2022年湖北省武漢為明學(xué)校高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(%)=坐，若關(guān)于％的方程"(X)F-〃礦(x)+：=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

x8

()

A.嗎B.(0,奉eg，》口.(爭)

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)x值的個(gè)數(shù)為()

I開當(dāng)]

7^7

A.1B.2C.3D.4

3.已知復(fù)數(shù)2=一』一，則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

3+4/

4444

A.-B.一一C.-iD.一一i

5555

4.已知函數(shù)/(x)=<：：：[],若不等式/(x)Wx-Z|對任意的xeR恒成立,

則實(shí)數(shù)A的取值范圍是()

A.(-oo,l]B.[l,+oo)C.[0,1)D.(-1,0]

22

5.已知點(diǎn)A(2百3加)在雙曲線*}=1伍>0)上，則該雙曲線的離心率為()

A.叵B.巫C.屈D.2廂

32

6.設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù)，則“/。8(12</08;12"是“2">2">2'’的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)〃x)=(lnoxT，+6_4),若%>()時(shí)，“力之。恒成立，則實(shí)數(shù)"的值為()

A.2eB.4eC.>-----D.一1：

\!e—2\/4-e

22i22

8.設(shè)雙曲線9一3=1(。>0,人>0)的一條漸近線與拋物線y=Y+§有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓鼻+2=1

的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

7o92222)

A.---上=1B.--—=1C.---二=1D.二—二=1

43432332

9.已知函數(shù)/(力=優(yōu)(a>0,且a/1)在區(qū)間［肛2ml上的值域?yàn)?2問，貝||。=()

A.y/2B.—C.工或D?丁或4

4164

10.-----中，如果rn<.__(八_-Tn———'則------的形狀是()

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

11.如圖是二次函數(shù)/(x)=f一法+〃的部分圖象，則函數(shù)g(x)=alnx+f'(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

12.已知集合例={x|-2<x<6},7V={x|-3<x<log235},則MnN=()

A.{x|-2<x<log235)B.{x|-3<x<log235}

C.{x|-3<x<6}D.{x|log235<x<6}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y-l<0,

13.已知》,丁滿足約束條件,2x+y-4<0,,則2=彳+丫的最小值為.

yw2x,

14.已知“是拋物線：/=2x上一點(diǎn)，N是圓f+(y—2)2=l關(guān)于直線x-y=()對稱的曲線。上任意一點(diǎn)，則|肱V|

的最小值為

15.已知集合A={x|OWx〈l},B={x\a-l<x<3},若A]B中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)”的值為.

16.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問題“今有圓堡雕，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十

二尺，術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說的圓堡雕就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，

十二而一”，就是說：圓堡璇（圓柱體）的體積為丫=-!-*（底面圓的周長的平方x高），則由此可推得圓周率"的取

12

值為?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)函數(shù)=-磯awR）.

（1）當(dāng)a=4時(shí)，求不等式/（x）35的解集；

（2）若〃x）24對xeR恒成立，求”的取值范圍.

18.（12分）設(shè)橢圓E：安（a,b>0）過M（2,、6），N（",l）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且礪_L而？若存在，寫出該

圓的方程，若不存在說明理由.

19.（12分）已知外鳥為橢圓E:]+%=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，離心率為點(diǎn)尸（2,3）在橢圓上.

（1）求橢圓E的方程；

1,1

（2）過E的直線4,4分別交橢圓于A、。和氏。，且問是否存在常數(shù)X,使得為，4師成等差數(shù)列？

若存在，求出4的值；若不存在，請說明理由.

22

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：[+4=1（。>匕>。）的左、右焦點(diǎn)分別為6、F?,且點(diǎn)片、

F2與橢圓C的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形.

\MF\

(2)已知直線/與橢圓C相切于點(diǎn)P,且分別與直線x=T和直線x=-1相交于點(diǎn)“、N.試判斷《制是否為定

值,并說明理由.

22

21.(12分)已知橢圓C:「+A=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(—0,0)、F2(72?0).點(diǎn)M(1,0)

6r

與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

(1)求橢圓c的方程;

(2)已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)(n#3).過點(diǎn)M任作直線1與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),

設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為％、k2、k3,若ki+k3=2k2,試求m,n滿足的關(guān)系式.

