第10章-時(shí)間序列分析-畢業(yè)論文-

第10章時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)科的、個(gè)重要分支，在經(jīng)濟(jì)金融、信號(hào)處理、機(jī)械震動(dòng)及氣象水文等眾多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)川。本章主耍介紹時(shí)間序列的基本概念與種類(lèi)，如ARMA模型、ARIMA模型、異方差模型、狀態(tài)空間模型及其它一作常見(jiàn)的非線性時(shí)間序列模型等。給11!常）IJ的建模和預(yù)測(cè)方法，為T(mén)避免復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)計(jì)算，我們還給m了常用時(shí)間序列模型的sas計(jì)算程序。110.1吋間序列分析的例子和U的通俗地說(shuō)，隔-段時(shí)間釆集（觀測(cè)）?個(gè)數(shù)據(jù)，所得-屮數(shù)則就構(gòu)成個(gè)吋間序列，兒屮數(shù)則的個(gè)數(shù)稱(chēng)力序列的長(zhǎng)度。時(shí)間序列分折就是要找11i該序列服從的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行預(yù)報(bào)和控制。分析時(shí)間序列的第、步是描繪觀測(cè)值隨時(shí)間變化的曲線，從而找出序列的特征，如確定的變化趨勢(shì)，季節(jié)性等，描繪曲線可用GPLOT過(guò)程。例10.1（太陽(yáng)黑子數(shù)據(jù)）太陽(yáng)黑子數(shù)據(jù)的I己錄可追溯到公兀前28年中國(guó)的西漢王朝，太陽(yáng)表而上的黑點(diǎn)反映了太陽(yáng)電磁2振動(dòng)的介部湞變。令｛jy農(nóng)小第的Wolf太陽(yáng)黑丫*數(shù)。從1700＜|＜到2000＜|＜的太陽(yáng)黑子數(shù)依時(shí)問(wèn)順汴岡在閣10.1十，橫軸農(nóng)小時(shí)叫，縱軸農(nóng)小相K、＜十時(shí)刻廣的觀察位。這種閣形稱(chēng)為時(shí)間序列圖，它對(duì)分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)是4中簡(jiǎn)單有用的方法03S-S-170017501800i1850time190019502000I冬I10.1從1700年到2000年的Wolf太陽(yáng)黑子數(shù)4例10.2（加拿大山貓數(shù)據(jù)）它足加拿人I川北部Mackenzie訂流域捕獲的加I拿大111貓＜I＜度數(shù)據(jù)的替代數(shù)據(jù)，它在某種程度上反映了Mackenzie河流域山貓種群人小的變化怙況。I冬I102描繪了經(jīng)過(guò)如F變換得到的I時(shí)間序列:Xt=logl。（在1820+咋捕獲的山貓數(shù)位）,H，…，114,這個(gè)時(shí)間序列所呈現(xiàn)的周期波動(dòng)深刻地影響著生態(tài)學(xué)理論。5020406080100閣10.21821-1934什:I川捕獲的山貓數(shù)量（按log10的尺度）的吋間卬列6設(shè)T是實(shí)數(shù)集合R二①，況）的子集，通常稱(chēng)T為指標(biāo)免。7?對(duì)吋個(gè)tgT，都47‘個(gè)隨機(jī)變之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)*族隨機(jī)變量：{Xt}={Xt:teT}為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程；當(dāng)7是全體整數(shù)或個(gè)體非負(fù)整數(shù)時(shí)，稱(chēng)相應(yīng)的隨朽L過(guò)程為隨機(jī)序列；如果將指標(biāo)集T看成時(shí)間指標(biāo)時(shí)，相應(yīng)的隨機(jī)序列就稱(chēng)為時(shí)間序列。對(duì)任M的/?、及任M的t'，…人eT，定義隨機(jī)過(guò)程的/?維分布為F!、■，…?（Ai，…，a”）=戶(hù){^^—1^■■■^Xt__a?r}7隨機(jī)過(guò)程的＜分布、二維分布，...，維分布等的全體:…,.“I，■■■，?），廣1，…人E7"，"S1｝稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)榪｛Xr｝的有限維分布函數(shù)族。?m機(jī)過(guò)榪（抒列）｛jy的介限維分布都足多兀正態(tài)分布，則稱(chēng)過(guò)程｛；y為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程（序列）。時(shí)間序列分析的11的依賴(lài)于應(yīng)用的背景，統(tǒng)計(jì)學(xué)家通常把』個(gè)I付間序列看作是*個(gè)隨輕L過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，分析的基本任務(wù)是掲ZJ；支配觀察到的I時(shí)間序列的概率分布規(guī)律，由此我們J能夠力動(dòng)態(tài)命％、：，七叫乂乂達(dá)i.」i8預(yù)手段來(lái)控制將來(lái)事件，這就是時(shí)間序列分析的三個(gè)主要自的。10.2線性吋間序列模型10.2.1平穩(wěn)序列與白噪聲過(guò)程定義10+1如果時(shí)間序列{Xt}={Xt:t^T}對(duì)每個(gè)/er有EX；

則它的自協(xié)方差函數(shù)定義為：=Cov(Xt,XS)=E[(Xt

-EXt)(XS

-EXS)]。對(duì)任意t，若/(/+k，t)與t無(wú)關(guān)，則將其記為y(k)，可知9/(幻=y(-k)。定義10.2如果時(shí)間序列{Xt}={Xt:teT}滿(mǎn)足如下條件(1)對(duì)一切t&T，有EA；2<oc；(2)對(duì)一切reT,有EXr

