2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專(zhuān)題25 算術(shù)平方根與立方根的綜合運(yùn)用（解析版）

專(zhuān)題25算術(shù)平方根與立方根的綜合運(yùn)用1．已知的算術(shù)平方根是3，的立方根是2，是的整數(shù)部分，求的值．【答案】13【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根以及估算無(wú)理數(shù)的大小確定、、的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：的算術(shù)平方根是3，，即；的立方根是2，，即，是的整數(shù)部分，而，，，答：的值為13．【點(diǎn)睛】本題考查估算無(wú)理數(shù)的大小，算術(shù)平方根、立方根，理解算術(shù)平方根、立方根的定義，掌握估算無(wú)理數(shù)的方法是正確解答的前提．2．已知5a+4的立方根是，3a+b+6的算術(shù)平方根是3，c是的整數(shù)部分．(1)求a、b、c的值；(2)求3a+b+2c的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用算術(shù)平方根以及立方根的定義可以求出a、b，根據(jù)的估值可以求出c；（2）將（1）求出的值代入即可．（1）解：∵5a+4的立方根是，3a+b+6的算術(shù)平方根是3，∴5a+4=，3a+b+6=9，∴a=，b=6；∵9<15<16,∵，c是的整數(shù)部分，∴c＝3；即：a＝，b＝6，c＝3；（2）解：∵3a+b+2c＝﹣3+6+2×3＝9，∴3a+b+2c的平方根是±3．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是算數(shù)平方根以及立方根的定義，無(wú)理數(shù)的估算，掌握其基本定義是解題的關(guān)鍵．3．已知某個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a﹣3和2a＋15，b的立方根是﹣3，求a＋b的值．【答案】-31【分析】先根據(jù)平方根的定義求出a，立方根定義求出b，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵某個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a﹣3和2a+15，∴a﹣3+2a+15＝0，解得a＝﹣4．∵b的立方根是﹣3，∴b＝（﹣3）3＝﹣27．∴a+b＝（﹣4）+（﹣27）＝﹣31．故a+b的值為﹣31．【點(diǎn)睛】本題考查平方根和立方根，熟練掌握平方根和立方根的定義是解答本題的關(guān)鍵．4．對(duì)于結(jié)論：當(dāng)時(shí)，也成立．若將看成的立方根，看成的立方根，由此得出這樣的結(jié)論：“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)也互為相反數(shù)”．若和互為相反數(shù)，且的平方根是它本身，求的立方根．【答案】-2【分析】根據(jù)和互為相反數(shù)，可得，從而得到，再由的平方根是它本身，可得，即可求解．【詳解】解：和互為相反數(shù)，，，解得：，的平方根是它本身，，，，的立方根是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了立方根的性質(zhì)，平方根的性質(zhì)，熟練掌握立方根的性質(zhì)，平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．已知的立方根是-3，的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分，求的平方根．【答案】±4【分析】根據(jù)的立方根是-3，可求得a的值；根據(jù)的算術(shù)平方根是4及已經(jīng)求得的a的值，可求得b的值；再由c是的整數(shù)部分可求得c的值，則可求得的值，從而求得結(jié)果．【詳解】∵的立方根是-3∴∴∵的算術(shù)平方根是4∴即∴∵c是的整數(shù)部分，且∴∴∵∴的平方根為±4【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根等概念，熟練掌握這些定義是關(guān)鍵．6．已知：的立方根是3，25的算術(shù)平方根是，求：（1）x、y的值；（2）的平方根．【答案】（1）x=5，y=5；（2）±5【分析】根據(jù)立方根、算術(shù)平方根以及平方根的定義解決此題．【詳解】解：（1）由題意得：，．∴3x+y+7=27且2x-y=5．∴x=5，y=5；（2）由（1）可知：x=5，y=5．∴x2+y2=52+52=50．∴x2+y2的平方根是±＝±5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了立方根、算術(shù)平方根、平方根的定義以及解二元一次方程組，熟練掌握立方根、算術(shù)平方根、平方根的定義以及解二元一次方程組是解決本題的關(guān)鍵．7．已知2x+3的算術(shù)平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求x-y+4的平方根．【答案】x﹣y＋4的平方根為．【分析】根據(jù)立方根與算術(shù)平方根的定義得到5x＋y＋2＝8，2x＋3＝9，則可計(jì)算出x＝3，y＝﹣9，然后計(jì)算x﹣y＋4后利用平方根的定義求解．【詳解】解：因?yàn)?x＋3的算術(shù)平方根是3，5x＋y＋2的立方根是2，∴，解得：，∴x﹣y＋4＝3+9+4=16，∴x﹣y＋4的平方根為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，平方根與立方根，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．8．已知2a-1的平方根為±3，a+2b-1的立方根為2．（1）求a、b的值；（2）求a-2b的算術(shù)平方根．【答案】（1）a=8，b=2；（2）1【分析】（1）依據(jù)平方根的性質(zhì)和立方根的性質(zhì)可得到和的值，然后可解得、的值；（2）然后求得的值，最后，依據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由題意，得，．解得，．（2），，．的算術(shù)平方根為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是立方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．9．已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4，一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，求的平方根．