22.(10分)若不等式1+2'+4'也＞0在xe(CU]時(shí)恒成立，則。的取值范圍是

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

求導(dǎo)，先求出“X)在》40,向單增，在xe(&,+oo)單減，且/(x)111a*=/(&)=；知設(shè)f(x)=f,則方程

1

[/(X)]29-〃礦。)=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程

o

1_1

/7一機(jī)/+7=0在(0,彳)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.

82

【詳解】

--x2-2xelnx

依題意,、e(l-21nx),

fW=x

令/'(x)=。，解得lnx=g,x=&，故當(dāng)x￡((),〃)時(shí)，Z(x)>0,

當(dāng)X￡(G,+OO),/r(x)<0,且于(品)="n傘=j_,

e2

11

故方程9/一〃x=0在(0,-)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

82

1

A>0nr一一>0n

2

(4一>017771_

故------1—>0

824

0</,+z<

2Q<m<\

，也>。

解得me

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法:

⑴構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)g(x)(g'(x)易求，g'(x)=0可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)

的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；

(2)定理法：先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端

點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2.C

【解析】

試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)x<2時(shí)，令/一1=3,得x=±2；當(dāng)x>2時(shí)，令咋2%=3,得

x=9,故輸入的實(shí)數(shù)x值的個(gè)數(shù)為1.

考點(diǎn)：程序框圖.

3.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出

【詳解】

55(3-4z)34.

z=----=------------=----1

3+4i(3+4z)(3-4z)55

4

則復(fù)數(shù)z的虛部為-g.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

先求出函數(shù)“X)在(1,0)處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)［和g(x)=|x—4的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=lnx,nf(x)=Ln/⑴=1,所以函數(shù)/(x)在(1,0)處的切線方程為：y=x-\,令

g(x)=|x-K，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(％,0).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)/(x)=<；；：［［和g(x)=B一％|的圖象如下圖的所示：

y

利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式/(x)w|x-Z|對任意的xeR恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是ZW1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.C

【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長，進(jìn)而求得離心率.

【詳解】

將x=2Gy=3jiU代入方程才方=1e>0)得/?=3ji限而雙曲線的半實(shí)軸。=而，所以c=壽=10,

得離心率0=￡=屈,故選C.

a

【點(diǎn)睛】

此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】

由“l(fā)og?2<logb2"，得"一<";"」，

ab

log2alog2b

log9a<0

得〈"八或log,b>0或0>log2a>log,b,

log2b>Q

0<a<1

即1或a>b>l或Q<b<a<i,

b>\

由2">2">2，得。>反>1,

故"log：<log；”是"2">2'>2”的必要不充分條件，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

【解析】

通過分析函數(shù)y=lnar-l(x>0)與丫=/+。1-4(》>0)的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)/,解方程組

lnaz-l=0

即得解.

a2+at-4=0

【詳解】

如圖所示，函數(shù)y=lnar-l(x>0)與y=x2+ar-4(x>0)的圖象,

因?yàn)閄>0時(shí)，/(x"0恒成立,

于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)/,

Inaf—1=0

所以《

a2+at-4=0

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解

掌握水平.

8.B

【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y="，與拋物線方程聯(lián)立，利用△=(),求出人的值，得到，的值，求出。力關(guān)系，進(jìn)而判

b

無2

斷出。大小，結(jié)合橢圓二2+y

1的焦距為2,即可求出結(jié)論.

a

【詳解】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=依，

代入拋物線方程得x2-kx+^=0,

42

依題意A=K-3==±耳,

bV3百

fv2

二橢圓三=1的焦距彳=2,

—b2-b2=—b2=\,b2=3,a2=4,

33

22

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕-'=1.

43

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置，屬于中檔題.

9.C

【解析】

對a進(jìn)行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.

【詳解】

mn

a=ma'=2m

分析知，相＞0.討論：當(dāng)時(shí)，”,所以"”=2,m=2,所以。=、/5；當(dāng)0<a<l時(shí)，\

a2'"=2ma2'"=m

所以所以a=-!-.綜上，a=L或a=O,故選C.

241616

【點(diǎn)睛】

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題，指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素

養(yǎng).

10.B

【解析】

化簡得lg8sA=lg=-lg2,即_加二/結(jié)合?！炊炊汕骭，得一代入s加。=.$加3,從

c°s匚=芯=:==+=———

而可求C,B,進(jìn)而可判斷.

【詳解】

由二二85二=二二雙!1二一二二011二=一二二2，可得四8$4=__血_=-四2,..._

□cos-

=:

<0<匚<口'9??smC^sinb―,??tcmC'-一,C^—，B-—?

gfn信一二）*os二+%m二亨||

==f二十二

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出。范圍，)'軸截距，求出。的范圍，判斷g(x)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)，即可求出結(jié)論.