=jLi

；(3)對(duì)一切t.s.eT,有E[(Xt

-p\Xs-//)]=,10則稱(chēng)為平穩(wěn)時(shí)間序列，也可稱(chēng)為弱平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)時(shí)間序列，本書(shū)中如果沒(méi)有特別說(shuō)明，平穩(wěn)就是指上述定義?？梢?jiàn)平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)是一元函數(shù)/（々）。相hV地，p、k）=稱(chēng)為平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)。定義10.3稱(chēng)時(shí)問(wèn)序列｛Xt｝=｛Xt:teT｝為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列，如災(zāi)對(duì)一切正整數(shù)々，*切｝和的?仃限維分布函數(shù)族都相等。推移算子和差分方程在時(shí)間序列分析中起著重要作用。ii定義10.4設(shè){JU為吋問(wèn)汴列，推移算子5(個(gè)稱(chēng)足.叉-.]_‘時(shí)IW的推移算子)定義在K]上，使BXt

=Xr_{

o

(1-5)稱(chēng)為差分算子，可記為V。(1-5)^=^-^稱(chēng)為的差分(一階差分)，當(dāng)k>l吋，Q-Bk)Xt=Xt-Xf_k稱(chēng)為的6階差分或高階差分。易見(jiàn)多次差分能消除多項(xiàng)式趨勢(shì)。高階差分能消除季節(jié)趨勢(shì)。這正是Box和Jenkins提出差分方法消除趨勢(shì)項(xiàng)的理由。為了方便，以Jn對(duì)Iif

1定的t，xt

<\

IIJ.農(nóng)/j<隨L變：SI吋農(nóng)/j<觀測(cè)12位。相腳的吋衷小吋問(wèn)吖列，?仃吋農(nóng)小觀測(cè)位印列。SAS軟件屮川kig(x)和/cig3(x)分別農(nóng)小Bxr和B\:dtf、x)和d[fVI⑼分別表示義的差分(1-5)^和12階差分(1-512)a：z

□還可定義推移算子的多項(xiàng)式:((7q+u^B+???+)x;

—aqXr

+UyXt_^+???+ci^xr_^定義10.5給定尸個(gè)實(shí)數(shù)a^a2.....ap,ap0,川Z.衣小整數(shù)集合。稱(chēng)—

■!-----apX!-p]=0，

廣GZ,(10.1)13為P階常系數(shù)齊次線性差分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)力齊次差分方程。滿(mǎn)足(10/1)的時(shí)間序列｛久｝稱(chēng)為(10/1)的解。利用推移算子5,可以將(10.1)寫(xiě)成等價(jià)的形式A(B)xt

=0，/eZ,其中A(z)=^~^ajzJf

(10.2)稱(chēng)為(10.1)的特征多項(xiàng)式，代數(shù)方程A(z)=

0稱(chēng)為(10.1)的特征方程。14定義10.6設(shè)炎z)由(10.2)定義，⑹是-個(gè)常數(shù)序列，A(B)xt

=bn

/gZ,(10.3)為p階常系數(shù)非齊次線性差分方程。定理10.1設(shè)特征方程A(z)=

0有々個(gè)互不相同的根ZpZ2，…，zk，且全在單位圓外，是[^(z)]_1冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式夕00的系數(shù)，hb"收斂，若2;是/77;重根，則非齊次線性差分7=015方程xt

-[aAxt_}+-*+apxt_p]=bt，

reZ,(104)的全體解為kmj

z-,reZ,(10.5)7=1/=0^；=o其中？7/;■可以由仁,}的初值A(chǔ)；pXp…，唯-決定。證明可以參見(jiàn)何書(shū)元(:2003)。最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)I時(shí)[F0序列是I']噪聲，它在I時(shí)fF0序列分析屮J[有特別重耍的地位。16定義10.7設(shè)足*個(gè)平穩(wěn)汴列，如火對(duì)任何5jeN,4JCT2，言二SEsr=]Li.cov(^;.^s)=＜'，

(10.6)0，

t*5則稱(chēng)｛&｝是.個(gè)白噪聲，記為心?謬(/7，＜72)o進(jìn)一步，氣｛^｝還足獨(dú)、Z,印列吋，稱(chēng)｛^;｝足獨(dú)立白噪聲：當(dāng)#=0時(shí)，稱(chēng)｛士｝是零均值白噪聲；當(dāng)A=0，a2=l時(shí)，稱(chēng)｛＜｝足標(biāo)準(zhǔn)白噪聲；對(duì)獨(dú)V：rI聲，3g服從止態(tài)分布時(shí)，稱(chēng)17⑷鵬白噪盧。零均位、方差為的獨(dú)、z同分布隨機(jī)變雖吖列以｝u為A；

111)(0,(T2

):零均位、方差為＜72的獨(dú)、X冋分布正態(tài)隨機(jī)變量汴列｛;｝U為人IIDN仇a2)。把白噪聲作為輸入因子，作用于線性差分方程的集合，則產(chǎn)生\大類(lèi)平穩(wěn)過(guò)程。這就得到如下自回歸滑動(dòng)平均(ARMA)模型的概念。1810.2.2ARMA模型的建模和預(yù)測(cè)從三方而可以看出ARMA模型的重要性(當(dāng)然還有其它原因):L具有連續(xù)譜的時(shí)間序列總可以用ARMA模型(有理譜)去遍近。2.如災(zāi)某個(gè)隨機(jī)過(guò)稈協(xié)方差函數(shù)r(h)滿(mǎn)足limr(A)=0,則總"I以求得一ARMA模型，使其自協(xié)方差函/卜＞?:數(shù)/(/?)滿(mǎn)足：)二r、k)，對(duì)任意整數(shù)k。3.ARMA模型的線性結(jié)構(gòu)也導(dǎo)致線性預(yù)測(cè)的簡(jiǎn)明實(shí)用理論。正由于此，ARMA模型在時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模中起著關(guān)鍵作用。19足義10.8設(shè)是一個(gè)零均值的白噪聲，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式爽z）=l-知-…和階）=1+#+...+0/沒(méi)有公Q共根，且根都在單位閥外，滿(mǎn)足6>0=1,0。則稱(chēng)差分方程牟=/eZ，

