誤差理論與數(shù)據(jù)處理課件04

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第四章測量不確定度費業(yè)泰

編著機(jī)械工業(yè)出版社講授：何慶中機(jī)

電

工

程

系第四章

測量不確定度由于測量中均存在一定的誤差，難于確定被測量對象的真值，使測量結(jié)果帶有一定的不確定性。本章介紹不確定度的基本概念，以及作為評價測量結(jié)果質(zhì)量高低的指標(biāo)。不確定度越小，測量結(jié)果質(zhì)量越高；反之，測量結(jié)果質(zhì)量越低。4.1測量不確定度的基本概念4.1.1概述“測量不確定度”概念沿于量子力學(xué)中提出的不確定度關(guān)系——測不準(zhǔn)關(guān)系。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對測量結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性提出了更嚴(yán)格的要求，以“測量不確定性”作為評價測量結(jié)果質(zhì)量高低的標(biāo)準(zhǔn)，越來越來受到廣大科技工作者的重視，以適應(yīng)現(xiàn)代測試技術(shù)發(fā)展的需要。4.1.2測量不確定度的定義定義：指表征測量結(jié)果變化不確定在某一范圍內(nèi)的估計值，它含有估計值參數(shù)和分散程度（范圍）參數(shù)，即：y±U，為一個非確定數(shù)。測量不確定度的評價方法：在實際測量中，影響測量結(jié)果精度的因素較多，測量不確定度通常包括若干分量，無論這些測量不確定度分量的性質(zhì)如何，皆可用A類方法或B類方法進(jìn)行評價。A類方法：用觀察數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析的評價方法。B類方法：基于經(jīng)驗或其他信息認(rèn)定的概率統(tǒng)計評價方法。這些評價方法對所有測量不確定度分量均用由隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)差來表征測量結(jié)果質(zhì)量的好壞。4.1.3測量不確定度與誤差測量不確定度和誤差是誤差理論中兩個重要的概念，具有一個重要特點都是評價測量結(jié)果質(zhì)量的重要指標(biāo)——即精度評價標(biāo)準(zhǔn)，但它們之間又有明顯的區(qū)別，必須正確認(rèn)識和區(qū)分。（1）誤差與不確定度的區(qū)別從定義上講，誤差是測量值與測量真值之差，是以真值為中心；而測量不確定度是以估計值為中心，以及表征測量不確定度（測不準(zhǔn)）所具有的范圍。從分類方法來講，誤差按隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差進(jìn)行分類，精度分析與評價是從誤差源和性質(zhì)開始的，并可采取一定的措施減少或消除誤差對測量結(jié)果的影響；而測量不確定度是按對測量結(jié)果質(zhì)量的評價方法（A類方法；B類方法）進(jìn)行的，它不關(guān)心產(chǎn)生不確

定度的來源和性質(zhì)，僅關(guān)心對測量結(jié)果質(zhì)量的評價，從而簡化了分類便于評價與計算。（2）誤差與不確定度之間的聯(lián)系在實際測量中，要嚴(yán)格將誤差區(qū)分為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差是困難的，它們之間是有聯(lián)系的，但是誤差是分析測量不確定度的

理

論

基

礎(chǔ)

，

只

有

對

誤

差

的

性

質(zhì)

、

分

布規(guī)律、誤差之間的相互聯(lián)系、測量結(jié)果的誤差傳遞關(guān)系和對測量結(jié)果的影響程度進(jìn)行充分地認(rèn)識和了解，才能更好地估計各不確定度分量，正確得到測量結(jié)果的不確定度；用測量不確定度代替誤差進(jìn)行誤差分析易于理解、便于評定，具有一定的綜合性和實用性，但測量不確定度又不能完全代替誤差分析，不能完全取代誤差理論的所有內(nèi)容。4.2標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評價標(biāo)準(zhǔn)不確定度的定義：用標(biāo)準(zhǔn)差或表征的不確定度，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。通常用u

