時(shí)間序列分析(2)

第三章波動(dòng)性模型一、經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的典型事實(shí)1.Mostoftheseriescontainacleartrend;2.Shockstoaseriescandisplayahighdegreeofpersistence;3.Thevolatilityofmanyseriesisnotconstantovertime;4.Someseriesseemtomeander;5.Someseriesshareco-movementswithotherseries.二、ARCH模型1、預(yù)備知識(shí)（1）條件均值和無(wú)條件均值對(duì)于平穩(wěn)ARMA過(guò)程，如yt=a0+a1yt-1+εt，若要預(yù)測(cè)未來(lái)t+1時(shí)刻的序列值yt+1，如果我們沒有任何已知信息，則只能以該序列的無(wú)條件均值作為其預(yù)測(cè)值，即有：

Eyt+1=a0+a1Eyt

Eyt+1=a0/(1-a1)

這一均值也就是序列{yt}的無(wú)條件均值。如果在時(shí)刻t我們已掌握了序列{yt}現(xiàn)在和過(guò)去的實(shí)際值，則就可以在已有信息的基礎(chǔ)上對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，有：

Etyt+1=E(yt+1|yt,yt-1,…)=a0+a1yt

這一均值就是在給定yt,yt-1,…的條件下yt+1的均值，即條件均值。二、ARCH模型（2）條件方差和無(wú)條件方差無(wú)條件均值預(yù)測(cè)的誤差為[yt+1-a0/(1-a1)]，其方差稱為無(wú)條件方差，有：

E[yt+1-a0/(1-a1)]2=E(εt+a1εt-1+a12εt-2+…)2=σ2/(1-a12)條件均值預(yù)測(cè)的誤差為[yt+1-(a0+a1yt)]，其方差稱為條件方差，有：

Et[yt+1-(a0+a1yt)]2=Et(εt+1)2=σ2由于|a1|<1，所以條件方差小于無(wú)條件方差，條件均值預(yù)測(cè)優(yōu)于無(wú)條件均值預(yù)測(cè)。二、ARCH模型2、經(jīng)濟(jì)和金融時(shí)間序列中的異方差現(xiàn)象①觀測(cè)變量序列的（條件）方差隨某個(gè)變量值的變化而變化；②觀測(cè)變量序列的大方差經(jīng)常成串出現(xiàn)，小方差也經(jīng)常成串出現(xiàn)，即觀測(cè)變量序列往往具有一段段的劇烈波動(dòng)時(shí)期，也有一段段的相對(duì)平靜時(shí)期。二、ARCH模型3、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中處理異方差的方法假設(shè)被解釋變量的（條件）方差隨變量xt的變化而變化，為了簡(jiǎn)化，僅考慮被解釋變量的方差，則可設(shè)定（條件）方差模型為：

yt+1=εt+1xt

從而有：Var(yt+1|xt)=xt2σ2

可見，yt+1的條件方差依賴于xt的實(shí)現(xiàn)值。若xt2大，則yt+1的條件方差也大；若xt2小，則yt+1的條件方差也小。若若xt序列相關(guān)，則yt+1的條件方差也序列相關(guān)。一般地，可將方差模型設(shè)定為：

yt+1=εt+1=Avt+1xtb

取對(duì)數(shù)即進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，可得同方差模型：

ln(yt)=a0+a1ln(xt-1)+et

其中Var(et)=constant，已為同方差模型。困難：如何選擇解釋變量xt?二、ARCH模型4、自回歸條件異方差模型對(duì)于平穩(wěn)ARMA過(guò)程，如yt=a0+a1yt-1+εt，通常均假設(shè){εt}為白噪聲過(guò)程，其方差為常數(shù)σ2。即有：

Var(yt+1|yt)=Et[(yt+1-a0-a1yt)2]=Et(εt+12)=σ2如果{εt}的條件方差不是常數(shù)，則其隨機(jī)誤差εt的平方也可用AR(q)模型來(lái)描述，有：

εt2=α0+α1εt-12+α2εt-22+…+αqεt-q2+νt

為了用極大似然方法同時(shí)估計(jì)序列{yt}的ARMA模型和其條件方差A(yù)R(q)模型，恩格爾(Engle,1982)將條件方差模型設(shè)計(jì)成乘積形式：

εt=vt(ht)1/2=vt(α0+α1εt-12+α2εt-22+…+αqεt-q2)1/2

其中vt為白噪聲過(guò)程，σv2=1，且νt與εt-1相互獨(dú)立。

稱為q階條件異方差模型，記為ARCH(q)。二、ARCH模型5、ARCH模型的性質(zhì)——以ARCH(1)為例(1)序列{εt}的性質(zhì)①εt的條件期望和無(wú)條件期望均為0，即：

Eεt=Evt(α0+α1εt-12)1/2=EvtE(α0+α1εt-12)1/2=0②εt的所有自協(xié)方差全為0，即：

Eεtεt-i=Evt(α0+α1εt-12)1/2vt-i(α0+α1εt-i-12)1/2=0③εt的無(wú)條件方差為常數(shù)，即：

Eεt2=Evt2(α0+α1εt-12)=Evt2E(α0+α1εt-12)=α0/(1-α1)④εt的條件方差非常數(shù)，即：

Et-1εt2=Et-1vt2(α0+α1εt-12)=Et-1vt2E(α0+α1εt-12)=α0+α1εt-12為了保證方差為正，要求α0>0，0<α1<1.二、ARCH模型5、ARCH模型的性質(zhì)——以ARCH(1)為例(2)序列{yt}的性質(zhì)①條件期望：Et-1yt=Et-1(a0+a1yt-1+εt)=a0+a1yt-1②無(wú)條件期望：Eyt=E(a0+a1yt-1+εt)=a0/(1-a1)③條件方差：

Var(yt|yt-1,…)=Et-1[yt-(a0+a1yt-1)]2=Et-1εt2=Et-1vt2(α0+α1εt-12)=α0+α1εt-12④無(wú)條件方差：