（10.7）j=1J=o或（KB、Xt=9、B、st,，eZ，

（108）20為自回歸滑動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為ARMAQ?，^)模型，稱(chēng)滿(mǎn)W(10.7)的平穩(wěn)序列｛X,｝為ARMA(^^)序列。當(dāng)g=0時(shí)，稱(chēng)(10.7)為AR(p)模型；當(dāng)p=0時(shí)，稱(chēng)(10.7)為AIA(q)模型。如災(zāi)Xt-]Li是ARMA模型，則稱(chēng)｛X,｝是均值為蘆的ARMA校型，SAS十ARIMA過(guò)程考慮此種投型，由.P零均位化很容鉍文現(xiàn)，所以我們只研究均位為零的ARMA稅型。匯)=o的根在單位圓外，稱(chēng)為平穩(wěn)性條件;e｛z)=o的21根在單位圓外稱(chēng)為可逆性條件。在一碑文獻(xiàn)中，平穩(wěn)性條件又稱(chēng)為因果性條件。由于滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，所以的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)中zJ的系數(shù)V,.是指數(shù)衰減的，記?'二了》〆，從血心7;=0Q0十，（10.9）可見(jiàn)（10.9）是（10.8）的平穩(wěn)解，稱(chēng)O

為｛Z,｝的Wold系數(shù)。22由可逆性條件，易見(jiàn)差分方程(10.8)可唯一寫(xiě)為O0et

=01-,/gZ,(10.10)稱(chēng)為ARMA模型的逆轉(zhuǎn)形式，它在作預(yù)報(bào)時(shí)很有用。定義10.9平穩(wěn)時(shí)I川序列｛Xt｝的偏自相關(guān)函數(shù)(系數(shù))a(幻定義為：a⑴=尸⑴=Corr(X｛.X2)a(k)=Corr(Xi

-P(Xi\X2.....Xk\Xk+i-P(Xk+x\X2.....Xk)).231UI1

P{X.\X2^^Xk\P(A+1

|12,…，J^)分別農(nóng)小又i，x,+1關(guān)于(X2，…，Xk)的線性最小方差預(yù)測(cè)e可見(jiàn)偏自相關(guān)函數(shù)是xt和x,+1分別關(guān)于其中間的觀測(cè)值線性回歸后的兩個(gè)殘差的相關(guān)系數(shù)。偏自相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是不同的;但對(duì)于零均值平穩(wěn)過(guò)程，偏自相關(guān)函數(shù)1J自相關(guān)函數(shù)的相同之處在1'它也傳遞了平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)結(jié)構(gòu)的重耍信息。樣本偏自相關(guān)函數(shù)的if算采用遞推算法0為了簡(jiǎn)便，可用SASARIMA過(guò)積的identify-il\

57樣本叫相又_函數(shù)和樣木偏向相義函數(shù)。SASARIMA過(guò)稈的identifyif%J還"川_兌樣木逆24&相關(guān)函數(shù)，逆自相關(guān)函數(shù)就定義為?的自相關(guān)函數(shù)。理論上可以證明：AR過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)指數(shù)衰減，偏、逆自相關(guān)函數(shù)截尾;MA過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)截尾，偏、逆自相關(guān)函數(shù)指數(shù)衰減;一般ARMA過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，偏、逆自相關(guān)函數(shù)都是指數(shù)衰減。ARMA模型參數(shù)的估計(jì)確定*個(gè)介迠的均位為//的ARMA(p，摘型，以農(nóng)小所觀測(cè)的時(shí)問(wèn)汴列，即川ARMAB型來(lái)擬合己知數(shù)據(jù)，稱(chēng)為建?；驍M合。在建模之前，首先要做白噪聲檢驗(yàn)，B|J考察觀測(cè)的時(shí)間序列是否來(lái)自白噪聲。如果是，25即Xt=st，則我們可用;估計(jì)Z,的方差，而所有的預(yù)報(bào)全是零;如果不是，則耑要用ARMA模型來(lái)擬合己知數(shù)據(jù)。怎樣檢驗(yàn)觀測(cè)的時(shí)間序列是否來(lái)自白噪聲呢？方法較多，由于本節(jié)人量訃兌樣木口相義，這M介紹Ljimg&Box(1978)提岀的方法：m定理10.2令W="("+2)Z[/^)]2/(”-幻，則3假設(shè)k-1“Hq

:觀測(cè)的列來(lái)門(mén)嘆聲”成々:吋，￡漸近服從m個(gè)自由度的Z2分布。26這樣我們就H以由觀測(cè)的IN問(wèn)吁列來(lái)什兌X的位，如災(zāi)它很人，以至」I2⑻）隨機(jī)變蛍人r它的概率小r0.05，則否定hq.否則接受丑。。當(dāng)用ARMA模型來(lái)擬合己知數(shù)據(jù)時(shí)，我們也要對(duì)殘差作白噪聲檢驗(yàn)，如果擬合得好，殘差應(yīng)是白噪聲|檢驗(yàn)方法同上。建模涉及到系列相互關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，這叫問(wèn)題包括:模型定階，即M歸階數(shù)p和滑動(dòng)平均階數(shù)的選抒：參數(shù)的佔(zhàn)11_，和4…，％，＜72及/7的位。建投的人致少驟足:先人體選Wp，q的范鬧；對(duì)l，q，抖川優(yōu)化方法仍訃27…木和0，…，(9。，CT2,//的位，從向朽到信息ii:AIC,AICC，

SBC=BIC的位:信息蛍M小的p,q及所仍kl的(K，…木和什，…，久，a\/Ll決定的投型即為所求。對(duì)」＞的選擇，BIC是相合的，AIC，AICC是漸近有效的。因此，以下介紹對(duì)」卞'1定的p和q如例佔(zhàn)i\-?、”..木和，進(jìn)而佔(zhàn)trtr2://W通過(guò)零均位化而較鉍i1川。對(duì)］q=

0的情況、即AR(/O模型，利用一個(gè)簡(jiǎn)單的方法28就川‘得到X-的k好沾訃，WWile-Walkerf^iiL似3q>0時(shí)，必需運(yùn)用優(yōu)化步騾，因?yàn)閅ule-Walker估計(jì)誤差較大。1.