表示，其分量用ui

表示。4.2.1標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評價標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定是以統(tǒng)計分析法評定為基礎(chǔ)的，標(biāo)準(zhǔn)不確定度通常由系列觀察（測量）值所獲得的標(biāo)準(zhǔn)差u=σ

確定，標(biāo)準(zhǔn)差的求法可用貝塞爾法、別捷爾斯法、極限法、最大誤差法等計算。標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定方法：當(dāng)被測量對象Y由等精度測量值X1,X2,……,Xn

確定，Y的估計值y

的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uy將取決與Xi的估計值

xi

對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度

uxi

，其方法是：在其它Xi（

）保持不變時，僅對

Xi

進(jìn)行

n

次等精度獨立測量，用統(tǒng)計法得到

n

個觀察值計算出的單次測量標(biāo)準(zhǔn)差

σi

，則

xi

的標(biāo)準(zhǔn)不測量度數(shù)值uxi

可按下述方法確定：單次測量：多次測量：4.2.2標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評價標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定不用統(tǒng)計分析法，而用其他估計概率分布或分布假設(shè)方法來評定標(biāo)準(zhǔn)差，并得到標(biāo)準(zhǔn)不確定度。B類評價方法在不確定度評定中占有重要的位置，在實際不確定度評定分析和處理中，絕大多數(shù)不確定度的評定不滿足統(tǒng)計分析法條件，或即使能滿足計分析法條件也不經(jīng)濟(jì)，這時采用B類評價方法居多。標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定方法：當(dāng)被測量對象的估計值為，B類評定方法是借助于影響可能變化的全部信息進(jìn)行科學(xué)的判定。其信息主要來源于前人測量和總結(jié)出的測量數(shù)據(jù)、經(jīng)驗或資料、相關(guān)儀器或裝置的一般知識、制造和檢驗驗收等技術(shù)文獻(xiàn)、有關(guān)手冊等資料，正確有效的應(yīng)用這些信息進(jìn)行不確定度的評定方法，這種方法具有一定的經(jīng)驗和對評價對象的認(rèn)知分析。B類評定方法的確定：主要依據(jù)評價對象的實際情況，對測量值進(jìn)行一定的假設(shè)，在一定假設(shè)條件基礎(chǔ)上，通常具有如下方法：（1）當(dāng)被測量估計值x受多個相互獨立因素的影響時，且影響程度相近，則可假設(shè)為正態(tài)分布，在所取置信度P的分布區(qū)間范圍

a

內(nèi)，所包含正態(tài)積分因子kp

估計的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：當(dāng)被測量估計值x

取自相關(guān)資料時，所給定的測量不確定度Uk為標(biāo)準(zhǔn)差的k

倍，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：若已知估計值落在區(qū)間（x-a,x+a）范圍內(nèi)的概率為1，且在區(qū)間（x-a,x+a）內(nèi)各處出現(xiàn)的機(jī)會相等，且x服從均勻分布，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：當(dāng)估計值x

受到兩個相互獨立，且皆具有均勻分布規(guī)律的影

響，則估計值在區(qū)間（x-a,x+a）范圍內(nèi)服從三角形分布，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：若已知估計值x落在區(qū)間（x-a,x+a）范圍內(nèi)服從反正弦分布，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：4.2.3自由度及其確度（1）自由度的概念依據(jù)概率論和數(shù)理統(tǒng)計所定義的自由度，在n

個變量的vi

平方和中，如果n

個變量vi

之間存在k

個獨立的線性約束條件，則僅存在n-k個相互獨立的變量，稱

n-k

為平方和

的自由度。因此，用貝塞爾法公式計算單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差σ

，若式中n個變量

vi

之間存在唯一線性約束條件

，故的的自由度為n-1，則貝塞爾法公式計算單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差σ

的自由度也為n-1。由此可得出，系列測量標(biāo)準(zhǔn)差的可信賴程度與自由度的關(guān)系密切，自由度越大，標(biāo)準(zhǔn)差越可信賴。（2）自由度的確定·標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評定的自由度：該方法所確定的自由度，即為標(biāo)準(zhǔn)差σ

