高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法增分練-人教版高三全冊數(shù)學試題

第1講數(shù)列的概念與簡單表示法板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎達標]1．已知數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，…，則2eq\r(5)是該數(shù)列的()A．第5項B．第6項C．第7項D．第8項答案C解析由數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，…的前三項eq\r(2)，eq\r(5)，eq\r(8)可知，數(shù)列的通項公式為an＝eq\r(2＋3n－1)＝eq\r(3n－1)，由eq\r(3n－1)＝2eq\r(5)，可得n＝7.故選C.2．[2018·上饒模擬]已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝n，若a1＝2，則a4－a2＝()A．4B．3C．2D．1答案D解析由an＋1＋an＝n，得an＋2＋an＋1＝n＋1，兩式相減得an＋2－an＝1，令n＝2，得a4－a2＝1.故選D.3．[2018·濟寧模擬]若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，則eq\f(1,a5)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(6,5)C.eq\f(1,30)D．30答案D解析∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,n＋1)－eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,nn＋1)，∴eq\f(1,a5)＝5×(5＋1)＝30.故選D.4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則a10＝()A．64B．32C．16D．8答案B解析∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，兩式相除得eq\f(an＋2,an)＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.則eq\f(a10,a8)·eq\f(a8,a6)·eq\f(a6,a4)·eq\f(a4,a2)＝24，即a10＝25＝32.故選B.5．在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，則a9等于()A．256B．510C．512D．1024答案C解析在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.∴a6＝a3·a3＝64，a3＝8.∴a9＝a6·a3＝64×8，a9＝512.故選C.6．[2018·遼寧實驗中學月考]設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝()A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1答案C解析當n＝1時，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴an＝2·2n－1＝2n.選C.7．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是()A．第2項B．第3項C．第4項D．第5項答案B解析∵Sn＝n2－10n，∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；當n＝1時，a1＝S1＝－9也適合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．記f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函數(shù)圖象的對稱軸為直線n＝eq\f(11,4)，但n∈N*，∴當n＝3時，f(n)取最小值．于是，數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第3項．故選B.8．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，則a5的值是________．答案31解析∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴eq\f(an＋1,an－1＋1)＝2，又a1＝1，∴{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即an＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31.9．[2018·洛陽模擬]數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝________.答案eq\f(61,16)解析由題意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2(n≥2)，所以a3＋a5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(61,16).10．[2015·全國卷Ⅱ]設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.答案－eq\f(1,n)解析∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列，且公差為－1，而eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝－1，∴eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).[B級知能提升]1．[2018·天津模擬]已知正數(shù)數(shù)列{an}中，a1＝1，(n＋2)·aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，n∈N*，則它的通項公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(1,n＋1) B．a(chǎn)n＝eq\f(2,n＋1)C．a(chǎn)n＝eq\f(n＋1,2) D．a(chǎn)n＝n答案B解析由題意可得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n＋2)，則an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n－1,n)·…·eq\f(2,3)×1＝eq\f(2,n＋1).故選B.2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(3n＋k,2n)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)答案D解析因為an＋1－an＝eq\f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq\f(3n＋k,2n)＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對任意n∈N*，an＋1－an＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n對任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故選D.3．[2018·重慶模擬]數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an≤\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)＜an＜1，))a1＝eq\f(3,5)，則數(shù)列的第2018項為_______．答案eq\f(1,5)解析∵a1＝eq\f(3,5)，∴a2＝2a1－1＝eq\f(1,5).∴a3＝2a2＝eq\f(2,5).∴a4＝2a3＝eq\f(4,5).∴a5＝2a4－1＝eq\f(3,5)，a6＝2a5－1＝eq\f(1,5)，….∴該數(shù)列周期為T＝4.∴a2018＝a2＝eq\f(1,5).4．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，求數(shù)列{解令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，則Sn當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，2n－1an＝Sn－Sn－1＝－6，∴an＝－eq\f(3,2n－2).而n＝1時，a1＝3，不符合上式，∴通項公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,－\f(3,2n－2)，n≥2.))5．[2018·貴陽模擬]已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝eq\f(n＋2,3)an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式．解(1)由S2＝eq\f(4,3)a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1由S3＝eq\f(5,3)a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝eq\f(3,2)(a1＋a2)＝6.(2)由題設知a1＝1.當n＞1時，有an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)