專題23.6相似三角形的性質-2021-2022學年九年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【華師大版】

2021-2022學年九年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題23.6相似三角形的性質姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2020秋?邵陽縣期末）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝5：4，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．5：4 B．4：5 C．2：5 D．5：2【分析】根據(jù)相似三角形的性質求出相似比，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比解答．【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝5：4，∴△ABC與△DEF的相似比為5：2，∴△ABC與△DEF的周長比為5：2，故選：D．2．（2020秋?鹽城期末）兩個相似三角形面積比是4：9，其中一個三角形的周長為18，則另一個三角形的周長是（）A．12 B．12或24 C．27 D．12或27【分析】根據(jù)相似三角形的性質求出相似比，得到周長比，根據(jù)題意列出比例式，解答即可．【解析】∵兩個相似三角形面積比是4：9，∴兩個相似三角形相似比是2：3，∴兩個相似三角形周長比是2：3，∵一個三角形的周長為18，設另一三角形周長為x，∴18：x＝2：3或x：18＝2：3，解得：x＝12或27，∴另一個三角形的周長是12或27，故選：D．3．（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，ADBD=23，若DE＝4A．6 B．8 C．9 D．10【分析】因為DE∥BC，可△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質即可求出BC的長．【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=又∵ADBD=∴ADAB=∴4BC=∴BC＝10．故選：D．4．（2021?鄞州區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，E是線段AC上一點，且AE：CE＝1：2，過點C作CD∥AB，交BE的延長線于點D．若△BCE的面積等于4，則△CDE的面積等于（）A．8 B．16 C．24 D．32【分析】由△BCE中CE邊上的高和△ABE中AE邊上的高相等可求得S△ABE＝2，根據(jù)相似三角形的判定證得△ABE∽△CDE，根據(jù)相似三角形的性質即可求得結果．【解析】∵△BCE中CE邊上的高和△ABE中AE邊上的高相等，且AE：CE＝1：2，∴S△BCE＝2S△ABE，∵S△BCE＝4，∴S△ABE=12×4＝∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△CDE=（AE∴2S△CDE=（12）∴S△CDE＝8，故選：A．5．（2020秋?麗水期末）如圖，在△ABC中，∠AED＝∠B，若AB＝10，AE＝8，DE＝6，則BC的長為（）A．403 B．245 C．154 D【分析】由已知得出△ABC∽△AED，根據(jù)對應邊成比例列出方程即可得到答案．【解析】∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，∴AEAB=∵AB＝10，AE＝8，DE＝6，∴810=∴BC=152故選：D．6．（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，連接EF，分別交AD，CD于點G，H，則下列結論錯誤的是（）A．FHEH=CFAD B．EGGH=AGGD 【分析】由平行四邊形的性質可得AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，利用相似三角形的性質依次判斷即可求解．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∴△CHF∽△BEF，∴FHEH=∴FHEH=CFAD∵AB∥CD，∴△AGE∽△DGH，∴EGGH=AGGD∵AD∥BC，∴△AEG∽△BEF，∴AEBE=EGEF=AG故選：D．7．（2019秋?河南期末）如圖，△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC上的點，DE∥BC，點H是邊BC上的點，連接AH交線段DE于點G，且BH＝DE＝12，DG＝8，S△ADG＝12，則S四邊形BCED＝（）A．24 B．22.5 C．20 D．25【分析】由相似三角形的判定與性質求出BC的長為18，△ADG與△AGE同高不同底求出S△AGE的面積為6，最后根據(jù)圖形的面積的和差法求出S四邊形BCED的面積為22.5．【解析】如圖所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=又∵BH＝DE＝12，DG＝8，∴BC=BH?DEDG又∵DE＝DG+GE，∴GE＝12﹣8＝4，又∵△ADG與△AGE的高相等，∴S△ADGS又∵S△ADG＝12，∴S△AGE=又∵S△ADE＝S△ADG+S△AGE，∴S△ADE＝12+6＝18，又∵S△ABCS∴S△ABC=18×(又∵S四邊形BCED＝S△ABC﹣S△ADE，∴S四邊形BCED故選：B．8．（2021?大慶）如圖，F(xiàn)是線段CD上除端點外的一點，將△ADF繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉90°，得到△ABE．連接EF交AB于點H．下列結論正確的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1：3 C．