的自由度。由于標(biāo)準(zhǔn)差σ

存在不同的計算方法，其自由度有所不同。在實際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)實際測量對象合理應(yīng)用。測量不確定度的合成合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度當(dāng)測量結(jié)果受多種因素影響形成若干標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uxi時，測量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc由各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uxi合成，首先要分析確定各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uxi與測量結(jié)果不確定度uc的關(guān)系，才能進(jìn)行測量結(jié)果不確定度uc的計算。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算方法：（1）若被測量Y的估計值y與N個測量值X1,X2,……,Xn存在確定函數(shù)關(guān)系·

標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類評定的自由度：由估計值

u

的相對標(biāo)準(zhǔn)差來確定自由度，其自由度定義為：，存在各測量分量的不確定度對測量結(jié)果影響的傳遞系數(shù)為則標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度分量uxi對測量結(jié)果不確定度影響為：所有測量不確定度分量的合成計算：當(dāng)各測量不確定度分量uxi不相干時，ρij=0，則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算公式為：（2）若被測量Y的估計值y與N個測量值X1,X2,……,Xn不存在確定函數(shù)關(guān)系此時，應(yīng)根據(jù)具體情況按標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評定或標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類評定方法確定各測量分量uxi的不確定度值，可按上述相應(yīng)公式進(jìn)行測量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成計算。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度最終結(jié)果的表示方法：4.3.2展伸不確定度標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成結(jié)果僅對應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)差，Y

=y±uc

所含被測量真值的概率僅為68%。然而在實際測量誤差分析中，常常要求測量結(jié)果所包含真值的概率更大（如：99.7%）。由此需要對測量結(jié)果的不確定度范圍進(jìn)行展伸為U

=kuc（k為展伸因子或置信度），此時測量結(jié)果為：Y

=

y

±

U一旦測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度v

和各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的自由度vi

確定，依據(jù)所給定置信度p

與自由度v對t

分布的關(guān)系，由分布的臨界值tp(v)確定k

為展伸因子k

值：k

=

tp(v)當(dāng)各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量ui

相互獨立時，測量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc的自由度v

可按下式計算：注意：式中，要知道各不確定度分量的自由度vi，才能計算出測量結(jié)果不確定度的自由度v。實際測量中，很難完全確定各不確定度分量的自由度vi，因而無法應(yīng)用該式計算測量結(jié)果不確定度的自由度v

。為了計算展伸測量結(jié)果的不確定度，一般可取展伸因子k=1~2。4.3.3不確定度的報告對于測量不確定度進(jìn)行分析與評價的最終結(jié)果，應(yīng)以測量不確定度報告形式給出。（1）報告應(yīng)包含的主要內(nèi)容當(dāng)測量不確定度用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示時，應(yīng)同時給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc以及其自由度v；當(dāng)測量不確定度用伸展不確定度表示時，除給出伸展不確定度U外，還應(yīng)給出計算所需的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc

、自由度v

、置信概率p、包含因子k的計算依據(jù)?？傊?，為了提高測量結(jié)果的使用價值，在測量不確定度報告中，應(yīng)盡可能地提供更詳細(xì)的信息。如：原始數(shù)據(jù)、測量方法、被測量對象估計值和測量不確定度的分析與評價方法或標(biāo)準(zhǔn)，列出所有測量不確定度分量、自由度、相關(guān)系數(shù)等。（2）測量結(jié)果的最終表示方法對于測量結(jié)果的最終表示方法，主要有如下幾種：測量不確定度用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示：

y=100.02147g，uc

=0.35mg；表示為：y=100.02147（35mg）g；y

=

100.02147（0.00035）g；y

=（100.02147

±0.00035）g；測量不確定度用伸展不確定度表示：Y

=

y

±

U

=（100.02147

±

0.00079）g其中U=0.00079，由uc=0.35mg和k=2.26確定；k=2.26，由

P=0.95、v=9、以及t的分布狀態(tài)確定的。測量不確定度還可用相對不確定度形式表示。4.4測量不確定度的應(yīng)用實例對于測量不確定度的計算方法和