清華大學(xué)彈性力學(xué)馮西橋FXQ-Chapter-03應(yīng)力理論

馮西橋清華大學(xué)工程力學(xué)系2007.10.10第三章應(yīng)力理論Theoryofstresses應(yīng)力理論Chapter3外力、內(nèi)力與應(yīng)力

柯西公式應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式主應(yīng)力與應(yīng)力不變量最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力平衡微分方程外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1外力外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1外力體力即分布在物體體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱(chēng)為質(zhì)量力。例如物體的重力、運(yùn)轉(zhuǎn)零件的慣性力等。面力即作用在物體外表上的力，例如作用在飛機(jī)機(jī)翼上的空氣動(dòng)力、水壩所受的水壓力等。外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1定義式體力：外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1定義式面力：外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1內(nèi)力物體內(nèi)部各個(gè)局部之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一局部與相鄰局部之間的作用力，稱(chēng)為內(nèi)力。內(nèi)力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，是變形體力學(xué)研究的重要對(duì)象之一。應(yīng)力的概念正是為了精確描述內(nèi)力而引進(jìn)的。外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力應(yīng)力矢量外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1假設(shè)取為變形前面元的初始面積，那么上式給出工程應(yīng)力，亦稱(chēng)名義應(yīng)力，常用于小變形情況。對(duì)于大變形問(wèn)題，應(yīng)取為變形后面元的實(shí)際面積，稱(chēng)真實(shí)應(yīng)力，簡(jiǎn)稱(chēng)真應(yīng)力,也稱(chēng)柯西應(yīng)力。應(yīng)力矢量：外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力的定義外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力矢量的大小和方向不僅和M點(diǎn)的位置有關(guān)，而且和面元法線方向

有關(guān)。外力、內(nèi)力與應(yīng)力作用在同一點(diǎn)不同法向面元上的應(yīng)力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過(guò)同一點(diǎn)且法線方向相同，那么應(yīng)力矢量也相同。外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力矢量和面力矢量的數(shù)學(xué)定義和物理量綱都相同。區(qū)別在于：應(yīng)力是作用在物體內(nèi)界面上的未知內(nèi)力，而面力是作用在物體外外表的外力。當(dāng)內(nèi)截面無(wú)限趨近于外外表時(shí)，應(yīng)力也趨近于外加面力之值。外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1正六面體微元:外法線與坐標(biāo)軸同向的三個(gè)面稱(chēng)為正面，記為dSi，它們的單位法向矢量為

i＝ei，ei是沿坐標(biāo)軸的單位矢量；另三個(gè)外法線與坐標(biāo)軸反向的面元稱(chēng)為負(fù)面。外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力分量的個(gè)數(shù)外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1x2

22x1

11

31e1e2e3x3

33

32

13

23

21

12外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1把作用在正面dSi上的應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸正向分解得：即：x2

22x1

11

31e1e2e3x3

33

32

13

23

21

12外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1共出現(xiàn)九個(gè)應(yīng)力分量：外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1第一指標(biāo)i表示面元的法線方向，稱(chēng)面元指標(biāo)；第二指標(biāo)j表示應(yīng)力的分解方向，稱(chēng)方向指標(biāo)。當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，應(yīng)力分量垂直于面元，稱(chēng)為正應(yīng)力。當(dāng)i≠j時(shí)，應(yīng)力分量作用在面元平面內(nèi)，稱(chēng)為剪應(yīng)力。外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1x2

22x1

11

31e1e2e3x3

33

32

13

23

21

12方向規(guī)定：正面上與坐標(biāo)軸同向或負(fù)面上與坐標(biāo)軸反向?yàn)檎?。亦即“受拉為正，受壓為?fù)〞。應(yīng)力理論Chapter3

外力、內(nèi)力與應(yīng)力柯西公式應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式主應(yīng)力與應(yīng)力不變量最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力平衡微分方程Chapter3.2柯西公式四面體OABC，由三個(gè)負(fù)面和一個(gè)法向矢量為的斜截面組成，其中為

方向的方向余弦。斜截面上的應(yīng)力Chapter3.2斜截面上的應(yīng)力柯西公式Chapter3.2柯西公式n柯西公式Chapter3.2的面積為dS,那么三個(gè)負(fù)面的面積分別為斜截面的面元矢量為：柯西公式Chapter3.2四面體的體積為：dh為頂點(diǎn)O到斜面的垂直距離n柯西公式Chapter3.2四面體上作用力的平衡條件是：第五項(xiàng)是體力的合力，由于dh是小量，故體力項(xiàng)可以略去。可得：柯西公式Chapter3.2根據(jù)商判那么，知必是一個(gè)二階張量，于是定義應(yīng)力張量柯西公式這就是著名的柯西公式，又稱(chēng)斜面應(yīng)力公式。Chapter3.2柯西公式Chapter3.2把斜面應(yīng)力沿坐標(biāo)軸方向分解：那么柯西公式的分量表達(dá)式為即柯西公式Chapter3.2柯西公式應(yīng)用－計(jì)算斜截面上的應(yīng)力斜面上應(yīng)力的大小柯西公式Chapter3.2柯西公式應(yīng)用－計(jì)算斜截面上的應(yīng)力斜面上應(yīng)力的方向即柯西公式Chapter3.2斜面正應(yīng)力斜面剪應(yīng)力柯西公式應(yīng)用－計(jì)算斜截面上的應(yīng)力柯西公式Chapter3.2假設(shè)斜面是物體的邊界面，那么柯西公式可用作未知應(yīng)力場(chǎng)的力邊界條件：其中pj是面力p沿坐標(biāo)軸方向的分量，通常記為寫(xiě)成指標(biāo)符號(hào)柯西公式應(yīng)用－給定應(yīng)力邊界條件柯西公式應(yīng)力理論Chapter3外力、內(nèi)力與應(yīng)力