AF2＝EH?EF D．EB：AD＝EH：HF【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，從而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正確；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EF=2AE，則B不正確；若AF2＝EH?EF成立，可得EH=12EF，即H是EF的中點，而H不一定是EF的中點，故C不正確；由AB∥CD，由平行線分線段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故【解析】∵△ADF繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉90°，得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴∠EAB＝∠DAF，∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，故A不正確；∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=2AE，∴AE：EF＝1：2，故B不正確；若AF2＝EH?EF成立，∵AE：EF＝1：2，∴EH=22AF∴EH=12EF即H是EF的中點，H不一定是EF的中點，故C不正確；∵AB∥CD，∴EB：BC＝EH：HF，∵BC＝AD，∴EB：AD＝EH：HF，故D正確；故選：D．9．（2020秋?長寧區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，點D、點E是邊BC上的兩點，聯(lián)結AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式錯誤的是（）A．AB2＝BE?BC B．CD?AB＝AD?AC C．AE2＝CD?BE D．AB?AC＝BE?CD【分析】根據(jù)相似三角形的性質，由△ABE∽△CBA得到AB：BC＝BE：AB，則可對A選項進行判斷；由△ABE∽△CBA得到∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，則證明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性質得CD：AC＝AD：AB，則可對B選項進行判斷；證明△CAD∽△ABE得到AD：BE＝CD：AE，加上AD＝AE，則可對C選項進行判斷；利用△CBA∽△ABE得到AB?AC＝AE?CB，由于AE2＝CD?BE，AE≠CB，則可對D選項進行判斷．【解析】∵△ABE∽△CBA，∴AB：BC＝BE：AB，∴AB2＝BE?BC，所以A選項的結論正確；∵△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，∴∠ADE＝∠BAC，∵∠ADC＝∠BAC，∴△CAD∽△CBA，∴CD：AC＝AD：AB，即CD?AB＝AD?AC，所以B選項的結論正確；∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，∴△CAD∽△ABE，∴AD：BE＝CD：AE，即AD?AE＝CD?BE，∵AD＝AE，∴AE2＝CD?BE，所以C選項的結論正確；∵△CBA∽△ABE，∴AC：AE＝CB：AB，∴AB?AC＝AE?CB，∵AE2＝CD?BE，AE≠CB，∴AB?AC≠BE?CD，所以D選項的結論不正確．故選：D．10．（2021?連云港）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點D，AD=47AC，AB＝2，∠ABC＝150°，則△DBCA．3314 B．9314 C．33【分析】過點C作BD的垂線，交BD的延長線于點E，可得△ABD∽△CED，可得ADCD=ABCE=BDDE，由AD=47AC，AB＝2，可求出CE的長，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，則∠CBD＝60°，解直角△【解析】如圖，過點C作BD的垂線，交BD的延長線于點E，則∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴ADCD=∵AD=47AC∴ADCD=∴ABCE=2CE=∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE=33CE=∴BD=47BE=∴S△BCD=12?BD?CE=故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2021?興化市模擬）已知兩個相似三角形的相似比為4：9，那么這兩個三角形的周長之比為4：9．【分析】直接利用相似三角形的周長比等于相似比，進而得出答案．【解析】∵兩個相似三角形的相似比為4：9，∴它們的周長比等于相似比，即：4：9．故答案為4：9．12．（2019秋?瑞安市期末）已知兩個相似三角形△ABC與△DEF的相似比為3．則△ABC與△DEF的面積之比為9．【分析】直接根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方求解．【解析】∵△ABC與△DEF的相似比為3，∴△ABC與△DEF的面積之比為9．故答案為9．13．（2021?鹿城區(qū)校級一模）如圖，點O為平行四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點，點E為邊BC的中點，連接AE交BD于點F，則OFBD的值為16【分析】連接OE，如圖，根據(jù)平行四邊形的性質得到OA＝OC，OB＝OD，則OE為△CAB的中位線，所以OE∥AB，OE=12AB，證明△OEF∽△BAF，利用相似比得到OFBF=【解析】連接OE，如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵點E為邊BC的中點，∴OE為△CAB的中位線，∴OE∥AB，OE=12AB∵OE∥AB，∴△OEF∽△BAF，∴OFBF=∴OFOB=∴OFBD=故答案為16．