高考物理考前知識(shí)專題 5　功能關(guān)系的理解和應(yīng)用

考題一功和功率的計(jì)算1.功的計(jì)算力的特點(diǎn)計(jì)算方法恒力的功單個(gè)恒力W＝Flcosα合力為恒力1.先求合力，再求W＝F合l2.W＝W1＋W2＋…變力的功大小恒定，且方向始終沿軌跡切線方向力的大小跟路程的乘積力與位移成線性變化W＝eq\x\to(F)lcosθ已知F－l圖象功的大小等于“面積”一般變力動(dòng)能定理2.功率的計(jì)算(1)P＝eq\f(W,t)，適用于計(jì)算平均功率；(2)P＝Fvcosθ，若v為瞬時(shí)速度，P為瞬時(shí)功率，若v為平均速度，P為平均功率.例1(2016·全國(guó)甲卷·21)如圖1，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連.現(xiàn)將小球從M點(diǎn)由靜止釋放，它在下降的過(guò)程中經(jīng)過(guò)了N點(diǎn).已知在M、N兩點(diǎn)處，彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2).在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中()圖1A.彈力對(duì)小球先做正功后做負(fù)功B.有兩個(gè)時(shí)刻小球的加速度等于重力加速度C.彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，彈力對(duì)小球做功的功率為零D.小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于其在M、N兩點(diǎn)的重力勢(shì)能差解析因M和N兩點(diǎn)處彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)，知M處的彈簧處于壓縮狀態(tài)，N處的彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，則彈簧的彈力對(duì)小球先做負(fù)功后做正功再做負(fù)功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)彈簧水平時(shí)，豎直方向的力只有重力，加速度為g；當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)位置時(shí)，小球只受重力，加速度為g，則有兩個(gè)時(shí)刻的加速度大小等于g，選項(xiàng)B正確；彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，即彈簧水平，彈力與速度垂直，彈力對(duì)小球做功的功率為零，選項(xiàng)C正確；由動(dòng)能定理得，WF＋WG＝ΔEk，因M和N兩點(diǎn)處彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，彈性勢(shì)能相等，則由彈力做功特點(diǎn)知WF＝0，即WG＝ΔEk，選項(xiàng)D正確.答案BCD變式訓(xùn)練1.(2016·天津理綜·8)我國(guó)高鐵技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平.和諧號(hào)動(dòng)車組是由動(dòng)車和拖車編組而成，提供動(dòng)力的車廂叫動(dòng)車，不提供動(dòng)力的車廂叫拖車，如圖2所示.假設(shè)動(dòng)車組各車廂質(zhì)量均相等，動(dòng)車的額定功率都相同，動(dòng)車組在水平直軌道上運(yùn)行過(guò)程中阻力與車重成正比.某列車組由8節(jié)車廂組成，其中第1、5節(jié)車廂為動(dòng)車，其余為拖車，則該動(dòng)車組()圖2A.啟動(dòng)時(shí)乘客受到車廂作用力的方向與車運(yùn)動(dòng)的方向相反B.做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，第5、6節(jié)與第6、7節(jié)車廂間的作用力之比為3∶2C.進(jìn)站時(shí)從關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)到停下來(lái)滑行的距離與關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)的速度成正比D.與改為4節(jié)動(dòng)車帶4節(jié)拖車的動(dòng)車組最大速度之比為1∶2答案BD解析列車啟動(dòng)時(shí)，乘客隨車廂加速運(yùn)動(dòng)，加速度方向與車的運(yùn)動(dòng)方向相同，故乘客受到車廂的作用力方向與車運(yùn)動(dòng)方向相同，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；動(dòng)車組運(yùn)動(dòng)的加速度a＝eq\f(2F－8kmg,8m)＝eq\f(F,4m)－kg，則對(duì)6、7、8節(jié)車廂的整體有F56＝3ma＋3kmg＝eq\f(3,4)F，對(duì)7、8節(jié)車廂的整體有F67＝2ma＋2kmg＝eq\f(1,2)F，故5、6節(jié)車廂與6、7節(jié)車廂間的作用力之比為F56∶F67＝3∶2，選項(xiàng)B正確；關