2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)?？键c精練（蘇科版）：專題29 已知等腰求坐標（解析版）

專題29已知等腰求坐標1．如圖，平面直角坐標系xOy中，已知定點A（1，0）和B（0，1），動點C在坐標軸上運動，則使△ABC為等腰三角形的點C有______個．【答案】7【解析】【分析】當(dāng)C在x軸上分為三種情況：①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC，畫出圖形，即可得出答案；當(dāng)C在y軸上也分三種情況①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC．【詳解】∵A（1，0），B（0，1），∴AO=OB=1，如圖：①以A為圓心，以AB為半徑作弧，交x軸于C1、C2，此時兩點符合；②當(dāng)C3和O重合時，AC=BC=1，此點符合；③以B為圓心，以AB為半徑作弧，交x軸于C4，此時點符合；共2+1+1=4個點符合．同理當(dāng)C在y軸上也有四個點符合題意，但是與重合，∴綜上所述，一共有7個點符合題意；故答案為：7．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及分類討論思想．分類討論是解答本題的關(guān)鍵．2．在平面直角坐標系中，長方形ABCD按如圖所示放置，O是AD的中點，且A、B、C的坐標分別為(5，0)，(5，4)，(－5，4)，點P是BC上的動點，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，則點P的坐標為_______．【答案】(－2，4)或(3，4)或(－3，4)【解析】【分析】先根據(jù)題意得到OD=OA=5，CD=4，然后分當(dāng)時和當(dāng)時進行討論求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形，A、B、C的坐標分別為(5，0)，(5，4)，(－5，4)，∴OD=OA=5，CD=4，如圖所示，當(dāng)時，過點作軸于E，∴，∴，∴的坐標為（-3，4），同理可求出的坐標為（3，4）；如圖所示，當(dāng)時，設(shè)CD于y軸交于F，則CF=5，OF=4，，∴，∴的坐標為（-2，4），綜上所述，點P的坐標為(－2，4)或(3，4)或(－3，4)，故答案為：(－2，4)或(3，4)或(－3，4)．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，勾股定理，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等腰三角形的定義．3．如圖、在平面直角坐標系中，點、、，點D在第二象限，且，在坐標系中畫草圖分析可得：（1）點D的坐標是__________．（2）若點P在y軸上，且為等腰三角形，則滿足要求的點P有_______個．【答案】

4【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AOB=∠OCD=90°，CD=OB，再由B（0，3），C（0，2），得到CD=OB=3，OC=2，由此求解即可；（2）分當(dāng)PC=AC時，當(dāng)AC=AP時，當(dāng)PC=PA時，三種情況進行討論求解即可．【詳解】解：（1）∵△AOB≌△OCD，∴∠AOB=∠OCD=90°，CD=OB，∵B（0，3），C（0，2），∴CD=OB=3，OC=2，又∵D在第二象限，∴D的橫坐標為-3，縱坐標為2，∴D（-3，2）故答案為：（-3，2）（2）如圖所示，當(dāng)PC=AC時，即圖中所示的和點滿足題意；當(dāng)AC=AP時，即圖中所示的點滿足題意；當(dāng)PC=PA時，即圖中所示的（與原點O重合）點滿足題意；∴一共有4個點滿足題意，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．4．在平面直角坐標系中，點D的坐標為（5，0），點P在第一象限且點P的縱坐標為4．當(dāng)是腰長為5的等腰三角形時，則點P的坐為__________________．【答案】或或【解析】【分析】分三種情況：（1），點在點的左側(cè)；（2）；（3），點在點的右側(cè)；分別進行討論得出點的坐標．【詳解】解：由題意知，當(dāng)是腰長為5的等腰三角形時，有以下三種情況：（1）如圖1所示，，點在點的左側(cè)．過點作軸于點，則．在中，由勾股定理得，，，此時點的坐標為．（2）如圖2所示，．過點作軸于點，則．在中，由勾股定理得，，此時點的坐標為．（3）如圖（3）所示，，點在點的右側(cè)．過點作軸于點，則．在中，由勾股定理得，，，此時點的坐標為．綜上所述，點的坐標為或或．故答案為：或或．【點睛】此題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)是腰長為5的等腰三角形進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．5．平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點A(10，0)，點C(0，3)，點D是OA的中點，點P是BC邊上的一個動點，當(dāng)POD是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為__．A．(1，3)

B．(，3)

C．(4，3)