AR(p)模型的Yule-Walker估計(jì)設(shè)｛Xt｝足岑均位卜1歸AR(p)汗列:上式兩邊乘以X"，、/=0，1，...，尸，并取期望，由(10.9)及定義10.7和定義10.8>【m29CT2=/(0)-^/(l)-----<^pr(P)，

(10.11)及/⑺

_組j-1)-----?PAJ-pXj=、"，P，(10.12)此JjW-W.稱(chēng)為Yule-Walker方積。設(shè)xL，x2，…，X。足平穩(wěn)AR(p)吖列｛jy的<觀察位，//=及自協(xié)方差函數(shù);的點(diǎn)沾什-般定義為(10.13)30(10.14)由在吋滯0，1，…，p處的位/(^)，代入(10.12)川?求得為4的估計(jì)值，這就是Yule-Walker估計(jì)。可以證明，零均值自回歸AR(p)序列的Yiile-Walker估計(jì)足相合估計(jì)。對(duì)P*般的ARMA(例)校型，也"J求Yule-Walker估計(jì)，但其誤差較大，只能作為計(jì)算其它的更有效估計(jì)的非線性?xún)?yōu)化方法的初值。常用的還有如下三種估計(jì)：2.條件最小二乘估計(jì)(CLS)；

3.1條件31最小二乘估計(jì)(ULS)；及4.最大似然估計(jì)(ML)，相應(yīng)的理論細(xì)']J讀者11

j參閱Box&Jenkins(1994)’冷文獻(xiàn)。對(duì)于正態(tài)序列，當(dāng)n很大時(shí)，后三種方法估計(jì)的參數(shù)很接近。它們是漸近無(wú)偏、相介和漸近正態(tài)的。ARMA模型的預(yù)測(cè)當(dāng)使用條件最小二乘估計(jì)時(shí)，模型假設(shè)^0-=?■?=0.A*。==+■?=0，從而對(duì)過(guò)去值做了規(guī)定，這時(shí)應(yīng)當(dāng)作無(wú)窮記憶預(yù)測(cè)，由(10.10)ARMA模?的逆轉(zhuǎn)GC-形式可得=(P;-]，從而得到k涉預(yù)測(cè)公式7=132亡-1乂7=1J=kK屮&由^ilhT,的欖型碗定Q當(dāng)使用無(wú)條件最小二乘估計(jì)或極大似然估計(jì)時(shí)，預(yù)測(cè)值為介窮U憶預(yù)測(cè)，此吋ARMA投M的協(xié)方差函數(shù)川十獲収M優(yōu)線件預(yù)測(cè)方程。也就是說(shuō)，給定(xP....Vi)的條件下，k步預(yù)測(cè)為Xr+k=

^k.^t(A、，…，A;-i)其中是xt+k與的協(xié)方差向量，而h是向量33(A：lv...Vl)的協(xié)方差矩陣，cy,和K可以由估計(jì)參數(shù)導(dǎo)出。素均位為//的ARMA稅型的訃兌，W擬介(建校)和預(yù)報(bào)，W川SASanma過(guò)榪來(lái)女施，(ARIMA欖型和ARIMAX擬型也川'川arima過(guò)程來(lái)訃兌)。一般ARMA模型建模主要分三步:?UI別，｛i1川-和頂報(bào)，相K、/地，arima過(guò)程主邊以句為identify，estimate，

forecast二

uj和procarimai'\uj。JL體功能如卜：(a)procarima語(yǔ)句川于調(diào)用arima過(guò)程;(b)identify語(yǔ)句用于指定所慮序列;通過(guò)計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)，判定序列是否1S.JIJARMA悅型，初斜/川_階數(shù);對(duì)汗列劣V差分。例如Identifyvar=y:指示對(duì)y建模。又如identifyvar=y(l);指示對(duì)y差分后建投。(c)estimate語(yǔ)句川J'對(duì)桁定的只奴叫IuI歸和沿動(dòng)T均21;34分的階)，沾訃參數(shù)。它必耑跟在identify語(yǔ)句之后。通過(guò)選項(xiàng)指示自回歸和滑動(dòng)平均部分的階。例如estimatep=5q=2

；指示對(duì)模型ARMA(5,2)估計(jì)參數(shù)。用選項(xiàng)method=ml，method=uls，

methodicIs；分別指定估計(jì)方法為最人似然法，無(wú)條件最小二乘，條件M小::乘，缺ft為條件小：：乘。(d)forecast語(yǔ)句川」:頂報(bào)。它必需在estimate語(yǔ)句之后。例如forecastlead=l2;指示要頂報(bào)12個(gè)位。3遇到data仍句成quit吋退山anma過(guò)榪，否則(b)，(c)，(d),踞句可反復(fù)調(diào)用。identifyi/'f句會(huì)產(chǎn)生出樣本自相關(guān)函數(shù)，及樣本偏、逆自相關(guān)函數(shù)，由上而所述性質(zhì)可作初步識(shí)別:ARMA過(guò)程自相關(guān)函數(shù)，偏、逆自相關(guān)函數(shù)都指數(shù)衰減;AR過(guò)程自相關(guān)函數(shù)指數(shù)衰減，偏、逆自相關(guān)函數(shù)截尾;MA過(guò)程自相關(guān)函數(shù)截尾，偏，逆自相關(guān)函數(shù)指數(shù)衰減。樣本自相關(guān)函數(shù)，及樣本偏、逆自相關(guān)35函數(shù)近似地,J相應(yīng)規(guī)律。10.2.3ARIMA模型有時(shí)實(shí)際問(wèn)題耑耍對(duì)序列先進(jìn)行差分:有時(shí)存在周期性，例如考慮月平均溫度時(shí)，要消除年周期，就要做周期為12的差分(1-B12)；有時(shí)序列含有線性趨勢(shì)，從而序列不平穩(wěn)，要通過(guò)差分使它平穩(wěn)；有時(shí)拗二0的根接近于1，也啟發(fā)我們要差分。具體來(lái)說(shuō)，設(shè)6/是*個(gè)止整數(shù)，如果(115)36足十ARMAJr列，就稱(chēng)■足十ARIMA(p,rf^)序列，所以其滿(mǎn)足的模型為Xr=e、B、st,teZ，