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，根據(jù)動(dòng)能定理得eq\f(1,2)·8mv2＝8kmgx，解得x＝eq\f(v2,2kg)，可見(jiàn)滑行的距離與關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)速度的平方成正比，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；8節(jié)車廂有2節(jié)動(dòng)車時(shí)的最大速度為vm1＝eq\f(2P,8kmg)；8節(jié)車廂有4節(jié)動(dòng)車時(shí)最大速度為vm2＝eq\f(4P,8kmg)，則eq\f(vm1,vm2)＝eq\f(1,2)，選項(xiàng)D正確.2.(2016·江西師大附中、鷹潭一中4月聯(lián)考)如圖3是滑雪場(chǎng)的一條雪道.質(zhì)量為70kg的某滑雪運(yùn)動(dòng)員由A點(diǎn)沿圓弧軌道滑下，在B點(diǎn)以5eq\r(3)m/s的速度水平飛出，落到了傾斜軌道上的C點(diǎn)(圖中未畫(huà)出).不計(jì)空氣阻力，θ＝30°，g＝10m/s2，則下列判斷正確的是()圖3A.該滑雪運(yùn)動(dòng)員騰空的時(shí)間為1sB.BC兩點(diǎn)間的落差為5eq\r(3)mC.落到C點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率為3500eq\r(7)WD.若該滑雪運(yùn)動(dòng)員從更高處滑下，落到C點(diǎn)時(shí)速度與豎直方向的夾角不變答案AD解析運(yùn)動(dòng)員平拋的過(guò)程中，水平位移為x＝v0t；豎直位移為y＝eq\f(1,2)gt2，落地時(shí)：tanθ＝eq\f(y,x)聯(lián)立解得t＝1s，y＝5m，故A正確，B錯(cuò)誤；落地時(shí)的速度：vy＝gt＝10×1m/s＝10m/s；所以落到C點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率為：P＝mg·vy＝70×10×10W＝7000W，故C錯(cuò)誤；根據(jù)落地時(shí)速度方向與水平方向之間的夾角的表達(dá)式：tanα＝eq\f(gt,v0)＝eq\f(2×\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(2y,x)＝2tanθ，可知到C點(diǎn)時(shí)速度與豎直方向的夾角與平拋運(yùn)動(dòng)的初速度無(wú)關(guān)，故D正確.3.(2016·岳陽(yáng)二模)如圖4，曲面EC是半徑為R＝0.4m的eq\f(1,4)圓弧，C端切線水平且與水平面CA相連，在CE上固定一光滑木板CD，CD與CA平滑連接，質(zhì)量為m＝0.2kg的小滑塊從水平面上A處以初速度v0＝4m/s向左運(yùn)動(dòng)，恰好可以到達(dá)木板的D端，下滑后停在B處，AB＝3BC，重力加速度取10m/s2，則由題中信息可求出()圖4A.滑塊與水平面AC的動(dòng)摩擦因數(shù)μB.木板CD與水平面的夾角C.滑塊在木板CD上下滑時(shí)重力的平均功率D.整個(gè)過(guò)程的摩擦熱答案BCD解析設(shè)AB＝3BC＝L，從A到B由動(dòng)能定理可知：eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,0)＝eq\f(5,3)μmgL，因L未知，則不能求解滑塊與水平面AC的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)木板CD長(zhǎng)為l，從A到D根據(jù)動(dòng)能定理：eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,0)＝mglsinθ＋eq\f(4,3)μmgL，解得mglsinθ＝eq\f(1,10)mveq\o\al(

2,0)，由幾何關(guān)系可知2Rsinθ＝l，聯(lián)立可求解l和θ，選項(xiàng)B正確；根據(jù)a＝gsinθ求解滑塊在斜面上的加速度a，根據(jù)l＝eq\f(1,2)at2求解滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后由P＝eq\f(mglsinθ,t)求解重力的平均功率，選項(xiàng)C正確；根據(jù)Q＝eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,0)求解整個(gè)過(guò)程的摩擦熱，選項(xiàng)D正確.考題二功能關(guān)系的應(yīng)用1.做功的過(guò)程就是能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程.做了多少功，就有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化.功是能量轉(zhuǎn)化的量度.常見(jiàn)的幾種功能關(guān)系：2.在常見(jiàn)的功能關(guān)系中，動(dòng)能定理應(yīng)用尤為廣泛.(1)對(duì)于物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不涉及加速度和時(shí)間，而涉及力和位移、速度的問(wèn)題時(shí)，一般選擇動(dòng)能定理，尤其是曲線運(yùn)動(dòng)、多過(guò)程的直線運(yùn)動(dòng)等.