同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式課件

第二講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：①掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系公式．②掌握－α，π±α，2π－α，±α的誘導(dǎo)公式．難點(diǎn)：①誘導(dǎo)公式的規(guī)律性．②公式的綜合運(yùn)用．知識(shí)歸納1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)倒數(shù)關(guān)系：tanα·cotα＝

；(2)商數(shù)關(guān)系：＝

；＝

；(3)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝

；1tanαcotα12．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式的內(nèi)容－απ－απ＋α2π－α2kπ＋α(k∈Z)－αsin－sinαsinα－sinα－sinαsinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαcosαsinα(2)誘導(dǎo)公式的規(guī)律誘導(dǎo)公式概括為：±α(k∈Z)的正弦、余弦值，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得角α的同名三角函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得角α相應(yīng)的余函數(shù)值，然后放上把角α看成銳角時(shí)原函數(shù)所在象限的符號(hào)；可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限．”誤區(qū)警示1．已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余3種三角函數(shù)值時(shí)，如果應(yīng)用平方關(guān)系，就要進(jìn)行分類討論，先確定角的終邊所在的象限，再確定三角函數(shù)值的符號(hào)．要注意公式的合理選擇和方法的靈活性．2．在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡、求值時(shí)，要注意用“是否是同角”來區(qū)分和選用公式．3．在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡、求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號(hào)的選?。畱?yīng)用公式時(shí)把角α看成銳角，如果出現(xiàn)kπ±α的形式時(shí)，常對(duì)k值是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行分類討論，以確定角所在的象限．4．要熟記特殊角的三角函數(shù)值．解題技巧1．怎樣計(jì)算任意角的三角函數(shù)值計(jì)算任意角的三角函數(shù)值，主要是運(yùn)用誘導(dǎo)公式化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其一般步驟是：(1)負(fù)化正：當(dāng)已知角為負(fù)角時(shí)，先利用－α的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)值化為正角的三角函數(shù)值；(2)正化主：當(dāng)已知角是大于360°的角時(shí)，可用k·360°＋α的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)值化為主區(qū)間(0°，360°)上的角的三角函數(shù)值；(3)主化銳：當(dāng)已知角是90°到360°間的角時(shí)，可利用180°±α，360°－α的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)值化為0°到90°間的角的三角函數(shù)值(對(duì)于非特殊角用查表或用計(jì)算器求出結(jié)果)．2．證明三角恒等式的常用方法證明三角恒等式的主要方法有：(1)化繁為簡，即從等式較繁的一邊出發(fā)，利用三角公式及變形技巧，逐步變形到等式的另一邊．(2)左右歸一，當(dāng)欲證式兩邊都比較復(fù)雜時(shí)，把兩邊分別變形化簡，得到同一個(gè)式子．(3)轉(zhuǎn)換命題，即把原命題轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)命題，簡化證明過程．3．“1”的代換在求值、化簡、證明時(shí)，常把數(shù)1表示為三角函數(shù)式或特殊角的三角函數(shù)值參與運(yùn)算，使問題得以簡化．常見的代換如下：1＝sin2α＋cos2α1＝sec2α－tan2α＝csc2α－cot2α1＝cosα·secα＝sinα·cscα1＝tan45°＝tanα·cotα＝cot45°1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα等等．4．三角函數(shù)求值中直角三角形的運(yùn)用先根據(jù)所給三角函數(shù)值，把角看成銳角構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形．，求出該銳角的各三角函數(shù)值，再添上符號(hào)即可．點(diǎn)評(píng)：記住常用的勾股數(shù)組非常方便．常用的有：①3,4,5②5,12,13③7,24,25④8,15,17以及它們的倍數(shù)，如3k,4k,5k

k∈N＋.(08·浙江理)若cosα＋2sinα＝－，則tanα＝()A. B．2C．－ D．－2解析：將已知等式兩邊平方得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化簡得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.答案：B[例2]當(dāng)且僅當(dāng)θ在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，等式 ＝cotθ－cscθ成立？化簡：分析：“脫”去根號(hào)是我們的目標(biāo)，這就希望根號(hào)下能成為完全平方式，注意到同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式，利用分式的性質(zhì)可以達(dá)到目標(biāo)．點(diǎn)評(píng)：注意變形的技巧，對(duì)于.我們可以分子、分母同乘以1＋sinα，也可以分子、分母同乘以1－sinα，但分母變?yōu)椤皢雾?xiàng)式”更方便些，故選擇同乘以1＋sinα.[例3]已知α是第三象限的角，且(3)∵－1860°＝－5×360°－60°∴f(－1860°)＝－cos(－1860°)＝－cos(－5×360°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos60°＝－.設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中a，b，α∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2009)＝5，則f(2010)等于 ()A．4 B．3C．－5 D．5解析：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋α)＝－asinα－bcosα＝5，∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2010)＝asinα＋bcosα＝－5.答案：C只需證：2(1＋sinα)(1＋cosα)＝(1＋sinα＋cosα)2即證：2＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα即1＝sin2α＋cos2α顯然成立∴原式得證.[例5]已知π＜x＜，sinx－cosx＝.(1)求sinx＋cosx的值；(2)求的值．分析：(1)(sinx±cosx)2＝1±sin2x，從而sinx＋cosx與sinx－cosx通過平方關(guān)系可相互轉(zhuǎn)化．(2)由(1)獲得sinx＋cosx的值后，只須運(yùn)用sin2x＝2sinxcosx及tanx＝，即可化簡．總結(jié)評(píng)述：形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分別稱為關(guān)于sinα、cosα的一次齊次式和二次齊次式，如已知tanα＝m，求涉及它們的三角式的值時(shí)，常作①1的代換，②sinα＝mcosα代入，③選擇題常用直角三角形法求解，④所給式是分式時(shí)，常用分子、分母同除以coskα變形．[答案]

D[解析]

在△ABC中，∵cotA＝－<0，∴A為鈍角，∴cosA<0，又|cotA|>1，∴|cosA|>|sinA|，∴選D.[答案]

C[答案]

A[答案]

C(理)的化簡結(jié)果是 ()A．4cos4－2sin4 B．2sin4C．2sin4－4cos4 D．－2sin4[答案]

D二、填空題4．(文)若f(tanx)＝sinxcosx，則f(－1)＝________.[答案]

－[答案]

60°[解析]

由3cosA≥0及角A為△ABC內(nèi)角得角A是銳角，兩邊平方得2sin2A＝3cosA，∴2cos2A＋3cosA－2＝0，∴cosA＝或cosA＝－2(舍去)，∴A＝60°.5．若1＋sin2θ＝3sinθcosθ則tanθ＝________.[答案]

1或[解析]

由1＋sin2θ＝3sinθcosθ變形得2sin2θ＋cos2