【答案】【分析】由立方根的定義可知a＝27，算術(shù)平方根的定義得，依據(jù)平方根的性質(zhì)可知＋＝0，然后再求得c的值，最后求的平方根即可．【詳解】解：∵的立方根是3，的算術(shù)平方根是4，∴a＝27，，∵正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，，∴＋＝0，，∴d＝2，＝9，∴，∴的平方根是．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．已知5a-2的立方根是-3，2a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分，求3a+b+c的平方根．【答案】±．【分析】利用立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、組成二元一次方程組，無(wú)理數(shù)的估算方法，求出a、b、c的值，代入代數(shù)式求出值后，進(jìn)一步求得平方根即可．【詳解】解：∵5a-2的立方根是-3，2a＋b－1的算術(shù)平方根是4，∴，∴，∵32＜13＜42，∴3＜＜4，∵c是的整數(shù)部分，∴c＝3，∴3a+b＋c＝（-5）×3+27+3=-15+30=15，∴3a+b＋c的平方根是±．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、二元一次方程組，無(wú)理數(shù)的估算方法、平方根的意義、代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是讀懂題意，掌握解答順序，正確計(jì)算即可．11．已知一個(gè)正數(shù)的平方根是和，b的立方根是，求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方根互為相反數(shù)，有，可求出值，由的立方根是，可求出值，繼而代入求出答案．【詳解】解：一個(gè)數(shù)的平方根互為相反數(shù)，有，解得：，又的立方根是，解得：，，其平方根為：，即的平方根為．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根和立方根的概念，解題的關(guān)鍵是注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．立方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的立方根式正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根式0．12．已知2x＋3的算術(shù)平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．【答案】±9【分析】根據(jù)立方根與算術(shù)平方根的定義得到5x＋y＋2＝27，2x＋3＝25，則可計(jì)算出x＝11，y＝﹣30，然后計(jì)算x﹣2y＋10后利用平方根的定義求解．【詳解】解：因?yàn)?x＋3的算術(shù)平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，∴解得：，∴x﹣2y＋10＝81，∴x﹣2y＋10的平方根為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，平方根與立方根，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．13．若是9的算術(shù)平方根，的立方根是，求的值．【答案】-24【分析】利用平方根與立方根的含義求解x+y，x?y，可得答案．【詳解】解：∵是9的算術(shù)平方根∴∵的立方根是∴∴【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根與立方根的含義以及因式分解，掌握算術(shù)平方根與立方根的含義以及平方差公式是解題的關(guān)鍵．14．已知一個(gè)正數(shù)的平方根是和，的立方根是，求的平方根．【答案】4a-b的平方根為【分析】首先根據(jù)：一個(gè)正數(shù)的平方根是和，可得：（）+（）=0，據(jù)此求出a的值是多少；然后根據(jù)：b的立方根是-2，可得：b=（-2）3=-8，據(jù)此求出4a－b的平方根是多少即可．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的平方根是和，∴（）+（）=0，∴a=2，∵b的立方根是-2，∴b=（-2）3=-8，∴=4×2-（-8）=16，∴的平方根是±4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)和應(yīng)用，以及立方根的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．15．已知的算術(shù)平方根是3，的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分，求的立方根．【答案】的立方根為4【分析】先依據(jù)算術(shù)平方根的定義得到關(guān)于a，b的方程，從而可求得a，b的值，然后估算出的范圍可得到c的值，接下來(lái)，求得的值，最后再求立方根即可．【詳解】∵的算術(shù)平方根是3，∴，解得；∵的算術(shù)平方根是4，∴，解得：；∵，∴，∵c是的整數(shù)部分，即，∴，∵，∴的立方根為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根、立方根以及估算無(wú)理數(shù)的大小，求得a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．16．已知2a－1的平方根是±3，已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－9的立方根是2，c是的整數(shù)部分，求a＋b＋c的平方根．【答案】±3【分析】利用平方根與立方根定義求出a與b的值，估算確定出c的值，即可求出所求．【詳解】解：∵2a?1的平方根是±3，3a＋b?9的立方根是2，c是的整數(shù)部分，∴2a?1＝9，3a＋b?9＝8，c＝2，解得：a＝5，b＝2，c＝2，即a＋b＋c＝9，則9的平方根是±3，∴a＋b＋c的平方根是±3．【點(diǎn)睛】此題了估算無(wú)理數(shù)的大小，以及平方根，熟練掌握估算的方法是解本題的關(guān)鍵．17．已知2a-1的平方根為±3，2a+b-1的立方根為2，求a+2b的平方根【答案】【分析】根據(jù)已知得出2a-1=9，2a+b-1=8，求出a=5，b=-1，求出a+2b的值，最后求出a+2b的平方根即可．【詳解】解：∵2a-1的平方根是±3，2a+b-1的立方根是2，∴2a-1=9，2a+b-1=8，∴a=5，b=-1，∴a+2b=5-2=3，即a+2b的平方根是±．