高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題5.9 三角恒等變換（重難點題型精講）（學(xué)生版）

專題5.9三角恒等變換（重難點題型精講）1．兩角差的余弦公式對于任意角，有.

此公式給出了任意角,的正弦、余弦與其差角-的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作.

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和.2．兩角和的余弦公式(1)公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.

①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用“-”，兩角差時用“+”.3．兩角和與差的正弦公式(1)兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.

①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“+”,兩角差時用“-”.4．兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式的結(jié)構(gòu)特征符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.5．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式(1)角的代換代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用尤為突出.

常用的角的代換形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中要特別注意的是“1”的代換.(3)輔助角公式通過應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳?a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù)[或].這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式7．二倍角公式的變形應(yīng)用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方變形

.

(3)因式分解變形

.

(4)升冪公式

；.

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用】【方法點撥】公式運(yùn)用之妙，存乎一心.使用時強(qiáng)調(diào)一個“活”字，而“活”的基礎(chǔ)來源于對公式結(jié)構(gòu)本身的深刻理解.【例1】（2022·四川省模擬預(yù)測（理））已知α，β都為銳角，cosα=17，cosα+β=?A．12 B．?7198 C．?【變式1-1】（2022·江蘇南京·高二期中）已知α,β均為銳角，且sinα+β=2sinα?β，則A．13 B．12 C．2【變式1-2】（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）已知cosα+π12=35，A．3?4310 B．45 C．?【變式1-3】（2022·天津市高一階段練習(xí)）若0<α<π2，?π2<β<0，cosπ4A．33 B．?33 C．5【題型2利用和（差）角公式求三角函數(shù)式的值】【方法點撥】解決三角函數(shù)求值的四個切入點：(1)觀察角的特點.充分利用角之間的關(guān)系，盡量向同角轉(zhuǎn)化，利用已知角構(gòu)建待求角.(2)觀察函數(shù)特點.向同名函數(shù)轉(zhuǎn)化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用輔助角公式求解.(4)觀察結(jié)構(gòu)特點，從整體出發(fā)，利用公式變形，并能正用、逆用、交替使用這些公式.【例2】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）2cos10°A．1 B．2 C．3 D．2【變式2-1】（2022·寧夏·高三期末（文））sin10°cos50°+A．12 B．22 C．32【變式2-2】（2022·河南高三階段練習(xí)（文））已知tanα=?3，則cosα+πA．225 B．?22 C．?【變式2-3】（2022·山東·高一階段練習(xí)）若cosα=35，則cosA．43100 B．11100 C．?43【題型3利用和（差）角公式化簡三角函數(shù)式】【方法點撥】(1)化簡三角函數(shù)式的標(biāo)準(zhǔn)和要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)式的種數(shù)、項數(shù)及角的種類盡可能少；③使三角函數(shù)式的次數(shù)盡可能低；④使分母中盡量不合三角函數(shù)式和根式.(2)化簡三角函數(shù)式的常用方法:①切化弦；②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次.【例3】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）化簡：(1)sinα+β(2)sin10°+【變式3-1】設(shè)3π4<θ<【變式3-2】（2022·四川省高一階段練習(xí)（理））化簡下列各式：(1)sin67°+(2)2sin(3)sinα+β【變式3-3】（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）化簡：(1)(tan10°－3)·cos10(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ【題型4利用和（差）角公式證明三角恒等式】【方法點撥】證明條件恒等式要充分關(guān)注已知條件與待證恒等式的關(guān)系，正確運(yùn)用條件并合理切入，然后用證明恒等式的一般方法處理.【例4】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知sinβ=msin2α+β，且α+β≠π2+kπ【變式4-1】（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【變式4-2】（2021·全國·高一課時練習(xí)）求證：（1）sin(α?β)（2）1cos【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）求證：（1）cosα（2）cosα（3）sinα【題型5利用二倍角公式化簡】【方法點撥】解決三角函數(shù)式的化簡問題就是根據(jù)題目特點，利用相應(yīng)的公式，對所給三角函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形.可從“冪”的差異、“名”的差異、“角”的差異這三個方面，結(jié)合所給“形”的特征入手解決.一般采用切化弦、異角化同角、異次化同次、異名化同名、通分、使被開方數(shù)化為完全平方式等進(jìn)行變形，同時注意公式的逆用以及“1”的恒等代換，在化簡時，要注意角的取值范圍.【例5】（2021·全國·高一專題練習(xí)）化簡：(1)cosπ12cos5π(2)cos4α2－sin4α(3)tan22.5【變式5-1】（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）化簡：1+sinα+【變式5-2】（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）化簡：(1)sinα+(2)2tan(3)cos40°(4)sin4(5)11+(6)3?sin【變式5-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）化簡下列各式：（1）11?（2）2cos【題型6利用二倍角公式求值】【方法點撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關(guān)系，并能根據(jù)式子的特點構(gòu)造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例6】（2022·全國·高一單元測試）已知tanα(1)求sinα(2