Var(yt)=E[yt-a0/(1-a1)]2=E(εt+a1εt-1+a12εt-2+…)2=[1/(1-a12)][α0/(1-α1)]二、ARCH模型5、ARCH模型的性質(zhì)——以ARCH(1)為例(3)ARCH模型如何顯示波動(dòng)聚集成串的特性？由于條件方差本身也是自回歸過(guò)程：

Et-1εt2=Et-1vt2(α0+α1εt-12)=α0+α1εt-12

其中α1>0，如果前一誤差εt-1較大，則α1εt-12也較大，εt的方差也就較大。如果前一誤差εt-1較小，則α1εt-12也較小，εt的方差也就較小。從而就有大的波動(dòng)緊跟著大的波動(dòng)，小的波動(dòng)緊跟著小的波動(dòng)的特征。Thus,theARCHmodelisabletocaptureperiodsoftranquilityandvolatilityinthe{yt}series.二、ARCH模型6、GARCH模型(1)GARCH模型的形式及其性質(zhì)

Bollerslev(1986)將Engle的ARCH模型一般化，擴(kuò)展成ARMA形式為：

εt=vt(ht)1/2ht=α0+α1εt-12+…+αqεt-q2+β1ht-1+…+βpht-p性質(zhì)：①期望為0，即Eεt=Evt(ht)1/2=0②條件方差為ht，即Et-1εt2=Et-1vt2(ht)=ht二、ARCH模型6、GARCH模型(2)檢驗(yàn)條件異方差的方法①用時(shí)間序列{yt}的最佳擬合ARMA模型估計(jì)擬合誤差序列{}，并計(jì)算殘差的樣本方差：

②計(jì)算并繪出殘差平方序列的樣本自相關(guān)圖：

③對(duì)殘差平方序列的樣本自相關(guān)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。單個(gè)ρi=0的檢驗(yàn)：ρi/(1/T)1/2~N(0,1)。

多個(gè)ρi=0的聯(lián)合檢驗(yàn)：Ljung-BoxQ檢驗(yàn)。二、ARCH模型6、GARCH模型(3)拉格朗日乘子(LM)檢驗(yàn)

——檢驗(yàn)ARCH模型階數(shù)的方法①用OLS法估計(jì)時(shí)間序列{yt}的最佳自回歸模型或ARMA模型：

A(L)yt=B(L)εt②用殘差序列建立輔助回歸方程：計(jì)算輔助回歸方程的判定系數(shù)R2，構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量:

TR2~χ2(q)

檢驗(yàn)假設(shè)H0：α1=α2=…=αq=0(無(wú)ARCH)。

三、通貨膨脹的條件異方差模型1、ARCH和GARCH模型的作用

——用于估計(jì)特定時(shí)間序列的條件方差(1)資產(chǎn)定價(jià)模型：風(fēng)險(xiǎn)升水(riskpremium)依賴于預(yù)期收益和收益的方差(資產(chǎn)持有的風(fēng)險(xiǎn))。(2)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(value-at-risk)：風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估用資產(chǎn)收益的條件分布決定。(3)勞資談判過(guò)程(wage-bargainingprocess)：工資合同依賴于預(yù)期的通貨膨脹率和預(yù)期精度的不確定性(風(fēng)險(xiǎn)：用條件方差表示)。估計(jì)條件方差的重要性：理性預(yù)期假說(shuō)認(rèn)為，行為人不會(huì)浪費(fèi)信息，對(duì)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)用條件分布。三、通貨膨脹的條件異方差模型2、恩格爾(Engle,1982)的英國(guó)通貨膨脹模型(1)模型所用變量和樣本范圍

pt—CPI的對(duì)數(shù)，wt—名義工資指數(shù)的對(duì)數(shù)

πt=pt-pt-1，rt=wt-pt

；樣本：1958:2-1977:2(2)常數(shù)方差模型

πt=0.0257+0.334πt-1+0.408πt-4-0.404πt-5+0.0559rt-1+εt(0.0057)(0.103)(0.110)(0.114)(0.0136)(3)ARCH模型

πt=0.0328+0.162πt-1+0.264πt-4-0.325πt-5+0.0707rt-1+εt(0.0049)(0.108)(0.089)(0.099)(0.0115)

ht=1.4E-5+0.955(0.4εt-12+0.3εt-22+0.2εt-32+0.1εt-42)

(8.5)(0.298)三、通貨膨脹的條件異方差模型3、Bollerslev（1986）的美國(guó)通貨膨脹模型(1)模型所用變量和樣本范圍

πt=通貨膨脹率（GNP平減指數(shù)的對(duì)數(shù)的差分）樣本：1948:2-1983:4(2)常數(shù)方差模型

πt=0.240+0.552πt-1+0.177πt-2+0.232πt-3-0.209πt-4+εt(0.080)(0.083)(0.089)(0.090)(0.080)(3)ARCH模型

πt=0.138+0.423πt-1+0.222πt-2+0.377πt-3-0.175πt-4+εt(0.059)(0.081)(0.108)(0.078)(0.104)

ht=0.058+0.802Σ8[(9-i)/36]εt-i2

(0.003)(0.265)三、通貨膨脹的條件異方差模型3、Bollerslev（1986）的美國(guó)通貨膨脹模型(3)ARCH模型

πt=0.138+0.423πt-1+0.222πt-2+0.377πt-3-0.175πt-4+εt(0.059)(0.081)(0.108)(0.078)(0.104)

ht=0.058+0.802Σ8[(9-i)/36]εt-i2

(0.003)(0.265)(4)GARCH模型

πt=0.141+0.433πt-1+0.229πt-2+0.349πt-3-0.162πt-4+εt(0.060)(0.081)(0.110)(0.077)(0.104)

ht=0.007+0.135εt-12+0.829ht-1

(0.006)(0.070)(0.068)四、美國(guó)PPI的GARCH模型1、變量與樣本變量：πt=Δln(PPIt)；樣本：1960:1-2002:12、Box-Jenkins方法的ARMA模型