(10.16).K屮劣系數(shù)多項(xiàng)式(K:\0(二)分別滿(mǎn)兄平穩(wěn)忭?xiàng)l件和W逆性條件。ARIMA校:型也足川aHma過(guò)稈來(lái)訃兌，，般ARIMA模型計(jì)算也分三步:識(shí)別，估計(jì)和預(yù)報(bào)，主要奶句也為procarima:identify;estimate及forecast。唯-不同的足：identifyi；;句衍定所慮吖列G能邊加.I:差分階數(shù)，例iziIidentifyvar=y(3)；析小對(duì)y建稅，印列被A分3次。37例10.3對(duì)上證日收盤(pán)街?jǐn)?shù)close(2000.3.6-2000.11.29)數(shù)則(1T:見(jiàn)程斤二)川ARMA、AR工MA模型擬合。解.先用ARMA模型擬合，程序如下dataamexl:informatdayyymmdd8formatdayyymmddlO.inputcards;day$close200003061681.08200003071694.79200003081726.03200003091732.34200003101705.04200003131728.87382000031420000316200003172000032120000322200003242000032720000329200003302000040320000404200004061685.341607.521658.601710.321718.641730.491775.911788.801810.981801.001760.691809.142000031520000320200003232000032820000331200004051681.471699.241747.241791.441800.221771.1939200004071819.89200004101826.06200004111821.17200004121807.32200004131831.54200004141833.66200004171795.05200004181813.49200004191828.68200004201847.02200004211841.06200004241837.39200004251833.46200004261832.77200004271806.83200004281836.32200005081836.63200005091806.63200005101752.68200005111724.04200005121720.6040200005152000051720000518200005222000052320000525200005262000053020000531200006022000060520000607200006081704.581725.391758.531824.731832.071880.701879.611877.471894.551916.251899.091935.031925.20200005162000051920000524200005292000060120000606200006091724.531777.821855.491898.741903.481925.541900.7841200006122000061320000615200006162000062020000621200006232000062620000628200006292000070320000704200007061912.551938.671942.281926.941895.341913.131939.621948.631947.481937.261895.631907.931902.552000061420000619200006222000062720000630200007051932.291915.201913.901942.891928.101909.1842200007072000071120000712200007142000071720000719200007202000072420000725200007272000072820000801200008021932.791960.541973.371987.191982.471998.421991.561989.231996.572012.352012.792028.152030.68200007102000071320000718200007212000072620000731200008031948.021979.201993.981996.332012.312023.532036.3043200008042000080720000809200008102000081420000815200008172000081820000822200008232000082520000828200008302026.362039.412061.182065.942076.302076.822091.582090.182074.702057.912086.702100.582076.142000080820000811200008162000082120000824200008292049.912062.662083.462108.692071.162105.4744200008312000090420000905200009072000090820000912200009132000091520000918200009202000092120000925200009262021.192010.601963.791950.661959.311979.091988.931978.431946.751922.281907.301875.911887.82200009012000090620000911200009142000091920000922200009271999.851925.901972.041979.501903.151891.981914.0845200009282000092920001010200010112000101320001016200010182000101920001023200010242000102620001027200010311889.281910.161942.141933.721918.151902.801922.841913.421958.931956.341967.671967.401961.282000100920001012200010172000102020001025200010301915.351926.321909.491947.451977.251973.5746200011012000110320001106200011082000110920001113200011142000111620001117200011212000112220001124200011271977.361981.631991.172012.912032.482070.792085.122095.982093.242097.982113.302053.372049.67200011022000110720001110200011152000112020001123200011281984.261997.082047.462081.912101.392119.442079.4047200011292067.50:doptionsnodate;procarimadata=amexl;identifyvar=close;estimatep=lq=l;forecast1ead=10id=dayinterval=weekdayalpha=.05out=out2(rename=(forecast=f_arimaI95=l95_au95=u95_a))run:48從輸11!結(jié)果r江見(jiàn)樣本自相關(guān)函數(shù)衰減很慢，從而序列不平穩(wěn)，必需實(shí)行差分，為此，我們做一次差分，輸出結(jié)果表￥差分后樣本自相關(guān)、逆自相關(guān)及偏自相關(guān)均指數(shù)衰減（見(jiàn)FI冬I），從而表示差分后的序列是平穩(wěn)的，于是我們對(duì)（p=l，q=l）作佔(zhàn)計(jì)，只要將上述程序屮的語(yǔ)句“Identifyva「=close;”改為“identifyvar=close（l）;”W河，U:余不變。運(yùn)行后得到輸出:49AutocorrelationsLagCovarianceCorrelation-1987654321012345678910414.5401■00000|125.8697160.06241|■r■i215.6981440.03787|■r■i39.9914820.02410|■i■i48.6337670.02083|.i■i5-20.499430-.04945|■+i■i6-48.543989-.11710|■"i■i7-21.600207-.05211|■”■i8-3.132182-.00756|■i■i50InverseAutocorreIationsLagCorrelation-1987654321012345678911-0.08785|.++

