被折斷【解析】【分析】設(shè)，利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)，∵在中，，∴，∴．答：這棵樹在離地面6米處被折斷【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時(shí)，常使用勾股定理進(jìn)行求解．有時(shí)也可以利用勾股定理列方程求解．12．我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.問(wèn)：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈八，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部6尺遠(yuǎn)．問(wèn)：折處離地還有多高的竹子？（1丈=10尺）【答案】尺【解析】【分析】設(shè)原處還有尺高的竹子，由題意得到折后竹子豎直高度+斜倒部分的長(zhǎng)度=18尺，再運(yùn)用勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)折處離地還有尺高的竹子,如圖，在中，AC=x尺，則AB=一丈八-AC=(18-x)尺由勾股定理得，所以，解得：．答：折處離地還有尺高的竹子．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．此題中的直角三角形只知道一直角邊，另兩邊未知往往要列方程求解．類型五解決水杯中筷子的問(wèn)題13．如圖，一個(gè)直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長(zhǎng)度．【答案】26cm【解析】【分析】設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因?yàn)橹睆綖?0cm的杯子，可根據(jù)勾股定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直徑為20cm，∴杯子半徑為10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍長(zhǎng)26cm．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是看到構(gòu)成的直角三角形以及各邊的長(zhǎng)．14．如圖，已知圓柱形茶杯，底面直徑為5厘米，將長(zhǎng)為20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短長(zhǎng)度是7厘米，求茶杯的高度．【答案】茶杯的高度為12厘米【解析】【分析】由題意得當(dāng)△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°時(shí)，筷子露在外面的長(zhǎng)度最短，據(jù)此利用勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意得當(dāng)△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°時(shí)，筷子露在外面的長(zhǎng)度最短，此時(shí)CD=7厘米，AB=5厘米∴AC=20-7=13厘米，∴厘米，∴茶杯的高度為12厘米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意確定當(dāng)△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°時(shí)，筷子露在外面的長(zhǎng)度最短是解題的關(guān)鍵．15．如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為16尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度是多少尺？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題．【答案】水池里水的深度是15尺【解析】【分析】根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)水池里水的深度是x尺，由題意得，，解得：x＝l5，答：水池里水的深度是15尺．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理、根據(jù)勾股定理正確列出方程是解題的關(guān)鍵．類型六解決航海問(wèn)題16．如圖，貨船和輪船從碼頭A同時(shí)出發(fā)．其中，貨船沿著北偏西54°方向以12海里/小時(shí)的速度勻速航行，輪船沿著北偏東36°方向以16海里/小時(shí)的速度航行．1小時(shí)后，兩船分別到達(dá)B、C點(diǎn)，求B、C兩點(diǎn)之間的距離．【答案】B、C兩點(diǎn)之間的距離為20海里【解析】【分析】根據(jù)方向角的意義得到∠BAC＝90°，然后利用勾股定理計(jì)算BC即可．【詳解】解：根據(jù)題意得∠BAC＝54°＋36°＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝12×1＝12，AC＝16×1＝16，∴BC＝＝20（海里）．答：B、C兩點(diǎn)之間的距離為20海里．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題：在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，然后通過(guò)解直角三角形解決問(wèn)題．17．在杭州西湖風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13m，此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少m？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(12-)m【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，AD，進(jìn)而得到BD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=，∵，∴AD=，∴BD=AB-AD=(12-)m．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意得到直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達(dá)B島，再?gòu)腂島沿BM方向航行125km到達(dá)C島，A港到航線BM的最短距離是60km．若輪船速度為25km/h，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，再求出CD的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，即可求出所需時(shí)間．【詳解】解：由題意，得：AD＝60km，Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002，∴BD＝80km，∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km），∴，∴75÷25＝3（h），∴從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間為3h．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出AC的長(zhǎng)度．類型七求河寬19．在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)造處該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米．(1)求小溪流AC的長(zhǎng)．(2)求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)千米；(2)平方千米【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理已知直角邊求斜邊計(jì)算；（2）將四邊形分成兩個(gè)三角形，求證為直角，四邊形面積為兩個(gè)直角三角形面積之和．