πt=0.003+0.768πt-1+εt-0.358εt-1+0.297εt-4

問(wèn)題：通過(guò)Ljung-Box檢驗(yàn)，殘差平方序列非平穩(wěn)。3、ARCH誤差的檢驗(yàn)(1)輔助回歸與LM檢驗(yàn)：存在條件異方差(2)ARCH(4)對(duì)ARCH(8)的檢驗(yàn)

ARCH(1)對(duì)ARCH(4)的檢驗(yàn)四、美國(guó)PPI的GARCH模型4、ARMA(1,(1,4))-ARCH(4)模型

πt=0.0033+0.5727πt-1+εt-0.0389εt-1+0.2830εt-4(0.167)(6.12)(-0.370)(3.47)ht=4.53E-5+0.094εt-12+0.299εt-22-0.055εt-32+0.307εt-42

(5.04)(1.08)(2.18)(-1.38)(2.90)5、ARMA(1,(1,4))-約束ARCH(4)模型

πt=0.0026+0.5800πt-1+εt-0.1162εt-1+0.2827εt-4(2.52)(4.20)(-0.77)(3.74)ht=4.92E-5+0.6005(0.4εt-12+0.3εt-22+0.2εt-32+0.1εt-42)

(4.25)(3.38)四、美國(guó)PPI的GARCH模型6、ARMA(1,(1,4))-GARCH(1,1)模型

πt=0.0050+0.7155πt-1+εt-0.283εt-1+0.2647εt-4(1.82)(7.42)(-2.26)(2.67)ht=1.74E-5+0.2100εt-12+0.6410ht-1

(1.54)(2.14)(3.62)7、模型的診斷與預(yù)測(cè)五、風(fēng)險(xiǎn)的GARCH模型1、Holt-Aradhyula的烤雞供給模型(1990)

qt=a0+a1pte-a2ht-a3pfeedt-1+a4hatcht-1+a5qt-4+ε1t(1-β1L-β2L2-β3L3-β4L4)pt=β0+ε2t

式中：qt—t期烤雞生產(chǎn)量

pt—t期烤雞的市場(chǎng)價(jià)格

pte—t期烤雞的預(yù)期價(jià)格(pte=Et-1pt)ht—預(yù)期的t期烤雞價(jià)格的條件方差

pfeedt-1—t-1期烤雞飼料的實(shí)際價(jià)格

hatcht-1—t-1期烤雞雞雛的數(shù)量

εit—隨機(jī)沖擊五、風(fēng)險(xiǎn)的GARCH模型2、烤雞供給模型的估計(jì)結(jié)果烤雞價(jià)格的GARCH模型

(1-0.511L-0.129L2-0.130L3-0.138L4)pt=1.632+ε2t(0.092)(0.098)(0.094)(0.073)(1.347)ht=1.353+0.162ε2t-1+0.591ht-1(0.747)(0.80)(0.175)烤雞供給模型

qt=2.767pte-0.521ht-4.325pfeedt-1+1.887hatcht-1+0.603qt-4+ε1t(0.585)(0.344)(1.463)(0.205)(0.065)六、ARCH-M模型1、模型的背景在資本市場(chǎng)上，風(fēng)險(xiǎn)厭惡(risk-averse)的投資者持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)必然會(huì)要求得到補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)越大，要求的補(bǔ)償就越高。如果風(fēng)險(xiǎn)用收益的方差表示，則風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償即風(fēng)險(xiǎn)升水(riskpremium)將是收益條件方差的增函數(shù)。2、ARCH-M模型的形式持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益：yt=μt+εt

風(fēng)險(xiǎn)升水：

μt=β+δht

收益的條件方差：ht=α0+α1εt-12+α2εt-22+…+αqεt-q2六、ARCH-M模型3、ARCH-M模型的例子

——美國(guó)半年期國(guó)庫(kù)券的超額收益模型(1)半年期國(guó)庫(kù)券超額收益的計(jì)算記三個(gè)月期國(guó)庫(kù)券的季度利率為rt，半年期國(guó)庫(kù)券的季度利率為Rt，則持有半年期國(guó)庫(kù)券的超額收益為：

yt=(1+Rt)2-(1+rt+1)(1+rt)2Rt-rt+1-rt樣本期：1960:1-1984:2六、ARCH-M模型3、ARCH-M模型的例子

——美國(guó)半年期國(guó)庫(kù)券的超額收益模型(2)條件異方差性檢驗(yàn)

超額收益方程：yt=0.142+εt(4.04)

殘差平方的輔助回歸方程：

ht=α0+α1(0.4εt-12+0.3εt-22+0.2εt-32+0.1εt-q2)

檢驗(yàn)假設(shè)H0：α1=0

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：LM=TR2=10.1>6.635=χ20.01(1)

檢驗(yàn)結(jié)論：拒絕原假設(shè)，認(rèn)為存在條件異方差。六、ARCH-M模型3、ARCH-M模型的例子

——美國(guó)半年期國(guó)庫(kù)券的超額收益模型(3)ARCH-M模型的極大似然估計(jì)結(jié)果

超額收益方程：yt=-0.0241+0.687ht+εt(-1.29)(5.15)

超額收益的條件方差模型：

ht=0.0023+1.64(0.4εt-12+0.3εt-22+0.2εt-32+0.1εt-q2)(1.08)(6.30)七、GARCH過(guò)程的性質(zhì)1、GARCH模型的一般形式均值模型(modelofthemean)：

yt=a0+βxt+εt

xt~ARMA(pm,qm)，可含外生變量

方差模型(modelofthevariance)：

εt=vtht1/2，vt~IID(0,1)

ht=α0+α1εt-12+…+αqεt-q2+β1ht-1+…+βpht-p

其中有：Eεt=0，Et-1εt2=ht七、GARCH過(guò)程的性質(zhì)2、GARCH(1,1)誤差過(guò)程的性質(zhì)(1)GARCH(1,1)誤差過(guò)程模型

εt=vtht1/2，ht=α0+α1εt-12+β1ht-1，vt~IID(0,1)