|.|2-0.04079|.+

|.|3-0.00404|.|.|4-0.06596|.+

|.|50.03846|.|+

.|60.10801|.|++.|7-0.05306|.+

|.|8-0.01778I.I.I51PartiaIAutocorrelationsLag10.06241I+

-20.0341130.0197940.017005-0.05354+6-0.11372++■+17-0.0369980.00748Correlation-19876543210123456789152AutocorrelationCheckforWhiteNoise以上白噪聲檢驗(yàn)說(shuō)明序列不相關(guān)。ToChi-Pr>LagSquareDFChiSqAutocorreIations64.2560.64290.0620.0380.0240.021-0.049-0.117125.50120.9391-0.052-0.008-0.003-0.023-0.002-0.0561817.89180.46280.240-0.028-0.0110.007-0.047-0.0392424.78240.4177-0.094-0.099-0.0110.1010.0050.065ConditionaILeastSquaresEstimationStandardApproxParameterEstimateErrortVaIuePr>11LagMU2.132781.689121.260.20840MA1r10.370190.918420.400.68741AR1r10.434570.890800.490■62631以上是參數(shù)估計(jì)。53ConstantEstimate1■205935VarianceEstimate419.3463StdErrorEstimate20.47795AIC1618.512SBC1628.124NumberofResiduals182+AICandSBCdonotincludelogdeterminant.和U:他pfqll［比，以上給山的AIC,SBC部比較小，說(shuō)明模型比較合適。54AutocorrelationCheckofResidualsToChi-Pr>SquareDFChiSqAutocorrelations62.9440.5673-0.0040.0090.0130.022-0.045-0.113124.38100.9288-0.044-0.0010.001-0.023-0.002-0.0701817.55160.35100.248-0.041-0.0130.011-0.043-0.0292424.30220.3318-0.086-0.095-0.0090.105-0.0010.0703034.54280.1837-0.1490.110-0.036-0.102-0.014-0.0403642.15340.1591-0.080-0.105-0.0460.0940.0670.033以上檢驗(yàn)殘差序列是否相關(guān)。由于ChiSquare值很小,P「ob值很大，表明殘差序列不相關(guān)，模型擬合比較好。55ModelforvariablecloseEstimatedMean2.132785Period(s)ofDifferencing1AutoregressiveFactorsFactor1:1-0.43457MovingAverageFactorsFactor1:1-0.37019以_I:表明模型是1-0.3701951-0.434575€以下是對(duì)日收盤(pán)指數(shù)close的10天預(yù)報(bào)及95%置信區(qū)間:(l-5)c/as，e,-2.13278556ForecastsforvariablecloseObsForecastStdError95%ConfidenceLimits1842069.123020.47792028.98702109.25911852071.034329.90702012.41772129.65091862073.070837.34721999.87162146.27001872075.161843.66241989.58512160.73851882077.276449.22291980.80122173.75161892079.401254.23591973.10082185.70171902081.530658.83111966.22382196.83741912083.661963.09571959.99662207.32721922085.794067.09111954.29792217.29021932087.926570.86211949.0393222C.3'l57710.2.4用SAS軟件屮的FORECAST過(guò)程進(jìn)行快速預(yù)測(cè)例10.4(1)用STEPAR方法對(duì)上證綜指的預(yù)測(cè)由高惠璇等(1998)，陳平(2001，2003)iU*対I，SASETS軟件1

{1的FORECAST過(guò)程提供一種快速而且自動(dòng)的I時(shí)lid序列預(yù)報(bào)方法，

它使用外推的預(yù)報(bào)方法，所作的預(yù)報(bào)僅僅是f時(shí)間和該序列過(guò)去值的函數(shù)，沒(méi)有其它變量。其中的逐步向回歸(STEPAR)方法是把時(shí)間趨勢(shì)回歸同外自回歸模型結(jié)合在克，并用逐步方法來(lái)選杼用于酮?dú)w過(guò)程的時(shí)滯步數(shù)I逐步自回歸模型如下:J=be.hit+b，t一+IlP°1

-；,(1047)z/r=aAiit_Y

+…+a.pi!r_p

+數(shù)，&足獨(dú):r的、均位為零的隨機(jī)誤差。基」*證券之：M（）1997年1月?2002年3月的上證綜合指數(shù)月線數(shù)據(jù)，分別取TREND=1，2,3作了試兌分析，發(fā)現(xiàn)總的擬合效見(jiàn)較好，似取TREND=1，3吋，預(yù)測(cè)誤差偏大，而取TREND=2吋預(yù)測(cè)效果相對(duì)較好（見(jiàn)閣103）。用上述參數(shù)相應(yīng)的程序?qū)?001年10月?2002年3月的上證綜指作了滾動(dòng)預(yù)測(cè)（即用該月以前的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)該月的值），六個(gè)月的平均絕對(duì)滾動(dòng)預(yù)測(cè)誤差為7.70%,結(jié)果見(jiàn)"F表。59表10.1用STEPAR方法對(duì)最近六個(gè)月上證綜指的滾動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果口期實(shí)砧位預(yù)測(cè)位絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差（％）2001/101689.171848.019.402001/111747.991785252432001/121645.971824.3010.83200201149L671740.3016.662002021524701615.125.932002031603.911624391.27另用該程序預(yù)測(cè)2002年4月的上證綜指的月收盤(pán)指數(shù)為1678.62。6010.361(2)用EXPO方法預(yù)測(cè)上證綜指考慮到僅用STEPAR方法進(jìn)行預(yù)測(cè)可能不夠穩(wěn)定，11基于同樣的數(shù)據(jù)進(jìn)j采用SASETS軟件中的指數(shù)平滑(EXPO)方法作預(yù)測(cè)分析指數(shù)平滑(Exponentialsmoothing)擬合、種使用平滑方案的I時(shí)間趨勢(shì)模型，在此方案里權(quán)數(shù)隨時(shí)間的向后推移而按幾何級(jí)數(shù)"F降，這樣62使得序列中最近的數(shù)據(jù)比曱-期部分?jǐn)?shù)據(jù)有更大的權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)函數(shù)為:C0T

=⑺（1-⑺廣r，（10.18）其中r是過(guò)去觀測(cè)的觀測(cè)序號(hào)，是當(dāng)前觀測(cè)的觀測(cè)序號(hào)，而①是選項(xiàng)WEIGHT規(guī)定的權(quán)常數(shù)。*般說(shuō)來(lái)，較小的平滑權(quán)數(shù)15合J1緩慢改變趨勢(shì)的）?列:較大的權(quán)數(shù)記）IJJ:Ji有快速改變趨勢(shì)的易變序列。用同樣的數(shù)據(jù)分別取TREND=1、2、3；