(1)解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，∴（千米）；(2)∵（千米），（千米），（千米），∴，，，∴，∴是直角三角形，則∠D＝90°，∴（平方千米）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的概念和公式并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．20．如圖，某人從點(diǎn)A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C離欲到達(dá)點(diǎn)B有45m，已知他在水中實(shí)際劃了75m，求該河流的寬度AB．【答案】60m【解析】【分析】從實(shí)際問(wèn)題中找出直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到該河流的寬度．【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由勾股定理可得：AB＝（m）．∴該河流的寬度為60m．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．21．印度數(shù)學(xué)家什迦羅在其著作中提出過(guò)“荷花問(wèn)題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”此題的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被風(fēng)一吹，荷花傾斜，正好與湖面持平，且荷花與原來(lái)位置的水平距離為二尺，問(wèn)湖水有多深．【答案】湖水深3.75尺．【解析】【分析】先根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形（即荷花的折斷與不斷時(shí)恰好構(gòu)成直角三角形），再根據(jù)已知條件求解．【詳解】設(shè)水深x尺，則荷花莖的長(zhǎng)度為x+0.5，根據(jù)勾股定理得：解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列出方程．類型八求臺(tái)階上地毯的長(zhǎng)度22．若圖是一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯．（1）求地毯的長(zhǎng)是多少米？（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價(jià)是10元，鋪這個(gè)樓梯一共需要多少元？【答案】（1）7米；（2）140元【解析】【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后利用平移的知識(shí)即可得出地毯的長(zhǎng)；（2）首先計(jì)算出地毯的面積，然后用面積乘以10即可得出答案．【詳解】（1），，，∴地毯的長(zhǎng)為7m；（2）地毯的面積為，∴鋪這個(gè)樓梯所需的花費(fèi)為（元）．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及平移的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．23．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階都是長(zhǎng)、寬和高分別等于90cm，25cm和15cm的長(zhǎng)方體，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．在A點(diǎn)處有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你算一算，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短路程是多少？【答案】最短路程是150cm．【解析】【分析】展開后得到下圖的直角，根據(jù)題意求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．【詳解】展開后由題意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，答：最短路程是150cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的基本思路是化曲面問(wèn)題為平面問(wèn)題，再用所學(xué)的知識(shí)解決．24．如圖，要為一段高，長(zhǎng)的樓梯鋪上紅地毯．問(wèn)：紅地毯至少需要多少米？【答案】需要爬行的最短路徑是17cm.【解析】【分析】地毯的長(zhǎng)度實(shí)際是所有臺(tái)階的寬加上臺(tái)階的高，因此利用勾股定理求出水平距離即可．【詳解】根據(jù)勾股定理,樓梯水平長(zhǎng)度為（米），則紅地毯至少要12+5=17米長(zhǎng)，故答案為17m.【點(diǎn)睛】本題考查生活中的平移現(xiàn)象和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)和勾股定理.類型九判斷汽車是否超速25．某路段限速70千米/時(shí)．如圖，一輛小汽車在該路段上直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方30米處的點(diǎn)C，過(guò)2秒后，測(cè)得小汽車（點(diǎn)B）與車速檢測(cè)儀間的距離為50米．這輛小汽車超速了嗎？【答案】這輛小汽車超速了【解析】【分析】直角三角形ABC中，有斜邊AB的長(zhǎng)，有直角邊AC的長(zhǎng)，那么BC的長(zhǎng)就很容易求得，根據(jù)小汽車用2s行駛的路程為BC，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，由勾股定理可得：BC＝＝40（m），∴小汽車的速度為v＝40÷2＝20（m/s）＝72（km/h），∵72（km/h）＞70（km/h），∴這輛小汽車超速了【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可把條件和問(wèn)題放到直角三角形中，要注意題目中單位的統(tǒng)一．26．我市《道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)60km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街道上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)點(diǎn)A正前方30m的C處，2秒后又行駛到與車速檢測(cè)點(diǎn)A相距50m的B處．請(qǐng)問(wèn)這輛小汽車超速了嗎？若超速，請(qǐng)求出超速了多少？【答案】超速了，超速了12km/h【解析】【分析】由勾股定理可求得小汽車行駛的距離，再除以小汽車行駛的時(shí)間即為小汽車行駛的車速，再與限速比較即可．【詳解】.解：由已知得∴在直角三角形ABC中AB2＝AC2＋BC2∴BC2＝AB2－AC2＝，又