D．(9，3)【答案】(1，3)，(4，3)或(9，3)【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)OP＝OD或OP=PD時，以及當(dāng)OD＝PD時，分別進行討論得出P點的坐標．【詳解】過P作PM⊥OA于M．由題意得OA=10，OD=5,點P縱坐標是3，（1）當(dāng)OP＝OD＝5或OP=PD=5時，∵OP＝5，CO＝3，∴CP＝＝＝4，∴P（4，3）；（2）當(dāng)OD＝PD＝5時，∵PD＝DO＝5，PM＝3，∴MD＝＝＝4，∴CP＝1或CP′＝9，∴P（1，3）或（9，3）；綜上，滿足題意的點P的坐標為（4，3）、（1，3）、（9，3）．故答案為：(1，3)，(4，3)或(9，3)．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；勾股定理等知識，要分類討論．6．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(5，0)，點M的坐標為(0，4)，過點M作MNx軸，點P在射線MN上，若MAP為等腰三角形，則點P的坐標為___________．【答案】(，4)或(，4)或(10，4)【解析】【分析】分三種情況：①PM＝PA，②MP＝MA，③AM＝AP，分別畫圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和兩點的距離公式，即可求解．【詳解】解：設(shè)點P的坐標為（x，4），分三種情況：①PM＝PA，∵點A的坐標為（5，0），點M的坐標為（0，4），∴PM＝x，PA＝，∵PM＝PA，∴x＝，解得：x＝，∴點P的坐標為（，4）；②MP＝MA，∵點A的坐標為（5，0），點M的坐標為（0，4），∴MP＝x，MA＝＝，∵MP＝MA，∴x＝，∴點P的坐標為（，4）；③AM＝AP，∵點A的坐標為（5，0），點M的坐標為（0，4），∴AP＝，MA＝＝，∵AM＝AP，∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），∴點P的坐標為（10，4）；綜上，點P的坐標為（，4）或（，4）或（10，4）．故答案為：(，4)或(，4)或(10，4)．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和坐標與圖形的性質(zhì)，熟練掌握坐標與圖形特征，利用坐標特征和勾股定理求線段的長是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，1），B（4，0），以AB為腰作等腰，點C在y軸上，則C點坐標為_____．【答案】(0，+1)，(0，1-)，(0，-1)【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，分別得到以A為圓心、AB長為半徑的圓與y軸的交點，以B為圓心、AB長為半徑的圓與y軸的交點，即為所求的C點坐標．【詳解】解：∵A(0，1)，B(4，0)，∴OA=1，OB=4，∴AB==，則以A為圓心、AB長為半徑的圓與y軸的交點為(0，+1)，(0，1-)．以B為圓心、AB長為半徑的圓與y軸的交點為(0，-1)；故答案為：(0，+1)，(0，1-)，(0，-1)．【點睛】本題考查了勾股定理、坐標與圖形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是分兩種情況得到C點坐標．8．直角坐標系中已知點P（1，2），在x軸上找一點A，使△AOP為等腰三角形，這樣的點A共有____個．【答案】4【解析】【分析】要使△AOP為等腰三角形，只需分兩種情況考慮：OP當(dāng)?shù)走吇騉P當(dāng)腰，當(dāng)OP是底邊時，則點A即為OP的垂直平分線和x軸的交點；當(dāng)OP是腰時，則點A即為分別以O(shè)、P為圓心，以O(shè)P為半徑的圓和x軸的交點（點O除外），從而得出答案．【詳解】解：（1）若AO作為腰時，有兩種情況，當(dāng)P是頂角頂點時，A是以P為圓心，以O(shè)P為半徑的圓與x軸的交點，共有1個，當(dāng)O是頂角頂點時，A是以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑的圓與x軸的交點，有2個；（2）若OP是底邊時，A是OP的中垂線與x軸的交點，有1個．以上4個交點沒有重合的．故符合條件的點有4個．故答案為4．【點睛】此題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．9．如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在坐標軸上，A（8，0），D（5，7），點P是邊AB或邊OA上的一點，連接CP，DP，當(dāng)△CDP為等腰三角形時，點P的坐標為_____．【答案】（8，3）或（，0）【解析】【分析】分兩種情形分別討論即可解決問題；【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形，A（8，0），D（5，7），∴B（8，7），OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∴CD＝5，BD＝3，∵點P是邊AB或邊OA上的一點，∴當(dāng)點P在AB邊時，CD＝DP＝5，∴BP＝＝4，∴PA＝AB﹣BP＝3，∴P（8，3）．當(dāng)點P在邊OA上時，只有PC＝PD，此時P在CD的垂直平分線上，∴P（，0）．綜上所述，滿足條件的點P坐標為（8，3）或（，0）．故答案為（8，3）或（，0）．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．10．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D為OA的中點，P為BC邊上一點．若△POD為等腰三角形，則所有滿足條件的點P的坐標為_________．【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．