(2)均值：Eεt=E(vtht1/2)=EvtEht1/2=0(3)方差：條件：Et-1εt2=Et-1(vt2ht)=htEt-1vt2=ht

無(wú)條件:Eεt2=α0+(α1+β1)Eεt-12=α0/(1-α1-β1)(4)自協(xié)方差：條件：Et-1εtεt-j=0

無(wú)條件:Eεtεt-j=E(vtht1/2

vt-jht-j1/2)=0(5)波動(dòng)的持久性：由Eεt2=α0+(α1+β1)Eεt-12，可知若(α1+β1)<1，則方差指數(shù)衰減。(6)自相關(guān)圖：GARCH(p,q)過(guò)程的ACF類似于ARMA(m,p)過(guò)程的ACF，其中m=max(p,q)。七、GARCH過(guò)程的性質(zhì)3、GARCH模型擬合的評(píng)價(jià)方法(1)殘差平方和

(2)類AIC和SBCAIC′=-lnL+2nSBC′=-lnL+nln(T)

其中：lnL為樣本序列的對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

七、GARCH過(guò)程的性質(zhì)4、GARCH模型的診斷檢驗(yàn)(1)GARCH模型恰當(dāng)?shù)臉?biāo)志若GARCH模型恰當(dāng)，則GARCH模型的殘差不存在序列相關(guān)，也沒有剩余的條件波動(dòng)。

(2)模型的診斷檢驗(yàn)方法①根據(jù)GARCH模型的殘差計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列：

②對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列用Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)假設(shè)H0：ρ1=ρ2=…=0，ρi為標(biāo)準(zhǔn)化殘差的ACF。若拒絕了此假設(shè)，則表明均值模型不恰當(dāng)。③對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方序列用Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)H0：ρ1=ρ2=…=0，ρi為標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方的ACF。若拒絕了此假設(shè)，則表明條件方差模型不恰當(dāng)。七、GARCH模型的性質(zhì)5、GARCH模型的預(yù)測(cè)(1)yt的預(yù)測(cè)：yt=a0+βxt+εt

向前1步：Etyt+1±2(ht+1)1/2

向前j步：Etyt+j±2(ht+j)1/2(2)條件方差的預(yù)測(cè)：ht=α0+α1εt-12+β1ht-1

向前1步：Etht+1=α0+α1εt2+β1ht

向前j步：Etht+j=α0+α1Etεt+j-12+β1Etht+j-1

因?yàn)椋篍tεt+j2=Et(vt+j2ht+j)=Et(ht+j)

所以：Etht+j=α0+(α1+β1)Etht+j-1

=α0[1+(α1+β1)+(α1+β1)2+…+(α1+β1)j-1]+(α1+β1)jht

若(α1+β1)<1，則當(dāng)j

時(shí)，Eht=

0/(1-1-1).八、GARCH模型的極大似然估計(jì)由GARCH模型：yt=a0+βxt+εt，

εt=vtht1/2，vt~iid(0,1)

ht=α0+α1εt-12+…+αqεt-q2+β1ht-1+…+βpht-p對(duì)于序列{εt}的T個(gè)實(shí)現(xiàn)值ε1,ε2,…,εT,可構(gòu)造出似然函數(shù)為：取對(duì)數(shù)，得對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

選取參數(shù)值，通過(guò)迭代方法使此對(duì)數(shù)似然函數(shù)達(dá)到最大，即可求得模型的極大似然估計(jì)。九、條件方差模型的擴(kuò)展1、IGARCH模型(1)模型背景：在金融時(shí)間序列中，條件波動(dòng)常常具有持久性。若估計(jì)GARCH(1,1)模型，將會(huì)有α1與β1之和很接近于1。因此，Nelson(1991)提出了給定約束α1+β1=1的GARCH(1,1)模型：

ht=α0+(1-β1)εt-12+β1ht-1

由于該模型中條件方差的行為類似于單位根過(guò)程，所以稱為IGARCH模型。(2)條件方差的預(yù)測(cè)向前1步：Etht+1=α0+(1-β1)Etεt2+β1ht=α0+ht

向前j步：Etht+1=α0+(1-β1)Etεt+j-12+β1ht+j-1=α0j+ht九、條件方差模型的擴(kuò)展2、具有解釋變量的GARCH模型就象可以在均值模型中包含外生解釋變量一樣，條件方差模型也可以含有外生解釋變量。如要確定2001年9月11日美國(guó)的恐怖襲擊是否增加了資本市場(chǎng)的波動(dòng)性，就可設(shè)定一個(gè)帶虛擬變量的GARCH模型為：

ht=α0+α1εt-12+βht-1+γDt

其中Dt在911以前取值為0，以后取值為1。九、條件方差模型的擴(kuò)展3、非對(duì)稱模型：TARCH和EGARCH模型(1)杠桿效應(yīng)(leverageeffect)：股票收益增加時(shí)，股票價(jià)格波動(dòng)性減小；收益減少時(shí)，波動(dòng)性增大，即壞消息導(dǎo)致的波動(dòng)比好消息大，稱為杠桿效應(yīng)。九、條件方差模型的擴(kuò)展3、非對(duì)稱模型：TARCH和EGARCH模型(2)TARCH模型由于好消息和壞消息有不同的效應(yīng)，其分界值為εt-1=0，稱為門檻值或門限值。給定一個(gè)虛擬變量dt，當(dāng)壞消息出現(xiàn)時(shí)取值1，否則取值0，則可設(shè)定一個(gè)非對(duì)稱的ARCH或GARCH模型為：

ht=α0+α1εt-12+λ1dt-1εt-12+βht-1

稱為門限ARCH或門限GARCH模型(threshold-GARCH)。在TARCH模型中，壞消息對(duì)條件方差的影響為(α1+λ1)εt-12，好消息的影響為α1εt-12。九、條件方差模型的擴(kuò)展3、非對(duì)稱模型：TARCH和EGARCH模型(3)EGARCH模型標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型要求所有參數(shù)的估計(jì)值為正，這給估計(jì)帶來(lái)了麻煩。Nelson(1991)提出了一個(gè)不要求非負(fù)約束的條件方差模型為：

ln(ht)=α0+α1(εt-1/ht-10.5)+λ1|εt-1/ht-10.5|+β1ln(ht-1)