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，立方根的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出關(guān)于a、b的方程組．18．已知2a-1的平方根是，3a-2b-4的立方根是2，求5a-2b的平方根．【答案】±4【分析】根據(jù)平方根與立方根的定義即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：2a-1=3，3a-2b-4=8，∴a=2，b=-3，∴5a-2b=16，∴5a-2b的平方根為±4【點(diǎn)睛】本題考查平方根與立方根，解題的關(guān)鍵是正確理解平方根與立方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．19．（1）已知，求的值；（2）若是4的平方根，9的算術(shù)平方根是，求的立方根．【答案】（1）；（2）的立方根為0或．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根及偶次冪的非負(fù)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平方根、算術(shù)平方根及立方根直接進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1），解得，，則；（2）由題意可得：，∴，，∴或4，∴的立方根為0或．【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及平方根、算術(shù)平方根、立方根，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及平方根、算術(shù)平方根、立方根是解題的關(guān)鍵．20．已知x-2的算術(shù)平方根為2，2x+y+4的立方根是2，求的平方根．【答案】±10【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義和已知條件可知x?2＝4，2x＋y＋4＝8，列方程解出x、y，最后代入代數(shù)式求解即可．【詳解】解：∵x?2的算術(shù)平方根是2，∴x?2＝4，∴x＝6，∵2x＋y＋4的立方根是2，∴2x＋y＋4＝8，把x的值代入解得：y＝-8，∴x2＋y2的平方根是±10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根、立方根的概念，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．21．已知的算術(shù)平方根是4，的立方根是，求的平方根．【答案】【分析】利用算術(shù)平方根及立方根定義求出x與y的值，代入計(jì)算即可確定出的平方根．【詳解】根據(jù)題意得：，，解得：，，則，9的平方根為．所以的平方根為．【點(diǎn)睛】此題考查了立方根，平方根，算術(shù)平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．22．已知3x+1的算術(shù)平方根為4，2y+1的立方根為-1，求2x+y的平方根．【答案】±3【分析】利用算術(shù)平方根、立方根定義求出x與y的值，進(jìn)而求出2x+y的值，即可求出平方根．【詳解】解：∵3x+1的算術(shù)平方根為4，∴3x+1=16，解得：x=5，∵2y+1的立方根為-1，∴2y+1=-1，解得：y=-1，∴2x+y=2×5-1=9，∴2x+y的平方根是±3．【點(diǎn)睛】此題考查了立方根、算術(shù)平方根、以及平方根，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．23．已知2x-1的算術(shù)平方根是3，y+3的立方根是-1，求代數(shù)式2x+y的平方根【答案】±【分析】利用算術(shù)平方根、立方根定義求出x與y的值，進(jìn)而求出2x+y的值，即可求出平方根．【詳解】解：∵2x-1的算術(shù)平方根為3，∴2x-1=9，解得：x=5，∵y+3的立方根是-1，∴y+3=-1，解得：y=-8,∴2x+y=2×5-8=2，∴2x+y的平方根是±．【點(diǎn)睛】本題考查了立方根，算術(shù)平方根，以及平方根，熟練掌握各自的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．已知，x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算術(shù)平方根．【答案】x2+y2的算術(shù)平方根為13．【分析】先根據(jù)題意得到x,y的值，再代入進(jìn)行計(jì)算得解.【詳解】∵x﹣1的平方根是±2，∴x﹣1＝4，∴x＝5，∵2x+y+5的立方根是3，∴2x+y+5＝27，把x的值代入解得：y＝12，∴x2+y2＝52+122＝169，∴x2+y2的算術(shù)平方根為．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，立方根和算術(shù)平方根的定義，熟知定義是本題的解題關(guān)鍵.25．（1）若x,y為實(shí)數(shù)，且求的平方根.（2）已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2+y2的算術(shù)平方根．【答案】（1）；（2）10.【分析】(1)根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)確定x和y的值，然后求解；(2)根據(jù)算數(shù)平方根、平方根、立方根的概念求解.【詳解】解：有題意可知：∴x=4,y=3∴的平方根是.（2）由題意可知：∴x2+y2的算術(shù)平方根是10.【點(diǎn)睛】二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，從而確定x,y的值是本題的關(guān)鍵.26．已知的算術(shù)平方根是4，的立方根是1，求的平方根．【答案】±5【分析】根據(jù)算術(shù)平方根求出x，由立方根求出y，然后代入即可求出答案.【詳解】解：∵，解得；∵，解得：，∴，∴的平方根為；【點(diǎn)睛】本題考查了立方根，平方根，算術(shù)平方根的定義，以及一元一次方程的解法，熟記概念并列出方程是解題的關(guān)鍵．27．已知5x﹣1的算術(shù)平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根．【答案】±4.【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義求出x、y的值，求出4x－2y的值，再根據(jù)平方根的定義求出即可.【詳解】解：∵5x﹣1的算術(shù)平方根為3，∴5x﹣1＝9，∴x＝2，∵4x+2y