仍二0.3、0.4等作搭配試算分析，發(fā)現(xiàn)取TREND二2、仍二04時(shí)63總的擬合效果相對(duì)較好（見(jiàn)閣10.4）0用上述參數(shù)相應(yīng)的程序也對(duì)2001年10月?2002年3月的上證綜指作了滾動(dòng)預(yù)測(cè)，六個(gè)月的平均絕對(duì)滾動(dòng)預(yù)測(cè)誤差為5/17%,結(jié)果見(jiàn)F表。表10.2用EXPO方法對(duì)最近六個(gè)月上證綜指^的滾動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果64口期實(shí)際值預(yù)測(cè)位絕對(duì)預(yù)測(cè)誤差（％）2001/101689.171733.732.632001/111747.991635306442001/121645J71655.540.58200201149L671596.006.992002021524701459.124302002031603.91144L4810.12另用該程序預(yù)測(cè)2002年4月的上證綜指的月收盤(pán)指數(shù)為1511.81。65(3)用XII過(guò)程對(duì)上證綜指進(jìn)行季節(jié)調(diào)整XII過(guò)程是根據(jù)美國(guó)國(guó)情調(diào)查局的X-11季節(jié)調(diào)整程序改編的，它可以對(duì)月度或季度時(shí)間序列進(jìn)行季節(jié)調(diào)整。序列季節(jié)調(diào)整基于這樣的假定:季節(jié)性波動(dòng)可以由原始序列Or，t二夂…，”屮測(cè)得并能與趨勢(shì)起伏、交易口及不規(guī)則波動(dòng)分離開(kāi)，此IfdlnJJ?列的季卞_成分S,定66義為年內(nèi)的變動(dòng)，從1年到一年之間恒定地取值或緩慢地變化。趨勢(shì)起伏項(xiàng)C,包介了由tc期趨勢(shì)，經(jīng)濟(jì)起伏及U:它K期起伏閃素引起的變化，交鉍口成分足由口歷屮交鉍口位置變化引起的變化，不規(guī)則成分/,足殘余的變化量。許多吋問(wèn)汴列足乘件的關(guān)系，B|JOt

=SrCrDrIt。季節(jié)調(diào)整后的序列為C乂，只包介趨勢(shì)起伏和不規(guī)則成分。67對(duì)上證綜指1997年1JJ-2002年3月的月收盤(pán)指數(shù)作XII過(guò)程分析，發(fā)現(xiàn)原始序列（實(shí)線）比趨勢(shì)成分（虛線）有更大的變動(dòng)（見(jiàn)閣10.5）,季節(jié)和非規(guī)則成分的移去使序列的趨勢(shì)更易看到與識(shí)別。另外季節(jié)成分圖（見(jiàn)陶10.6）表明這樣'個(gè)周期性出現(xiàn)的模式:年初上升和年底下降。68I冬I10.569上證綜指的季節(jié)成分季節(jié)成分日期圖10.670該例的主要程序如下：dataamexl;informatdateyymmn6formatdateyymmn6.;inputcards;date$close199701964.741997021040.031997031234.621997041393.751997051285.181997061250.27711997071189.761997081221.061997091097.381997101180.391997111139.631997121194.101998011222.911998021206.531998031243.021998041343.451998051411.211998061339.201998071316.921998081150.221998091242.901998101217.321998111247.421998121146.701999011134.671999021090.09199903721158.051999041689.431120.931999051279.331999061999071570.701601.461999081627.121999091999101366.581504.561999111434.971999122000011800.321535.002000021714.582000032000041928.111836.322000051894.552000062000072023.542000082021.202000091910.16732000101961.292000112070.612000122073.482001012065.612001021959.182001032112.772001042119.182001052214.262001062218.032001071920.322001081834.142001091764.872001101689.172001111747.992001121645.972002011491.672002021524.702002031603.9174optionsnodate;procforecastdata=amexlinterva^monthmethod=stepartrend=21ead=3outest=est_outloutful1out=predl;iddate;varclose;run;procprintdata=est_outl;titlelTPlotofForecastsfromSTEPARMethod75var_type_close;run;procprintdata=predl;run;procgplotdata=predl;plotclose*date=_type_/vaxis=axisihaxis=axis2;symbol1i=nonev=starh=lr=lc=green;卜

for_type_=ACTUAL*/symbol2i=sp_linev=circleh=lr=lc=red;卜

for_type_=FORECASTV76symbol3i=sp_line1=3r=lc=blue;卜

for_type_=L95*/symbol4i=sp_line1=3r=lc=blue;卜

for_type_=U95*/axisiorder=(800to2800by200)minor=(number=3);axis2order=(T01jan971dtoT01aug20021dbysemiyear)minor=(number=5);run;procforecastdata=amexlinterva^monthmethod=exponstart=8weight=O.4trend=21ead=3outest=est_out2outful177out=pred2;iddate;varclose;run;procprintdata=est_out2;titleTPlotofForecastsfromEXPOMethodvar_type_close;run;procprintdata=pred2;run:78procgplotdata=pred2;plotclose*date=_type_/vaxis=axisihaxis=axis2;symbol1i=nonev=starh=lr=lc=green;卜