【詳解】

'：f(x)=x2-bx+a,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,

二次函數(shù)的對稱軸為x=g,0＜/(0)=。＜1,

g<x=《<l,Vf'(x)=2x-b,

所以g(無)=aInx+f\x)=aInx+2x-b在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(g)=alng+l_0<0,g6=alnl+2-0>0,

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知5<log235<6,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】

v5<log235<6,

集合M={x|-2<x<6},

由交集運(yùn)算可得McN={x[—2<x<log235}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-3

【解析】

作出約束條件所表示的可行域，利用直線截距的幾何意義，即可得答案.

【詳解】

畫出可行域易知z=x+y在點(diǎn)A(-1,一2)處取最小值為—3.

故答案為：—3

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單線性規(guī)劃的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.V3-1

【解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標(biāo)，求出對稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值，減去半徑即可得到的

最小值.

【詳解】

假設(shè)圓心（0,2）關(guān)于直線x-y=（）對稱的點(diǎn)為（毛,%）,

x%=2

則有《°,解方程組可得，

%0%+2=0.%=0'

122

所以曲線C的方程為（x—2）2+丁=1,圓心為C（2,0）,

設(shè)M（x,y）（x>0）,貝！—2p+y2,

又丁=2x,所以|知。2=（%一2）2+y2=X2—2》+4=（》—1）2+3,

:.\MCf.=3,BPIMCI.=6，所以|M/V|.=73-1,

IIminIIminIInun

故答案為：V3-1.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到

圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.

15.2

【解析】

利用An5中有且只有一個(gè)元素，可得a—1=1,可求實(shí)數(shù)a的值.

【詳解】

由題意中有且只有一個(gè)元素，所以a—1=1,即a=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的交集運(yùn)算，集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

16.3

【解析】

|I,

根據(jù)圓堡璇(圓柱體)的體積為丫=—X(底面圓的周長的平方X高)，可得一X(2Q)7?=萬產(chǎn)進(jìn)而可求出乃的值

1212'

【詳解】

解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為廣,圓柱的高為〃，由題意知

1,

l

—xh=71rh，解得兀=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思，結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1){x|x4O或xN5}；(2)a<-3^a>5.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)絕對值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解集，最后求并集(2)根據(jù)絕對值三角不等式得

/(x)最小值，再解含絕對值不等式可得。的取值范圍.

Illifx<ll<x<4x〉4

試題解析：(D卜一1|+k一4|之5等價(jià)于1或3>5或

2元一525'

解得：》<()或%25.故不等式/(力25的解集為{刈1<0或》25}.

(2)因?yàn)椋?(x)=|x-l|+|x-a|>|(x-l)-(x-?)|=|?-l|

所以/(x)mM=|。一1|，由題意得：|。一1|24,解得3或“25.

點(diǎn)睛：含絕對值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函

數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向.

22o

18.(1)—+^-=1(2)9+)2=一

84-3

【解析】

￡.+/

試題分析：(D因?yàn)闄E圓E:部'十乒=1(a,b>0)過M(2,0),N(6,1)兩點(diǎn),

42_1_1

2,22ng22

所以{1,解得{：:所以{，一橢圓E的方程為三+匕=1

6111/=484

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且0A±而，設(shè)該圓的切線方程

y=kx+m

為丫=&+〃?解方程組{/y2得爐+2(履+“2)2=8,即(1+2女2)/+45吠+2根2—8=0,

—+—=1

84

貝!]△=16k2m2-4(1+2^2)(2m2-8)=8(8公-m2+4)>0,BP8A:2-m2+4>0

4km

2m2-8

XX=-----T-

121+2公

2-8)22加？一8公

22k(2nv4km2

%%=(履1+m)(左2+“)=kxx+km?+x2)+m------------------卜〃廣=-------

121+2k21+2公1+2公

V(2m2-8)4k2m?/-8k°

yy={kx+m){kx+m)=k2xx+km{x+%)+〃/=-------+m2=-------—

2]2]2}1+2421+2/1+2左2

要使函,就需使'+—,即筌RS=。,所以34西―。，所以八中之。又

8k~—nV+4>0,

由I、Ii>2er-1,12、8口口2-\/6-2,\/6

所以｛,，所以根2二，即//2—*—或〃24-——,

3m2>8333

因?yàn)橹本€丫=區(qū)+加為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，

22c

m

II__〃廠_OI-

所以圓的半徑為7二-yU，廠2=立正=13m2—8=5,r=2,

Jl+公1+—3

O

所求的圓為f+y2=g此時(shí)圓的切線丫=履+機(jī)都滿足〃此2匹或加《一名色

333

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±2?與橢圓上+廣=1的兩個(gè)交點(diǎn)為（淮，士或（一巫，土巫）滿足

384333

OA1OB,

Q

綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓Y+y2=5,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且麗，麗.