稱為指數(shù)GARCH模型(exponential-GARCH)。在EGARCH模型的特點(diǎn)有：①對(duì)數(shù)線性形式，隱含ht為正，允許參數(shù)為負(fù)；②條件方差是標(biāo)準(zhǔn)化殘差水平的函數(shù)；③允許有杠桿效應(yīng)。九、條件方差模型的擴(kuò)展4、杠桿效應(yīng)的檢驗(yàn)方法1：檢驗(yàn)TARCH或EGARCH模型中的參數(shù)λ1是否為0。

ht=α0+α1εt-12+λ1dt-1εt-12+βht-1

ln(ht)=α0+α1(εt-1/ht-10.5)+λ1|εt-1/ht-10.5|+β1ln(ht-1)方法2：估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方對(duì)滯后標(biāo)準(zhǔn)化殘差的回歸，檢驗(yàn)全部回歸系數(shù)是否為0。標(biāo)準(zhǔn)化殘差：檢驗(yàn)回歸方程：st2=a0+a1st-1+a2st-2+…

檢驗(yàn)原假設(shè)H0:a1=a2=…=0

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F九、條件方差模型的擴(kuò)展4、杠桿效應(yīng)的檢驗(yàn)方法3：Engle-Ng符號(hào)偏差檢驗(yàn)——估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方對(duì)虛擬變量的回歸，檢驗(yàn)其系數(shù)是否為0。記dt-1=1,若st-1<0；dt-1=0,若st-10.

檢驗(yàn)回歸方程：st2=a0+a1dt-1+ε1t

檢驗(yàn)原假設(shè)H0:a1=0方法4：估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方對(duì)虛擬變量和滯后標(biāo)準(zhǔn)化殘差與虛擬變量的乘積的回歸，檢驗(yàn)全部回歸系數(shù)是否為0。檢驗(yàn)回歸方程:st2=a0+a1dt-1+a2dt-1st-1+a3(1-dt-1)st-1+ε1t

檢驗(yàn)假設(shè)H0:a1=a2=a3=0九、條件方差模型的擴(kuò)展5、非正態(tài)誤差(1)金融資產(chǎn)收益率分布的特點(diǎn)①非對(duì)稱(asymmetry)②厚尾(fat-tailed)(2)非正態(tài)誤差設(shè)定的方法——設(shè)定為t分布。十、紐約證交所綜合指數(shù)模型1、數(shù)據(jù)樣本：1995.1.3—2002.8.302、均值模型由于綜合指數(shù)是非平穩(wěn)序列，所以要進(jìn)行對(duì)數(shù)差分變換：

rt=ln(COMPOSITEt/COMPOSITEt-1)

經(jīng)過(guò)變換后的變量rt為日收益率。序列{rt}的ACF:ρ1=0.068,ρ2=-0.0458，顯著非0。用AIC和SBC選擇模型，得:MA(2):rt=0.000353+εt+0.0705εt-1-0.0413εt-2MA(1):rt=0.000353+0.0705εt-1+εt十、紐約證交所綜合指數(shù)模型3、檢驗(yàn)GARCH誤差

F=37.77，prob-value=0.000，拒絕無(wú)GARCH的假設(shè)。

4、各種模型的估計(jì)(1)MA(2)-GARCH(1,1)模型

rt=7.24E-4+εt-0.1034εt-1-0.0003εt-2(3.42)(-4.17)(-0.13)ht=1.33E-6+0.119ε2t-1+0.877ht-1(4.09)(11.58)(83.48)問(wèn)題？十、紐約證交所綜合指數(shù)模型4、各種模型的估計(jì)(2)MA(1)-GARCH(1,1)模型

rt=7.25E-4+εt-0.1030εt-1(3.47)(-4.29)ht=1.32E-6+0.119ε2t-1+0.878ht-1(4.09)(12.42)(85.00)問(wèn)題？(3)MA(1)-IGARCH(1,1)模型

rt=7.26E-4+εt-0.1031εt-1(3.42)(-4.27)ht=1.18E-6+0.1219ε2t-1+(1-0.1219)ht-1(6.00)(12.65)十、紐約證交所綜合指數(shù)模型4、各種模型的估計(jì)(4)ARCH-M模型(i)rt=1.20E-4+εt-0.103εt-1+0.081ht(0.189)(-4.26)(1.00)

問(wèn)題？(ii)rt=3.70E-4+εt-0.103εt-1+5.61ht0.5(0.116)(-4.25)(1.41)

問(wèn)題？

十、紐約證交所綜合指數(shù)模型5、模型診斷檢驗(yàn)—IGARCH(1,1)模型的診斷

診斷檢驗(yàn)序列：標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列(1)剩余序列相關(guān)檢驗(yàn)序列{st}的Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量：

Q(5)=6.39，Q(10)=10.36，Q(25)=29.63

都不顯著，不能拒絕{st}無(wú)序列相關(guān)的假設(shè)。(2)剩余GARCH效應(yīng)檢驗(yàn)輔助回歸：st2=0.95-0.001s2t-1+0.0351s2t-2H0:a1=a2=0，F(xiàn)=1.18，p=0.38，不能拒絕H0.