【解析】【詳解】試題解析：∵四邊形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D為OA的中點，∴OD=AD=5，①當(dāng)PO=PD時，點P在OD得垂直平分線上，∴點P的坐標為：（2.5，4）；②當(dāng)OP=OD時，如圖1所示：則OP=OD=5，PC==3，∴點P的坐標為：（3，4）；③當(dāng)DP=DO時，作PE⊥OA于E，則∠PED=90°，DE==3；分兩種情況：當(dāng)E在D的左側(cè)時，如圖2所示：OE=5-3=2，∴點P的坐標為：（2，4）；當(dāng)E在D的右側(cè)時，如圖3所示：OE=5+3=8，∴點P的坐標為：（8，4）；綜上所述：點P的坐標為：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）考點：1.矩形的性質(zhì)；2.坐標與圖形性質(zhì)；3.等腰三角形的判定；4.勾股定理．三、解答題11．如圖，在直角坐標系中，已知直線AB與x軸相交于點A（2，0），與y軸交于點B（0，3）．(1)求直線AB的函數(shù)解析式；(2)點C在y軸上，若ΔABC是以AB為腰的等腰三角形，求出點C的坐標；【答案】(1)(2)點C的坐標為（0，-3）或或．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分當(dāng)AB=AC時，，當(dāng)AB=BC時，兩種情況討論求解即可．(1)解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∴，∴，∴直線AB的解析式為；(2)解：如圖2-1所示，當(dāng)AB=AC時，∵AO⊥BC，∴OB=OC，∵點B的坐標為（0，3），∴OC=OB=3，∴點C的坐標為（0，-3）；如圖2-2所示，當(dāng)AB=BC時，∵點A的坐標為（0，2），∴OA=2，∴，∴，∴點C的坐標為或，綜上所述，點C的坐標為（0，-3）或或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的定義，坐標與圖形，勾股定理，正確理解題意掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在直角坐標系中，O是坐標原點，且點A坐標為（5，5），P是x軸上的一點，若以O(shè)，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，求P點的坐標．【答案】P點的坐標為或或或．【解析】【分析】由勾股定理得，①當(dāng)為腰時，以為圓心，為半徑畫弧交軸于兩點；以A為圓心，為半徑畫弧交軸于一點；②當(dāng)為底時，作線段的垂直平分線交軸于一點，分別得出的坐標即可．【詳解】解：由勾股定理得，分兩種情況進行討論：①當(dāng)為腰時，以為圓心，為半徑畫弧交軸于兩點，即，；以A為圓心，為半徑畫弧交軸于一點，即；②當(dāng)為底時，作線段的垂直平分線交軸于一點，即；∴符合條件的點有個，坐標為或或或．【點睛】本題考查了等腰三角形，圍繞著線段為腰或底，分類討論，運用圓規(guī)畫弧法，形象易懂，充分運用等腰三角形的性質(zhì)解題．13．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(?2，?1)．（1）若AB//y軸，且AB=2，請直接寫出B點坐標；（2）若將A點向右平移4個單位長度，向下平移1個單位長度得到點C，請在圖中畫出以點O，點A，點C為頂點的三角形，并求△AOC的面積；（3）在（2）問條件下，在x軸上是否存在點P，使得△ACP是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）B點坐標為(?2，1)或(?2，?3)；（2）△AOC見解析，其面積為3；（3）存在，點P的坐標為(，0)．【解析】【分析】（1）根據(jù)坐標與圖形的性質(zhì)直接寫出B點坐標即可；（2）利用平移變換的性質(zhì)作出C點，連接AO、OC、AC，利用分割法，△AOC的面積看成矩形的面積減去三個三角形面積即可；（3）設(shè)點P的坐標為(m，0)，根據(jù)OA=OC，利用兩點之間的距離公式列式求解即可．【詳解】解：（1）∵AB//y軸，且AB=2，∴B點坐標為(?2，1)或(?2，?3)；（2）如圖，△AOC即為所求作：S△AOC=4×2-×1×2-×2×2-×1×4=3；（3）存在，理由如下：設(shè)點P的坐標為(m，0)，∵△ACP是以AC為底邊的等腰三角形，∴PA=PC，∴,整理得：，解得：，∴點P的坐標為(，0)．【點睛】本題考查了作圖-平移變換，坐標與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)，學(xué)會利用分割法求三角形面積．14．已知，如圖：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形是長方形，點A?C?D的坐標分別為，，，點P從點O出發(fā)，以每秒1單位長度的速度沿運動，點P的運動時間為t秒．（1）當(dāng)時，P點坐標為___________；（2）當(dāng)時，有最小值嗎？如果有，請算出該最小值，如果沒有，請說明理由；（3）當(dāng)t為何值時，是腰長為5的等腰三角形？若存在，直接寫出t的值，若沒有，請說明理由．【答案】（1）（1，4）；（2）；（3）存在，t=6，7，12或14【解析】【分析】（1）當(dāng)t=5時，得到點P的位置，得到CP和OC的長，可得點P坐標；（2）分點P在BC上和點P在AB上，兩種情況，分別根據(jù)對稱的性質(zhì)，利用勾股定理求出最小值；（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后利用分類討論的方法和勾股定理可以解答本題．【詳解】解：（1）由題意可得，當(dāng)t=5時，點P在BC上，且PC=5-4=1，又∵OC=4，∴點P的坐標為（1，4）；（2）當(dāng)t＞4時，點P在BC或AB上，當(dāng)點P在BC上時，作點D關(guān)于直線CB的對稱點D′，連接OD′與BC交于點P，則點