for_type_=ACTUALvsymbol2i=sp_linev=circleh=lr=lc=red;卜

for_type_=FORECASTVsymbol3i=sp_line1=3r=lc=blue;/*for_type_=L95-/symbol4i=spline1=3r=lc=blue;/*for_type_=U95-/axisiorder=(800to2800by200)minor=(number=3);79axis2order=(T01jan971dtoT01aug20021dbysemiyear)minor=(number=5);run;procxlldata=amexlnoprint;monthlycharts=nonedate=date;varclose;pdweightsmon=ltue=lwed=lthu=lfri=l;outputout=mon_outlal=monldlO=seasona_ldll=adjustdl2=trenddl3=irreg;run;procprintdata=mon_outl(obs=15);80titleT1;vardatemonltrendadjustseasonalirreg;run;procgplotdata=mon_outl;plotseasonalVfdate/vaxis=axisihaxis=axis2vref=90110;symbolv=T.Ti=join1=1font=swissb;axisiorder=(85to115by5)minor=(number=4)axis2label=Ctime')order=C01jan971dtoT01aug20021dbysemiannual)minor=(number=5);run:81procgplotdata=mon_outl;plotmonl"'datetrend^date/overlayvaxis=axisihaxis=axis2;symbol1v=T.1i=join1=1font=swissb;symbol2v=T.1i=join1=22font=swissb;axisiorder=(800to2800by200)minor=(number=3);axis2labe^C'time')order=(101jan971dtoT01aug20021dbysemiannual)minor=(number=5);run:8210.2.5ARIMAX模型（帶有干預(yù)序列的ARIMA模型）有時(shí)要考慮其它時(shí)間序列對(duì)一個(gè)吋間序歹的影響，例如太陽(yáng)黑子對(duì)某地區(qū)降雨量的影響，石油價(jià)格對(duì)股價(jià)的影響。BOX和刁錦寰提出ARIMAX模型，又稱(chēng)為帶有丁預(yù)序列的ARIMA模型或動(dòng)態(tài)回歸模型。一般來(lái)說(shuō)，滿(mǎn)足a+cB+…+dBpl+e5+…+，打,++..+g+hB+...+niBfil+r5+."+iWBvZt

+的隨機(jī)序列X”Zt，稱(chēng)為ARIMAX模型（帶有干預(yù)序列的鯉m1ARIMA模型），其中Xt，…，Zt稱(chēng)為干預(yù)序列，稱(chēng)為輸出序列。ARIMAX模型的計(jì)算仍用arima過(guò)程，但identify語(yǔ)句中要83用選項(xiàng)crosscorr=指明T*預(yù)序列，estimate語(yǔ)句要用input=選項(xiàng)指明每個(gè)T預(yù)序列推移算子的形式。此外，出丁什算的考慮，［:預(yù)序列分為脈沖式干預(yù)序列（即除很少的幾個(gè)t外，人=0）和持續(xù)式干預(yù)序列（有無(wú)數(shù)個(gè)t，JT,矣0），持續(xù)式丁預(yù)序列耑耍預(yù)白噪聲化，即先川-個(gè)ARIMA模型擬合干預(yù)序列，該模型應(yīng)足以將殘差降為白噪聲，然后用此模型過(guò)濾丁預(yù)序列和輸11!序列，并計(jì)算過(guò)濾后這兩個(gè)序列的!I:相關(guān)系數(shù)。當(dāng)你使川identifyestimated句來(lái)擬合T預(yù)序列的模型I時(shí)，arima過(guò)程將自動(dòng)地執(zhí)行這個(gè)預(yù)T］噪聲化。例10.5某大然1爐的大然1輸入速率I和《）2輸岀速84率r的304個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)相應(yīng)程序，（最后的4個(gè)co2值未知以便予報(bào)），將天然氣爐的天燃?xì)廨斎胨俾蔍作為干預(yù)因子，試建立數(shù)學(xué)模型并預(yù)報(bào)后而6個(gè)CO2值解■編寫(xiě)如下程序:dataarmax;inputxcards;-0.109y53.8053.60.17853_50.33953.50.37353.40.44153.10.46152.70.34852.40.1278552.2-0.1852.452-0.58852-1.055-1.42154.953-1.5254-1.302-0.81456.856-0.47556.8-0.1930.0085556.40.43555.70.7710.86652.354.30.87553.20.8910.98751.61.26351.21.77550.8861.97649.250.51.934501.8661.83247.648.71.76747.91.6081.26547.647.50.7947.50.360.1155048.10.088490.3310.64551.951.10.9651.81.4092.675051.72.83451.22.8122.48348.31.929471.4858745.81.21446.945.61.239461.6081.90548.347.82.02348.21.8150.53547.247.90.12247.20.0090.16450.648.10.67149.41.0191.14651.251.51.11551.61.1121.12150.51.22350.11.25749.8881.15749.349.60.91349.40.620.25549.749.2-0.2849.3-1.08-1.55152.850.3-1.79951.3-1.825-1.45656.954.4-0.94456-0.57-0.43156.657.5-0.57757.3-0.96-1.61655.456-1.87555.4-1.891-1.74656.4-1.47457.2-1.201895853.4-0.92758.158.4-0.52458.40.040.7885657.70.943570.931.00652.154.71.13753.21.1981.05450.551.60.59551-0.08-0.31451.850.4-0.28851-0.135-0.10952.4-0.18753-0.25590-0.22953.853.6-0.00753.70.2540.3353.353.80.10253.8-0.423-1.13953.453-2.27552.9-2.594-2.7165854.6-2.5156.4-1.79-1.3466059.4-1.08160.2-0.91-0.87657.659.4-0.88558.4-0.8-0.54456.9-0.41656.4-0.271915650.7055.70.40355.30.841551.28554.41.60753.71.74652.81.68351.61.48550.60.99349.40.64848.80.57748.50.57748.70.63249.20.74749.80.950.40.99350.70.96850.90.79920.39950.5-0.16150.4-0.55350.2-0.60350.4-0.42451.2-0.19452.3-0.04953.20.0653.90.16154.10.301540.51753.60.56653.20.56530.57352.80.59252.30.67151.90.93351.61.33751.61.4651.41.35351.20.7729350.70.21849.350-0.23749.4-0.714-1.09951.849.7-1.26950.6-1.175-0.67655.3530.033540.5560.64354.655.90.48455.90.109-0.3152.153.6-0.69752.4-1.047-1.21852.3-1.18353-0.87253.894-0.3