序列{st2}的Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量：

Q(5)=3.89，Q(10)=4.57，Q(25)=11.15

都不顯著，不能拒絕{st2}無(wú)序列相關(guān)的假設(shè)。十、紐約證交所綜合指數(shù)模型5、模型診斷檢驗(yàn)—IGARCH(1,1)模型的診斷(3)杠桿效應(yīng)檢驗(yàn)(i)F檢驗(yàn)st2=0.964-0.157st-1-0.250st-2-0.084st-3(21.29)(-3.49)(-5.49)(-1.85)H0：a1=a2=a3=0，F(xiàn)=15.23，p=0.000，顯著，存在杠桿效應(yīng)。(ii)Engle-Ng符號(hào)檢驗(yàn)

記dt-1=1,若st-1<0；dt-1=0,若st-10.st2=0.858+0.245dt-1(13.04)(2.70)dt-1的系數(shù)顯著，存在杠桿效應(yīng)，負(fù)沖擊增加收益rt的條件方差。十、紐約證交所綜合指數(shù)模型6、非對(duì)稱模型(1)TARCH模型

ht=1.81E-6-0.0064εt-12+0.1947dt-1εt-12+0.893ht-1(6.48)(-0.662)(12.33)(96.85)問(wèn)題？(2)EGARCH模型

rt=2.77E-4+0.1186εt-1+εt(1.45)(5.00)

lnht=-0.4321-0.1553εt-1/ht-10.5+0.1236|εt-1/ht-10.5|+0.9646lnht-1(-9.61)(-13.71)(7.72)(230.71)負(fù)沖擊對(duì)條件方差的影響：-(-0.1553)+0.1263=0.2816正沖擊對(duì)條件方差的影響：-0.1553+0.1263=-0.0290十、紐約證交所綜合指數(shù)模型6、非對(duì)稱模型(3)非對(duì)稱模型EGARCH的診斷檢驗(yàn)(i)標(biāo)準(zhǔn)化殘差的序列相關(guān)性檢驗(yàn)對(duì)序列{st2}進(jìn)行序列相關(guān)和符號(hào)偏差檢驗(yàn)，沒有發(fā)現(xiàn)殘差中還有剩余信息。(ii)模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)比較IGARCH和EGARCH的RRS’、AIC’和SBC’，發(fā)現(xiàn)IGARCH擬合較好。(iii)標(biāo)準(zhǔn)化殘差正態(tài)性檢驗(yàn)用標(biāo)準(zhǔn)化殘差作累計(jì)分布圖，并與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)分布圖比較。7、用EGARCH模型預(yù)測(cè)收益的方差第四章趨勢(shì)模型一、確定趨勢(shì)和隨機(jī)趨勢(shì)1、線性隨機(jī)差分方程通解的構(gòu)成

yt=趨勢(shì)+平穩(wěn)成分+噪聲2、趨勢(shì)的兩種類型(1)確定趨勢(shì)(DT—deterministictrend)yt=y0+a0t+A(L)εt(2)隨機(jī)趨勢(shì)(ST—stochastictrend)yt=y0+Σ1tεi+a0t

或：Δyt=a0+εt一、確定趨勢(shì)和隨機(jī)趨勢(shì)3、隨機(jī)游走模型

yt=yt-1+εt或：Δyt=εt通解：

yt=y0+Σ1tεi(1)均值：無(wú)條件：Eyt=Eyt-s=y0

條件：Etyt+1=Et(yt+εt+1)=yt(2)方差：Var(yt)=Var(εt+εt-1+…+ε1)=tσ2

Var(yt-s)=Var(εt-s+εt-s-1+…+ε1)=(t-s)σ2(3)自協(xié)方差：E(yt-y0)(yt-s-y0)=E(εt+εt-1+…+ε1)(εt-s+εt-s-1+…+ε1)=(t-s)σ2(4)自相關(guān)函數(shù)：ρs=(t-s)/[t(t-s)]1/2=[(t-s)/t]1/2隨機(jī)游走過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有輕微的衰減趨勢(shì)。一、確定趨勢(shì)和隨機(jī)趨勢(shì)4、帶漂移的隨機(jī)游走模型

yt=yt-1+a0+εt或：Δyt=a0+εt通解：

yt=y0+a0t+Σ1tεi特點(diǎn)：yt的行為由兩個(gè)非平穩(wěn)成分控制：一個(gè)線性確定趨勢(shì)和一個(gè)隨機(jī)趨勢(shì)，沒有平穩(wěn)成分。無(wú)條件均值：Eyt=y0+a0t

Eyt+s=y0+a0(t+s)條件均值：Etyt+s=Et(yt+a0s+Σ1sεt+i)=yt+a0s一、確定趨勢(shì)和隨機(jī)趨勢(shì)5、隨機(jī)趨勢(shì)模型的一般化(1)帶噪聲的隨機(jī)游走模型

yt=y0+Σ1tεi+ηt或：Δyt=εt+Δηt性質(zhì)：

(1)序列yt含有隨機(jī)趨勢(shì)和純?cè)肼?，εt對(duì)yt有持久影響，而ηt對(duì)yt只有暫時(shí)影響。(2)對(duì)于給定的初值，yt的均值為常數(shù)。Eyt=Eyt-s=y0(3)方差:Var(yt)=Var(εt+εt-1+…+ε1+ηt)=tσ2+ση2

Var(yt-s)=Var(εt-s+εt-s-1+…+ε1+ηt)=(t-s)σ2+ση2(3)自協(xié)方差：E(yt-y0)(yt-s-y0)=E(εt+εt-1+…+ε1+ηt)(εt-s+εt-s-1+…+ε1+ηt-s)=(t-s)σ2(4)自相關(guān)函數(shù)：ρs=(t-s)σ2/{[tσ2+ση2][(t-s)σ2+ση2]}1/2一、確定趨勢(shì)和隨機(jī)趨勢(shì)5、隨機(jī)趨勢(shì)模型的一般化(2)帶噪聲的趨勢(shì)模型

yt=y0+a0t+Σ1tεi+ηt

或：Δyt=a0+εt+Δηt(3)帶不規(guī)則變動(dòng)的一般趨勢(shì)模型

yt=y0+a0t+Σ1tεi+A(L)ηt二、剔除趨勢(shì)的方法1、剔除趨勢(shì)的意義時(shí)間序列的經(jīng)典建模方法是建立在平穩(wěn)可逆隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)之上的，而含有趨勢(shì)的隨機(jī)過(guò)程是不平穩(wěn)的，不滿足經(jīng)典建模方法的基本假設(shè)。在非平穩(wěn)過(guò)程中，隨機(jī)沖擊對(duì)變量序列有持久的影響，且變量序列不會(huì)向一個(gè)長(zhǎng)期水平回歸。剔除趨勢(shì)的方法有兩種：

