山西省朔州市懷仁市重點學校2023-2024學年高一上學期期中考試數(shù)學試題含答案

懷仁重點中學高一年級2023~2024學年上學期期中考試數(shù)學試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色．墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊第一章~第四章第3節(jié)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．3．已知冪函數(shù)的圖象過點，則（）A． B． C． D．4．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．6．已知奇函數(shù)的定義域為，且當時，；當時，，則（）A． B．7 C． D．97．若存在正實數(shù)x，y滿足，且使不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知關(guān)于x的方程有唯一實數(shù)解，則的值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知，則下列等式一定正確的是（）A． B． C． D．10．若集合A，B，U滿足，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)（，且）的圖象可能是（）A． B． C． D．12．若實數(shù)且，則下列結(jié)論正確的是（）A．存在a，b，使得 B．若，則C．當時，不可能小于零 D．且三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“，”的否定是________．14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．15．若不等式對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．16．已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知全集，集合，，．（1）求，；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當時，．（1）求的解析式；（2）畫出的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間．19．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，證明：；（2）討論的單調(diào)性．20．（本小題滿分12分）（1）設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：；（2）解關(guān)于x的不等式：．21．（本小題滿分12分）某企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，投入90萬元安裝了一套新的生產(chǎn)設(shè)備，預計使用該設(shè)備后前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入為95萬元．設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為萬元．（1）寫出關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計該設(shè)備從第幾年開始盈利；（2）使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當總盈利額達到最大值時，該設(shè)備以20萬元的價格處理；方案二：當年平均盈利額達到最大值時，該設(shè)備以60萬元的價格處理．問哪種方案較為合理？并說明理由．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）若是關(guān)于x的方程的一個實數(shù)根，求函數(shù)的值域；（2）若對任意，存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．懷仁重點中學高一年級2023~2024學年上學期期中考試·數(shù)學試題參考答案、提示及評分細則1．C集合，，所以．故選C．2．D由題意，得，∴且，∴定義域為．故選D．3．B設(shè)，依題意，所以，所以，所以．故選B．4．A因為由，可得，又“”是“”的充分不必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件．故選A．5．C由得，所以，A正確；，B正確；取，，則，，，C錯誤；，，所以，D正確．故選C．6．B因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，，，所以．故選B．7．D因為，且，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，即，解得或，所以m的取值范圍是．故選D．8．C由題意得，則，令，則上式可化為，令，則，故為偶函數(shù)，關(guān)于x的方程有唯一實數(shù)解，即函數(shù)的圖象與有唯一交點，結(jié)合為偶函數(shù)，可得此交點的橫坐標為0，故．故選C．9．BCD依題意，，即，則且a，，故C正確；對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于D，，故D正確．故選BCD．10．AD由知：，即A正確，∴，即B錯誤；僅當時，即C錯誤；，即D正確．故選AD．11．BC據(jù)題設(shè)分析知，先討論，再討論，并將每類情況下函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)研討實現(xiàn)問題求解．故選BC．12．BCD對于A，當時，，當且僅當時等號成立，此時不存在a，b，使得，當時，，當時等號成立，但此時，所以不存在a，b使得，A錯誤；對于B，由得，所以，整理得，所以，又，所以，B正確；對于C，由，C正確；對于D，因為，設(shè)，代入得，因為，所以，所以，當時，由得，所以，所以；當時，，當且僅當時等號成立，，所以且，D正確．故選BCD．13．，根據(jù)“，”的否定是“，”，可得命題“，”的否定是“，．14．（開區(qū)間也正確）依題意，，解得，即的定義域為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．15．因為不等式對一切恒成立，所以對一切恒成立，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以，即a的取值范圍是．16．是上的單調(diào)增函數(shù)，所以．17．解：（1）∵集合，，∴． 2分或，， 3分∴． 4分（2），當時，即時，，此時，滿足題意； 6分當時，即時，， 8分若，則或，即或， 9分∴．綜上，實數(shù)a的取值范圍為． 10分18．解：（1）∵的圖象關(guān)于原點對稱，∴是奇函數(shù)，∴． 1分又的定義域為，∴，解得． 2分設(shè)，則，∵當時，，∴，∴， 5分∴ 6分（2）由（1）可得的圖象如圖所示．由圖象可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為． 12分19．（1）證明：的定義域為，對，都有，又為奇函數(shù)，則必有，即，整理可得，命題得證． 5分（2）解：設(shè)，，且，， 8分易知，，又在上為增函數(shù)，，可得， 9分當時，，為增函數(shù)；當時，，為常函數(shù)無單調(diào)性；當時，，為減函數(shù)． 12分20．（1）證明：因為a，b，c為正數(shù)，由基本不等式可得，，當且僅當時取等號，，當且僅當取等號，，當且僅當取等號， 3分以上三式相加有，即，當且僅當時取等號． 6分（2）解：，即， 7分即．①當時，，，的解集為， 9分②當時，，等價于，即； 10分③當時，等價于，即或． 11分綜上可得：時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為． 12分21．解：（1）由題意可得，3分由得，又，所以該設(shè)備從第2年開始實現(xiàn)盈利． 5分（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，總盈利額，當時，取得最大值160，此時處理掉設(shè)備，則總利潤為萬元； 8分方案二：由（1）可得，平均盈利額為，當且僅當，即時等號成立，即時，平均盈利額最大，此時， 11分此時處理掉設(shè)備，總利潤為萬元．綜上，兩種方案獲利都是180萬元，但方案二僅需要三年即可，故方案二更合適． 12分22．解：（1）∵是方程的一個實根，∴，解得， 2分∴， 3