柯西公式

應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式主應(yīng)力與應(yīng)力不變量最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力平衡微分方程Chapter3.2應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式新、老兩個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系和坐標(biāo)間轉(zhuǎn)換關(guān)系為：Chapter3.2考慮垂直于新軸的正截面，其法向矢量即為。利用柯西公式，該截面上的應(yīng)力為

是新正截面上的應(yīng)力對(duì)老坐標(biāo)軸分解的結(jié)果。應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式Chapter3.2將對(duì)新坐標(biāo)軸分解可以得到新坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量：應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式上式就是應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式，簡(jiǎn)稱(chēng)轉(zhuǎn)軸公式。Chapter3.2應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式應(yīng)力理論Chapter3

外力、內(nèi)力與應(yīng)力

柯西公式應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式

主應(yīng)力與應(yīng)力不變量最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力平衡微分方程Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量概念切應(yīng)力為零的微分面稱(chēng)為主微分平面，簡(jiǎn)稱(chēng)主平面。主平面的法線稱(chēng)為應(yīng)力主軸，或者稱(chēng)為應(yīng)力主方向。主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量主應(yīng)力和應(yīng)力不變量假設(shè)存在主平面BCD，其法線方向?yàn)閚(l,m,n)，截面上的總應(yīng)力pn＝，亦即n方向截面上剪應(yīng)力為零。那么截面上總應(yīng)力pn在坐標(biāo)軸方向的分量可以表示為Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量對(duì)斜面BCD運(yùn)用柯西公式，可得：由剪應(yīng)力互等定理可得：Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量由(1)和(2)式得：Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量由于，所以要有非零解，那么上述三個(gè)方程必須是線性相關(guān)的，亦即系數(shù)行列式為零：Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量展開(kāi)行列式得到應(yīng)力狀態(tài)的特征方程：式中Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量求解應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，可以得到三個(gè)實(shí)根：

1，

2，

3，即為該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力。Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量假設(shè)將一個(gè)根代入如下方程組：可以順次求出相應(yīng)于1，2和3的三個(gè)主方向：Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量

I1、I2和

I3是三個(gè)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的標(biāo)量，稱(chēng)為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。它們是相互獨(dú)立的。通常主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小排列，稱(chēng)為第一主應(yīng)力

1、第二主應(yīng)力

2和第三主應(yīng)力

3

，且

Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量主應(yīng)力的性質(zhì)不變性由于特征方程的三個(gè)系數(shù)是不變量，所以作為特征根的主應(yīng)力及相應(yīng)主方向都是不變量。實(shí)數(shù)性即特征方程的根永遠(yuǎn)是實(shí)數(shù)。Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量極值性主應(yīng)力

1和

3是一點(diǎn)正應(yīng)力的最大值和最小值。在主坐標(biāo)系中，任意斜截面上正應(yīng)力的表達(dá)式：Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量正交性

特征方程無(wú)重根時(shí)，三個(gè)主應(yīng)力必兩兩正交；

特征方程有一對(duì)重根時(shí)，在兩個(gè)相同主應(yīng)力的作用平面內(nèi)呈現(xiàn)雙向等拉(或等壓)狀態(tài)，可在面內(nèi)任選兩個(gè)相互正交的方向作為主方向；特征方程出現(xiàn)三重根時(shí)，空間任意三個(gè)相互正交的方向都可作為主方向。Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量在任意一點(diǎn)，都能找到一組三個(gè)相互正交的主方向，沿每點(diǎn)主方向的直線稱(chēng)為該點(diǎn)的主軸。處處與主方向相切的曲線稱(chēng)為主應(yīng)力跡線。以主應(yīng)力跡線為坐標(biāo)曲線的坐標(biāo)系稱(chēng)為主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量可以簡(jiǎn)化成對(duì)角型主應(yīng)力坐標(biāo)系Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量在主坐標(biāo)系中，主不變量表示為主應(yīng)力坐標(biāo)系例：受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為〔單位：MPa〕試求主應(yīng)力分量及主方向余弦。解：此點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)張量的矩陣形式為：主應(yīng)力&應(yīng)力不變量首先，求出應(yīng)力不變量為于是，特征方程為主應(yīng)力&應(yīng)力不變量求解此特征方程，得三個(gè)主應(yīng)力分別為主應(yīng)力&應(yīng)力不變量將三個(gè)主應(yīng)力值依次分別代入上式中的任意兩式，并利用關(guān)系式，聯(lián)立求解即可得到三個(gè)主方向的方向余弦。例如為求