14．（2020秋?麗水期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC邊上的動點，連接AE，過點E作EF⊥AE交CD于點F．（1）若BE＝1，則CF的長為1；（2）在點E運動的過程中，CF的最大值為43．【分析】（1）由矩形的性質及EF⊥AE知∠BAE+∠AEB＝90°、∠CEF+∠BEA＝90°，得出∠BAE＝∠CEF，即可證△BAE∽△CEF得ABCE=（2）設BE＝xcm，由相似三角形的性質得比例式，從而得到函數(shù)關系式，配方可得最值．【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠CEF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴ABCE=∵BE＝1，BC＝4，∴CE＝3，∴33=∴CF＝1．故答案為：1．（2）如圖所示，設BE＝xcm，由①得△BAE∽△CEF，∴CFBE=∴yx=整理，得：y=-13x2+4根據(jù)函數(shù)圖象可知，拋物線y=-13[（x2﹣4x+4）﹣4]=-13（x﹣2）開口向下，拋物線的頂點坐標是它的最高點、且x＝2在函數(shù)的定義域內(nèi)．所以當BE的長為2時，CF的長最大為43．故答案為：43．15．（2021?南崗區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC上一點，連接BD，∠ABD＝3∠A，若BD＝5，AD＝11，則BC的長為1255【分析】作∠ABE＝∠A交AC于E，作BF⊥AC于F，構造出兩個等腰△ABE和△DBE，由勾股定理可得DG＝4，再借助面積法求得BF的長即可．【解析】如圖，作∠ABE＝∠A，交AC于E，作BF⊥AC于F，DG⊥BE于G，設∠A＝x，則∠ABE＝x，∵∠ABD＝3∠A，∴∠BEF＝2x，∠EBD＝2x，∴DE＝BD＝5，∴AE＝BE＝11﹣5＝6，∵DG⊥BE，∴BG＝3，在Rt△BDG中，由勾股定理得：DG=52由S△BED=125×BF＝6×4，∴BF=245∴DF=75，EF=∴AF=485∵△AFB∽△BFC，∴BF2＝AF×CF，∴(245∴CF=125在Rt△CFB中，由勾股定理的：BC=(12故答案為：125516．（2021?深圳模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，AB的中點，BD與CE交于點O，連接DE．下列結論：①OEOB=ODOC；②DEBC=12其中，正確的有②④．【分析】由三角形的中位線定理可得DE∥BC，BC＝2DE，可證△DEO∽△BCO，由相似三角形的性質依次判斷可求解．【解析】∵D，E分別是邊AC，AB的中點，∴DE∥BC，BC＝2DE，∴DEBC=12∵DE∥BC，∴△DEO∽△BCO，∴OEOC=ODOB=DEBC=∴ODDB=∴S△DOES△DBE=故答案為：②④．17．（2020秋?涵江區(qū)期末）如圖，直角三角形紙片ABC，AC邊長為10cm，現(xiàn)從下往上依次裁剪寬為4cm的矩形紙條，若剪得第二張矩形紙條恰好是正方形，那么BC的長度是20cm．【分析】根據(jù)矩形的性質，可知：DE∥BC，進而可得出△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質即可求出BC的長度．【解析】在圖中標上字母，如圖所示．根據(jù)矩形的性質，可知：DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴BCDE=∴BC=ACAD?DE=1010-4-4×4故答案為：20．18．（2021?寧波模擬）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，過點A作AF∥BC，分別交∠AED，∠ACB的平分線于點F，G．若BD＝2AD，CG平分線段BD，則FGBC=43【分析】根據(jù)線段中點的定義得到BH＝DH，確定BH=12BD，推出AD=13AB，根據(jù)相似三角形的性質得到AEAC=ADAB=13，根據(jù)平行線的選擇得到∠AED＝∠ACB，根據(jù)角平分線的定義得到∠【解析】∵CG平分線段BD，∴BH＝DH，∴BH=12BD∵BD＝2AD，∴AD＝DH＝BH，∴AD=13AB∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∵CG是∠ACB的平分線，EF是∠AED的平分線，∴∠AEF=12∠AED，∠ACG=12∴∠AEF＝∠ACG，∴EF∥CG，∴△AEF∽△ACG，∴AFAG=∴FG＝2AF，AG=32FG設AB與CG交于H，∵AG∥BC，∴△AGH∽△BCH，∴AGBC=AH∴32FGBC∴FGBC=故答案為43．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2021?南京一模）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，DF⊥AE，垂足為F．（1）求證△ADF∽△EAB；（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的長．【分析】（1）由矩形的性質得出AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，由平行線的性質得出∠DAF＝∠AEB，證出∠AFD＝∠B，即可得出結論；（2）由勾股定理求出AE，由相似三角形的性質得出對應邊成比例，即可求出DF的長．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∴△ADF∽△EAB；（2）解：∵BC＝AD＝10，E是BC邊的中點，∴BE＝5，∴AE=AB2由（1）得：△ADF∽△EAB，∴DFAB=即DF12=解得：DF=1201320．（2021?