第23講平行垂直（原卷版）

第23講平行垂直一、平行1.平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.如下圖，兩條直線互相平行，記作AB∥CD或a∥b.要點(diǎn)：（1）同一平面內(nèi)的兩條直線的位置:平行與相交.（2）互相平行的兩條直線永遠(yuǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)，兩條相交直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).（3）互相重合的直線通?？醋鲆粭l直線.（4）兩條線段或射線平行是指它們所在的直線平行.2.平行線的做法：小學(xué)用直尺和三角尺畫(huà)平行線步驟：一放、二靠、三移、四畫(huà).如下圖.3.平行線的一個(gè)基本事實(shí)：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.要點(diǎn)：由基本事實(shí)可以推出下面的結(jié)論成立：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.二、垂線1．垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．如下圖，兩條直線互相垂直，記作或AB⊥CD垂直于點(diǎn)O.要點(diǎn)：垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫(huà)法：過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫(huà)，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．要點(diǎn)：(1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．要點(diǎn)：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離．要點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度．題型1：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系1．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就平行 B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C．兩條射線或線段平行是指它們所在直線平行 D．兩條不相交的直線是平行線題型2：立體圖形中平行的棱3．如圖，在正方體中，下列各棱與棱平行的是（）A． B． C． D．4．已知長(zhǎng)方體ABCDEFGH如圖所示，那么下列各條棱中與棱GC平行的是（）A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．題型3：畫(huà)平行線5．已知三角形ABC，過(guò)AC的中點(diǎn)D作AB的平行線，根據(jù)語(yǔ)句作圖正確的是（

）A． B． C． D．6．如圖，已知A、B、C三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A可畫(huà)直線BC的平行線的條數(shù)是（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條7．如圖是利用直尺移動(dòng)三角板過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線的方法，小明經(jīng)過(guò)多次實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)只能作一條平行線，這反映了．8．如圖，利用三角尺和直尺可以準(zhǔn)確的畫(huà)出直線AB∥CD，下面是某位同學(xué)弄亂了順序的操作步驟：①沿三角尺的邊作出直線CD；②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB；④沿直尺下移三角尺；正確的操作順序應(yīng)是：．題型4：垂線的定義、畫(huà)法、垂線段最短9．如圖，在同一平面內(nèi)，，，垂足為O，則與重合的理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．垂線段最短C．同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．垂直于同一直線的兩條直線平行10．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)（已知直線上或直線外），能畫(huà)出已知直線的垂線數(shù)為（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條11．如圖，P是直線l外一點(diǎn)，從點(diǎn)P向直線l引，，，幾條線段，其中只有與l垂直，這幾條線段中長(zhǎng)度最短的是（

）A． B． C． D．12．下列選項(xiàng)中，過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線的垂線，三角尺的擺放方式正確的是（

）A． B．

C．

D．

13．如圖，點(diǎn)在直線外，點(diǎn)在直線上，連接．選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ咦鲌D．(1)在直線上作點(diǎn)，使，連接；(2)在的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)，連接；(3)在，，中，最短的線段是______________，依據(jù)是______________．題型5：與垂直有關(guān)的計(jì)算14．如圖，直線相交于點(diǎn)于點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．15．如圖，于點(diǎn)O，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．16．如圖，直線相交于點(diǎn)O，平分，則為（

）．A． B． C． D．一、單選題1．下列說(shuō)法中，正確的是（

）．A．兩直線不相交則平行 B．兩直線不平行則相交C．若兩線段平行，那么它們不相交 D．兩條線段不相交，那么它們平行2．已知直線，在同一平面內(nèi)，給定一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無(wú)數(shù)條3．已知直線，，互相平行，直線與的距離是，直線與的距離是，那么直線與的距離是（

）A．或 B． C． D．4．如圖，在平面內(nèi)作已知直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條5．體育課上老師按照如圖所示的方式測(cè)量同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績(jī)，這里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（

）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩點(diǎn)確定一條直線6．如圖，，能表示點(diǎn)到直線(或線段)的距離的線段有（

）A．五條 B．二條 C．三條 D．四條7．下列語(yǔ)句中：①有公共頂點(diǎn)且相等的角是對(duì)頂角；②直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；③互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直；④經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)不可能是（

） B．6 C．7 D．89．下列說(shuō)法正確的是（）①平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線；②平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④相等的角是對(duì)頂角；⑤P是直線a外一點(diǎn)，A、B、C分別是a上的三點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，則點(diǎn)P到直線a的距離一定是1．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，則∠AOM的度數(shù)為（

）A．35° B．45° C．55° D．25°二、填空題11．在平面內(nèi)，兩條不的直線互相平行．12．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線可能是直線，也有可能是直線．13．小明列舉生活中幾個(gè)例子，你認(rèn)為是平行線的是（填序號(hào)）．①馬路上斑馬線；②火車(chē)鐵軌；③直跑道線；④長(zhǎng)方形門(mén)框上下邊．14．在同一平面內(nèi)L1與L2沒(méi)有公共點(diǎn)，則L1L2．15．如圖所示，線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離；點(diǎn)到直線的距離是．16．與的兩邊互相垂直，且，則的度數(shù)為.17．已知和的兩邊分別互相垂直，且比的2倍少，求的度數(shù)．18．如圖，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，若DE＝9cm，AB＝12cm，不考慮點(diǎn)與點(diǎn)重合的情況，則線段BD的取值范圍是．三、解答題19．如圖，按要求畫(huà)圖．(1)經(jīng)過(guò)上一點(diǎn)畫(huà)的平行線，交于；(2)過(guò)畫(huà)MNAB．20．如圖，分別過(guò)點(diǎn)P作的兩邊的垂線．21．如圖，要從水渠引水到村莊A，在水渠的什么地方開(kāi)溝，才能使溝最短？畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．22．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中縱向和橫向線段的交點(diǎn)叫做格點(diǎn)在格點(diǎn)上．按下述要求畫(huà)圖：(1)畫(huà)射線AC；(2)過(guò)點(diǎn)B畫(huà)AC的平行線BD，點(diǎn)D在格點(diǎn)上；(3)在射線AC上取一點(diǎn)E，畫(huà)線段BE，使其長(zhǎng)度表示點(diǎn)B到AC的距離．23．作圖并回答下列問(wèn)題：如圖：點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，(1)過(guò)點(diǎn)P作邊的垂線段；(2)過(guò)點(diǎn)P作邊的平行線，交于點(diǎn)D，比較線段、的大?。篲_______（填“”、“”或“”），得此結(jié)論的依據(jù)為：______________．24．如圖，，垂足為，經(jīng)