(1)差分(diffencing)；(2)退勢(shì)(detrending)。二、剔除趨勢(shì)的方法2、差分方法(1)帶漂移的隨機(jī)游走過(guò)程的差分

yt=y0+a0t+Σ1tεi

差分：Δyt=a0+εt

均值：EΔyt=E(a0+εt)=a0

方差：Var(Δyt)=E(Δyt-a0)2=E(εt)2=σ2自協(xié)方差：Cov(Δyt,Δyt-s)=E(εtεt-s)=0可見：差分后的序列為二階平穩(wěn)過(guò)程。二、剔除趨勢(shì)的方法(2)帶噪聲的隨機(jī)游走過(guò)程的差分

yt=y0+Σ1tεi+ηt

差分：Δyt=εt+Δηt均值：EΔyt=E(εt+Δηt)=0方差：Var(Δyt)=E(εt+Δηt)2=σ2+2ση2自協(xié)方差：Cov(Δyt,Δyt-1)=E(εt+Δηt)(εt-1+Δηt-1)=-ση2

Cov(Δyt,Δyt-s)=E(εt+Δηt)(εt-s+Δηt-s)=0,s>1.自相關(guān)函數(shù)：ρ1=ση2/[σ2+2ση2]=-1/[2+σ2/ση2]

-0.5<ρ1<0ρs=0，s>1.

可見：此過(guò)程的自相關(guān)圖類似于MA(1)的自相關(guān)圖。二、剔除趨勢(shì)的方法(3)ARIMA(p,d,q)過(guò)程對(duì)于一般ARMA過(guò)程：

A(L)yt=B(L)εt若A(L)有d個(gè)單位根，而B(L)的根都在單位圓外，則可將A(L)因子分解為A(L)=(1-L)dA*(L)，就有：

(1-L)dA*(L)yt=B(L)εt

定義變量yt*=(1-L)dyt=Δdyt，則有平穩(wěn)ARMA過(guò)程為：

A*(L)yt*=B(L)εt在ARIMA(p,d,q)過(guò)程中，變量yt是d階差分序列yt*之d階和，稱為是d階和分的(integrated)，記為yt~I(d)。二、剔除趨勢(shì)的方法3、退勢(shì)方法對(duì)于確定趨勢(shì)過(guò)程，如：

yt=a0+a1t+a2t2+…+antn+et，et~平穩(wěn)過(guò)程.

要剔除趨勢(shì)，則需先估計(jì)回歸方程：

ytT=a0+a1t+a2t2+…+antn

然后計(jì)算殘差：

et=yt-ytT

則此殘差序列就是剔除趨勢(shì)后的平穩(wěn)序列。二、剔除趨勢(shì)的方法4、剔除趨勢(shì)方法使用不當(dāng)?shù)暮蠊?1)確定趨勢(shì)過(guò)程使用差分的后果對(duì)于確定趨勢(shì)帶純?cè)肼曔^(guò)程，如：

yt=y0+a1t+εt

若進(jìn)行差分，則有：

Δyt=a1+εt-εt-1

由于(εt-εt-1)中有1個(gè)單位根，所以差分后的序列Δyt是不可逆的，即不能表示為自回歸形式，因此不能進(jìn)行模型的估計(jì)。二、剔除趨勢(shì)的方法4、剔除趨勢(shì)方法使用不當(dāng)?shù)暮蠊?1)確定趨勢(shì)過(guò)程使用差分的后果對(duì)于一般的確定趨勢(shì)過(guò)程，如：

A(L)yt=a0+a1t+B(L)εt

若進(jìn)行差分，則有：

A(L)Δyt=a1+(1-L)B(L)εt

從而使模型的MA部分出現(xiàn)了1個(gè)單位根，導(dǎo)致差分后的序列Δyt是不可逆的，因此不能進(jìn)行模型的估計(jì)。二、剔除趨勢(shì)的方法4、剔除趨勢(shì)方法使用不當(dāng)?shù)暮蠊?2)隨機(jī)趨勢(shì)去勢(shì)的后果對(duì)于含有隨機(jī)趨勢(shì)的過(guò)程，如：

yt=y0+a1t+Σ1tεi+A(L)ηt

若估計(jì)確定趨勢(shì)：

ytT=y0+a1t

計(jì)算殘差，則有：

et=yt-ytT=Σ1tεi+A(L)ηt

可見，隨機(jī)趨勢(shì)并沒有被剔除，仍然存在于殘差序列之中，退勢(shì)后的序列仍然非平穩(wěn)。二、剔除趨勢(shì)的方法5、經(jīng)濟(jì)變量是DT還是ST?Nelson和Plosser(1982)在“TrendsandRandomWalksinMarcoeconomicTimeSeries”(JournalofMonetaryEconomics，9，139-162)一文中對(duì)美國(guó)13個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的年度序列進(jìn)行了檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果表明，除了失業(yè)率一個(gè)變量不是ST和有弱的證據(jù)表明實(shí)際GNP是一個(gè)DT以外，絕大部分經(jīng)濟(jì)變量都是ST過(guò)程。Nelson和Plosser的文章引發(fā)了這方面的大量的研究。Franses和Kleibergen的預(yù)測(cè)檢驗(yàn)(1996)

Note:A”+”indicatesthattheSTmodelhasasmallerRMSPEthanthatoftheDTmodel.Variable

Forecastprocedure(for36years)One-stepaheadOne-stepaheadh-stepahead(Rollingregressions)RealGNPNominalGNPRealGNPpercapitaIndustrialproductionEmploymentGNPdeflatorConsumerpricesWagesRealwagesNominalmoneystockVelocityBondyieldStockpricesUnemployment+++++++-+----++++++--+++++++--+++++++++---三、單位根與回歸殘差1、虛假回歸(spuriousregression)所謂虛假回歸，就是估計(jì)的回歸方程有高的R2值和顯著的t值，但是回歸方程本身卻沒有任何經(jīng)濟(jì)意義。虛假回歸通常發(fā)生于非平穩(wěn)變量的回歸方程。假設(shè)有兩個(gè)變量yt和zt，二者都是隨機(jī)游走過(guò)程，且相互獨(dú)立，有：