江干區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，DE⊥AB于點E，BD?DE＝BE?CD．（1）求證：△BCD∽△BDE；（2）若BC＝10，AD＝6，求AE的長．【分析】（1）BD?DE＝BE?CD得到BDBE=CDDE，由∠BDC＝∠BED（2）根據(jù)相似三角形的性質∠EBD＝∠DBC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可CD＝AD＝6，則有BA＝BC＝10，根據(jù)勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性質求出BE，于是可求出AE的長．【解析】（1）證明：∵點BD⊥AC于點D，DE⊥AB于點E，∴∠BDC＝∠BED＝90°，∵BD?DE＝BE?CD，∴BDBE=∴△BCD∽△BDE；（2）解：∵△BCD∽△BDE，∴∠EBD＝∠DBC，∵BD⊥AC，∴CD＝AD＝6，BA＝BC＝10，∵BD⊥AC，∴BD=BC2∵△BCD∽△BDE，∴BEBD=∴BE8=∴BE=325∴AE＝BA﹣BE＝10-32521．（2021?拱墅區(qū)校級四模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F(xiàn)是AB中點，連EF交AD于點G．（1）求證：AD2＝AB?AE；（2）若AB＝5，AE＝4，求DG的值．【分析】（1）證△ADE∽△ACD，得AD：AC＝AE：AD，則AD2＝AC?AE，即可得出結論；（2）連接DF，由（1）得：AD2＝AB?AE，則AD＝25，再證DF是△ABC的中位線，得DF=12AC=52，DF∥AC，然后證△DFG∽△AEG【解析】（1）證明：∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴AD：AC＝AE：AD，∴AD2＝AC?AE，又∵AB＝AC，∴AD2＝AB?AE；（2）解：連接DF，如圖所示：由（1）得：AD2＝AB?AE，∴AD2＝AB?AE＝5×4＝20，∴AD＝25，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵F是AB的中點，∴DF是△ABC的中位線，∴DF=12AC=52，DF∴△DFG∽△AEG，∴DGAG=∴DGAD=∴DG=513AD=51322．（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，E是CD上一點，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求證：△ADE≌△BFA；（2）連接BE，若△BCE與△ADE相似，求ADAB．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠FAB＝90°，∠FBA+∠FAB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根據(jù)全等三角形的判定推出即可；（2）根據(jù)矩形的性質得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根據(jù)平行線的性質得出∠CEB＝∠ABE，設∠CEB＝∠ABE＝x°，根據(jù)等腰三角形的性質求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根據(jù)相似三角形的性質得出兩種情況：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根據(jù)∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，設∠DEA＝∠EBC＝y(tǒng)°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠FAB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BFA中∠DAE=∠FBA∠D=∠∠AFBAE=AB∴△ADE≌△BFA（AAS）；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，設∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，當△BCE與△ADE相似時，有兩種情況：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD=AE2∵AE＝AB，∴ADAB=②∠DEA＝∠EBC，設∠DEA＝∠EBC＝y(tǒng)°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，則∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y(tǒng)°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y(tǒng)°+x°＝（y+x）°＝90°，即y+2x=180y+x=90，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此時點E和點C重合，△BEC不存在，舍去；所以ADAB=23．（2021?姑蘇區(qū)一模）定義：如圖①，若點P在△ABC的邊AB上，且滿足∠1＝∠2，則稱點P為△ABC的“理想點”．（1）如圖②，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=2，AB＝2，試判斷點D是不是△ABC的“理想點”，并說明理由．（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若點D是△ABC的“理想點”，求CD的長．【分析】（1）由已知可得ACAD=ABAC，從而△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠B，可證點D（2）由D是△ABC的“理想點”，分三種情況