1的方向余弦，l1、m1、n1，將

1＝214.6代入上式的前兩式得主應(yīng)力&應(yīng)力不變量主應(yīng)力&應(yīng)力不變量同樣可得其余兩組方向余弦為：主應(yīng)力：主方向方向余弦：主應(yīng)力&應(yīng)力不變量Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量應(yīng)力偏量將應(yīng)力張量分解成球形張量和偏斜張量其中球形應(yīng)力張量：Chapter3.3主應(yīng)力&應(yīng)力不變量應(yīng)力偏量應(yīng)力理論Chapter3

外力、內(nèi)力與應(yīng)力

柯西公式應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式主應(yīng)力與應(yīng)力不變量最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力平衡微分方程Chapter3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力Chapter3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力

最大剪應(yīng)力在主應(yīng)力坐標(biāo)系中：約束條件：Chapter3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力引進(jìn)拉格朗日乘子，求泛函的極值。相應(yīng)極值條件為于是，可得如下方程組Chapter3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力可解出三個(gè)法線方向，分別代入下式便可得到三個(gè)剪應(yīng)力的極值，其中的最大者就是最大剪應(yīng)力。Chapter3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力剪應(yīng)力的三個(gè)極值：方向：與對(duì)應(yīng)的兩個(gè)主應(yīng)力夾角為45。OChapter3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力正八面體Chapter3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力Chapter3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力

八面體剪應(yīng)力八面體正應(yīng)力

0為由可得八面體剪應(yīng)力

0為馮西橋清華大學(xué)工程力學(xué)系2007.10.17第三章應(yīng)力理論Theoryofstresses應(yīng)力理論Chapter3

外力、內(nèi)力與應(yīng)力

柯西公式與應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式主應(yīng)力與應(yīng)力不變量最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力平衡微分方程Chapter3.5平衡微分方程笛卡爾坐標(biāo)系中的平衡微分方程考慮物體中A(x,y,z)點(diǎn)，其應(yīng)力狀態(tài)用直角坐標(biāo)表示如下(如圖標(biāo)注)而臨近一點(diǎn)B(x+dx,y+dy,z+dz)的應(yīng)力狀態(tài)也用直角坐標(biāo)示出，根據(jù)應(yīng)力為位置函數(shù)的概念，將應(yīng)力在附近展開(kāi)，保存一級(jí)微量連同應(yīng)計(jì)入的增量可得：Chapter3.5平衡微分方程笛卡爾坐標(biāo)系中的平衡微分方程應(yīng)力場(chǎng)：OChapter3.5平衡微分方程其中X,Y,Z表示單位體積力(與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?圖示正六面體代表通過(guò)A(x,y,z)及B(x+dx,y+dy,z+dz)兩個(gè)點(diǎn)的一個(gè)微體，A,B點(diǎn)各有三個(gè)正交面。ABChapter3.5平衡微分方程在前微面上在右微面上在上微面上見(jiàn)下頁(yè)圖標(biāo)注xyzOChapter3.5平衡微分方程Chapter3.5平衡微分方程考慮微單元體的力的平衡條件，在x方向的合力為零。OChapter3.5平衡微分方程化簡(jiǎn)后得此式即為x方向的平衡方程式Chapter3.5平衡微分方程同理，得到y(tǒng)方向和z方向的平衡方程式分別為Chapter3.5平衡微分方程應(yīng)力的平衡微分方程(簡(jiǎn)稱(chēng)平衡方程)如下：用指標(biāo)符號(hào)可縮寫(xiě)成Chapter3.5平衡微分方程對(duì)于彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可把慣性力作為體力，于是由平衡方程導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程其中，

為材料密度，ui為位移分量，t為時(shí)間。剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理Chapter3.5平衡微分方程剪應(yīng)力互等定理如下圖微正六面體，對(duì)通過(guò)形心P且沿z軸方向的軸取矩，由力矩平衡條件得化簡(jiǎn)注：凡作用線通過(guò)P點(diǎn)或方向與z軸平行的應(yīng)力和體力分量對(duì)該軸的力矩均為零。Chapter3.5平衡微分方程同理對(duì)沿x和y方向的形心軸取矩可得于是導(dǎo)得稱(chēng)為剪應(yīng)力互等定理，或稱(chēng)應(yīng)力張量的對(duì)稱(chēng)性。Chapter3.5平衡微分方程應(yīng)力的平衡微分方程(簡(jiǎn)稱(chēng)平衡方程)如下：用指標(biāo)符號(hào)表示為：用實(shí)體符號(hào)表示為：C