yt=yt-1+εyt，zt=zt-1+εzt

則二者的回歸方程沒有任何實(shí)際意義。但是，若用經(jīng)典回歸分析方法建立回歸模型：

yt=a0+a1zt+et

則該回歸方程通常會(huì)有很高的R2，并且Granger和Newbold通過(guò)模擬表明，在5%的顯著性水平上，約有75%的情形會(huì)拒絕a1=0的零假設(shè)。三、單位根與回歸殘差2、虛假回歸的特征在非平穩(wěn)變量的虛假回歸中，回歸殘差也是非平穩(wěn)的，并且高度自相關(guān)。如在兩獨(dú)立隨機(jī)游走變量的回歸yt=a1zt+et中，其殘差為：

et=yt-a1zt=Σ1tεyi-a1Σ1tεzi

此殘差的均值為0，其方差和自協(xié)方差為：

Var(et)=t(σy2+a12σz2)，Cov(et,et-s)=(t-s)(σy2+a12σz2)由此得自相關(guān)函數(shù)為：

ρ=(t-s)/[t(t-s)]1/2=[(t-s)/t]1/2非平穩(wěn)變量的回歸之所以出現(xiàn)虛假回歸是因?yàn)檫`背了經(jīng)典回歸模型要求變量平穩(wěn)的基本假設(shè)，使得通常的R2值和t檢驗(yàn)以及F檢驗(yàn)都不可用。三、單位根與回歸殘差3、時(shí)間序列回歸的四種情形(1)序列yt和zt都是平穩(wěn)的，經(jīng)典回歸是適當(dāng)?shù)摹?2)序列yt和zt是同階和分的，殘差序列含有隨機(jī)趨勢(shì)，則二者的回歸是虛假回歸。在此情形，通常應(yīng)建立差分回歸模型：

Δyt=a1Δzt+Δet

yt和zt及et都含有1個(gè)單位根，差分后都是平穩(wěn)的。(3)序列yt和zt是不同階和分的，二者的回歸是虛假回歸。(4)序列yt和zt是同階和分的，且回歸殘差是平穩(wěn)的，則稱序列yt和zt是協(xié)和的(cointegreted)，回歸模型反映了二者的長(zhǎng)期均衡關(guān)系。四、MonteCarlo方法1、單位根檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量的分布要檢驗(yàn)一個(gè)序列是否為隨機(jī)游走過(guò)程，即是否含有單位根，可建立回歸方程：

yt=a1yt-1+εt

并檢驗(yàn)零假設(shè)H0:a1=1。然而，在此零假設(shè)下，傳統(tǒng)的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量即使在極限的情況下也不服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，而是當(dāng)T

時(shí)，有：其中W(r)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)(Brownianmotion)，或稱維納過(guò)程(Weinerprocess)。四、MonteCarlo方法2、單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量概率分布表的編制要用解析方法給出單位根檢驗(yàn)的概率分布值表是困難的，Dickey和Fuller(1979)用MonteCarlo方法編制出了這一概率值表。方法如下：(1)用計(jì)算機(jī)生成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)序列{εt}；(2)根據(jù)隨機(jī)游走模型yt=yt-1+εt生成變量序列{yt}；(3)估計(jì)回歸方程Δyt=γyt-1+εt，并計(jì)算檢驗(yàn)零假設(shè)H0:γ=0(γ=a1-1)的t統(tǒng)計(jì)量值；(4)重復(fù)1-3步上萬(wàn)次，列出統(tǒng)計(jì)量t的頻率分布即為其概率分布。五、Dickey-Fuller檢驗(yàn)1、基本的Dickey-Fuller檢驗(yàn)(DF檢驗(yàn))輔助回歸方程：視序列是否有趨勢(shì)，選擇下列三個(gè)方程之一：

Δyt=γyt-1+εtΔyt=a0+γyt-1+εtΔyt=a0+a2t+γyt-1+εt檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=γ?/σγ?檢驗(yàn)臨界值：分別為：τ、τμ、ττ。五、Dickey-Fuller檢驗(yàn)2、擴(kuò)展的Dickey-Fuller檢驗(yàn)(ADF檢驗(yàn))考慮到序列可能是高階過(guò)程，為了保證輔助回歸方程的殘差為白噪聲，將輔助回歸方程擴(kuò)展為：

Δyt=γyt-1+β2Δyt-1+β3Δyt-2+…+βpΔyt-p+1+εtΔyt=a0+γyt-1+β2Δyt-1+β3Δyt-2+…+βpΔyt-p+1+εtΔyt=a0+a2t+γyt-1+β2Δyt-1+β3Δyt-2+…+βpΔyt-p+1+εt檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

t=γ?/σγ?檢驗(yàn)臨界值：分別為：τ、τμ、ττ。五、Dickey-Fuller檢驗(yàn)3、聯(lián)合F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)Dickey-Fuller(1981)還給出了輔助回歸方程中各參數(shù)的聯(lián)合檢驗(yàn)方法。檢驗(yàn)的零假設(shè)分別有：

H01:γ=a0=0；H02:a0=γ=a2=0；H03:γ=a2=0

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別記為Φ1、Φ2、Φ3，都是F統(tǒng)計(jì)量：這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的概率值表也是通過(guò)MonteCarlo方法編制出來(lái)的。五、Dickey-Fuller檢驗(yàn)4、例子——聯(lián)邦儲(chǔ)備局的生產(chǎn)指數(shù)的單位根檢驗(yàn)Dickey-Fuller(1981)對(duì)聯(lián)邦儲(chǔ)備局的生產(chǎn)指數(shù)進(jìn)行了單位根檢驗(yàn)。輔助回歸方程分別為：

Δyt=0.52+0.00120t-0.119yt-1+0.498Δyt-1+εt

(0.15)(0.00034)(0.033)(0.081)

SSR=0.056448

Δyt=0.0054+0.447Δyt-1+εt

SSR=0.063211Δyt=0.511Δyt-1+εt

SSR=0.065966各參數(shù)的聯(lián)合檢驗(yàn)分別為：

H02:a0=γ=a2=0；Φ2=5.95，2.5