∵72－60＝12km/h∴這輛小汽車超速了，超速了12km/h．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，其中1米/秒=3.6千米/時(shí)的速度換算是易錯(cuò)點(diǎn)．27．在某段公路的正上方有一攝像頭A距離地面7米，一天李叔叔駕駛的汽車正沿公路筆直勻速駛來(lái)，當(dāng)行駛到B點(diǎn)時(shí)第一次攝像，此時(shí)AB兩點(diǎn)相距25米，1.5秒后第二次攝像汽車恰好行駛到A點(diǎn)正下方C點(diǎn)，已知該路段限速60km/h，請(qǐng)判斷李叔叔是否超速，說(shuō)明理由．【答案】李叔叔不超速，理由見解析【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)，可計(jì)算李叔叔行駛的速度，統(tǒng)一單位后與60km/h作比較可得結(jié)論．【詳解】解：李叔叔不超速，理由如下：如圖，Rt△ABC中，AC=7，AB=25，由勾股定理得：BC==24，v=24÷1.5=16（m/s）=57.6（km/h），∵57.6＜60，∴李叔叔不超速．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把速度的單位統(tǒng)一．類型十判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響28．有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，理由見解析(2)臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．(1)解：海港C受臺(tái)風(fēng)影響．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD==240（km），∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺(tái)風(fēng)影響；(2)解：當(dāng)EC=250km，F(xiàn)C=250km時(shí)，正好影響C港口，∵ED==70（km），∴EF=140km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷20=7（小時(shí)），即臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為7h．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．29．如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？【答案】會(huì)受到影響，24s【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AB⊥PN于點(diǎn)B，則可得AB=80m，從而可判斷學(xué)校會(huì)受到影響；設(shè)從點(diǎn)E開始學(xué)校學(xué)到影響，點(diǎn)F結(jié)束，則易得AE=AF，從而BE=BF，由勾股定理可求得BE的長(zhǎng)，從而得EF的長(zhǎng)，由路程、速度與時(shí)間的關(guān)系即可求得學(xué)校受影響的時(shí)間．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥PN于點(diǎn)B，∵∠QPN=30°，AP=160m，∴，∵80m<100m，∴學(xué)校會(huì)受到噪音的影響；設(shè)從點(diǎn)E開始學(xué)校學(xué)到影響，點(diǎn)F結(jié)束，則AE=AF=100m，∵AB=AB，∴Rt△ABE≌Rt△ABF，∴BE=BF，由勾股定理得：，∴EF=2BF=120m=0.12km，則受影響的時(shí)間為：（s）．【點(diǎn)睛】本題是直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．30．我市夏季經(jīng)常收臺(tái)風(fēng)天氣影響，臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為300km和400km，且km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)求證：；(2)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(3)若臺(tái)風(fēng)的速度為40km/h，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)見解析(2)海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由見解析(3)3.5h【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)C作于D．根據(jù)直角三角形的面積，可得，即可求解；（3）在線段AB上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使km，km，則臺(tái)風(fēng)中心在線段EF上時(shí)正好影響C港口．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ED=FD，然后根據(jù)勾股定理可得，從而得到km，即可求解．(1)解：∵km，km，km，∴．∴是直角三角形，∴；(2)解：海港C受臺(tái)風(fēng)影響．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于D．∵，∴．∵，∴海港C受到臺(tái)風(fēng)影響．(3)解：如圖，在線段AB上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使km，km，則臺(tái)風(fēng)中心在線段EF上時(shí)正好影響C港口．∴EC=FC，∵CD⊥AB，∴ED=FD，在中，由勾股定理得：，∴km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為40km/h，∴．∴臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為3.5h．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，正確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．類型十一選址滿足條件31．如圖，煙臺(tái)市正政府決定在相距50km的A、B兩村之間的公路旁E點(diǎn)，修建一個(gè)大櫻桃批發(fā)市場(chǎng)，且使C、D兩村到E點(diǎn)的距離相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大櫻桃批發(fā)市場(chǎng)E應(yīng)建什么位置才能符合要求？【答案】大櫻桃批發(fā)市場(chǎng)E應(yīng)建在離A站20千米的地方【解析】【分析】由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方分別求出和，列等式求解即可．【詳解】解：設(shè)大櫻桃批發(fā)市場(chǎng)E應(yīng)建在離A站x千米的地方，則千米．在直角中，根據(jù)勾股定理得：，∴，在直角中，根據(jù)勾股定理得：，∴．又∵C、D兩村到E點(diǎn)的距離相等，∴，∴，所以，解得．∴大櫻桃批發(fā)市場(chǎng)E應(yīng)建在離A站20千米的地方．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．32．11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個(gè)“鳥兒捉魚”問(wèn)題：小溪邊長(zhǎng)著兩課棕櫚樹，恰好隔岸相望，一棵棕櫚樹CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB與CD樹干間的距離是10米．每棵樹的樹頂上都停著一只鳥．忽然，兩只鳥同時(shí)看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻以相同的速度飛去抓魚，并且同時(shí)到達(dá)目標(biāo)E．問(wèn)：這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根C有多遠(yuǎn)？【答案】4米【解析】【分析】設(shè)EC為x米，BE為（10﹣x）米，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．【詳解】解：∵AB=4，DC=6，BC=10，設(shè)EC為x米，則BE為（10﹣x）米，在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2=AB2+BE2=42+（10﹣x）2，DE2=DC2+EC2=62+x2，又∵AE=DE，∴x2+62=（10﹣x）2+