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓與橢圓的位置關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，往往要利用韋達(dá)定理.存在性問題，往往從假設(shè)存在出發(fā)，運(yùn)

用題中條件探尋得到存在的是否條件具備.(2)小題解答中，集合韋達(dá)定理，應(yīng)用平面向量知識(shí)證明了圓的存在性.

r2v27

19.(1)—+<-=1；(2)存在，—.

161248

【解析】

(1)由條件建立關(guān)于Ac的方程組，可求得a,b,c,得出橢圓的方程；

(2)①當(dāng)直線4c的斜率不存在時(shí)，可求得|4。=6,|明=8,,求得4,②當(dāng)直線加-的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)

小：丁=依》+2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段M[=尊打，再由(_L/?得出線段忸。|二,根

據(jù)等差中項(xiàng)可求得2,得出結(jié)論.

【詳解】

a2=16

....49r2

(1)由條件得,下+m=1n6二12,所以橢圓后的方程為:--1----11

1612

c2=4

a2=h2^c2

(2)￡(一2,0),

①當(dāng)直線兒的斜率不存在時(shí)，MC=6,忸。=8,義+焉=：+:=(,此時(shí)丸=二,

/IC￡>zJOoZ448

’22

—廠I—y=1

②當(dāng)直線/心的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)/檢：y=M、+2),聯(lián)立1612消元得

y=k(x+2)

(4k2+3)x2+16/x+1一48=0,

16《_16公_48

設(shè)4(石，必),。(々，必)

4F+3''I%-4^+3

22

|AC|=dT+k\x]-x2\=\Jl+k.+々)2-4%%2=24(、+'),

24（左2+1）

V直線BO的斜率為-同理可得忸=

K1,4+3公

4（一1）“+3

114女2+34+3d7（1+公）7

-------------]----------------=---------------------------------------------------------------------------------------------ZZZ-------

\AC\\BD\24（1+A:2）24（公+1）24（1+A:2）24

77

2/1=」-,所以幾=」-

2448

71.1

綜合①②，存在常數(shù)4=欣，使得的，兒師成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題，當(dāng)兩直線的斜率具

有關(guān)系時(shí)，可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長，屬于中檔題.

fV21

20.(1)—+^-=1(2)局為定值一.

432

【解析】

(1)根據(jù)題意，得出。，仇c,從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)根據(jù)題意設(shè)直線方程/：丫=匕+，〃，因?yàn)橹本€與橢圓相切,這有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓方程得

(4爐+3)/+8k我+4(加2-3)=(),貝！］△=(),解得4r+3—=o①

把x=-4和x=-l代入y=Ax+，〃,得M（-4,-4左+〃?）和+

I-.|N*1

|N6的表達(dá)式，比即可得出局=5為定值.

【詳解】

解：（1）依題意,2c=a=2,r.c=1/=6?

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+乙=1.

43

⑵闔|N￡為|定值于1

①因?yàn)橹本€/分別與直線x=-4和直線x=—l相交,

所以，直線/一定存在斜率.

②設(shè)直線/:y=kx+m,

由“；2[2得（4乃+3卜2+8knr+4（〃—3）=。,

由△=（8A〃）2-4x（4%2+3）x4（m2—3）=0,

得4^+3-加=0.①

把x=Y代入>=丘+帆,得+

把x=_]代入>=履+加,得N（T,_A+w）,

又因?yàn)槎═O）心（1,0）

所以的周=卜k+冽|,

眼用=J（T+l『+（-+=心+（-4攵+加『，②

由①式，得3=4-4左2,③

把③式代入②式，得|M耳卜，4（%-〃2）2=2\-k+m\,

.MU"時(shí)J即加用1

\MF\2k-同2抑畫|為定值5。

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，考查橢圓的定值問題，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，是中檔

題.

21.（1）—+y2=1；（2）m-n-l=0

3

【解析】

試題分析：（1）利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)出過M的直線

1的方程，將1與橢圓C聯(lián)立，得到兩