(2)如果物體只有重力和彈力做功而又不涉及物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度和時(shí)間，既可用機(jī)械能守恒定律，又可用動(dòng)能定理求解.例2(2016·全國(guó)甲卷·25)輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l.現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接.AB是長(zhǎng)度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖5所示.物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5.用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度l，然后放開(kāi)，P開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g.圖5(1)若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小，以及它離開(kāi)圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離；(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍.解析(1)依題意，當(dāng)彈簧豎直放置，長(zhǎng)度被壓縮至l時(shí)，質(zhì)量為5m的物體的動(dòng)能為零，其重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能.由機(jī)械能守恒定律知，彈簧長(zhǎng)度為l時(shí)的彈性勢(shì)能為Ep＝5mgl ①設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB，由能量守恒定律得Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,B)＋μmg(5l－l) ②聯(lián)立①②式，并代入題給數(shù)據(jù)得vB＝eq\r(6gl) ③若P能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，其到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的向心力不能小于重力，即P此時(shí)的速度大小v應(yīng)滿足eq\f(mv2,l)－mg≥0 ④設(shè)P滑到D點(diǎn)時(shí)的速度為vD，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,D)＋mg·2l ⑤聯(lián)立③⑤式得vD＝eq\r(2gl) ⑥vD滿足④式要求，故P能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，并從D點(diǎn)以速度vD水平射出.設(shè)P落回到軌道AB所需的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得2l＝eq\f(1,2)gt2 ⑦P落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離為s＝vDt ⑧聯(lián)立⑥⑦⑧式得s＝2eq\r(2)l ⑨(2)設(shè)P的質(zhì)量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度不能小于零.由①②式可知5mgl>μMg·4l ⑩要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過(guò)半圓軌道的中點(diǎn)C.由機(jī)械能守恒定律有eq\f(1,2)MvB′2≤Mgl ?Ep＝eq\f(1,2)MvB′2＋μMg·4l ?聯(lián)立①⑩??式得eq\f(5,3)m≤M<eq\f(5,2)m答案(1)eq\r(6gl)2eq\r(2)l(2)eq\f(5,3)m≤M<eq\f(5,2)m變式訓(xùn)練4.(2016·四川理綜·1)韓曉鵬是我國(guó)首位在冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目奪冠的運(yùn)動(dòng)員.他在一次自由式滑雪空中技巧比賽中沿“助滑區(qū)”保持同一姿態(tài)下滑了一段距離，重力對(duì)他做功1900J，他克服阻力做功100J.韓曉鵬在此過(guò)程中()A.動(dòng)能增加了1900JB.動(dòng)能增加了2000JC.重力勢(shì)能減小了1900JD.重力勢(shì)能減小了2000J答案C解析由題可得，重力做功WG＝1900J，則重力勢(shì)能減少1900J，故C正確，D錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理得，WG－Wf＝ΔEk，克服阻力做功Wf＝100J，則動(dòng)能增加1800J，故A、B錯(cuò)誤.5.如圖6所示，楔形木塊abc固定在水平面上，粗糙斜面ab與水平面的夾角為60°，光滑斜面bc與水平面的夾角為30°，頂角b處安裝一定滑輪.質(zhì)量分別為M、m(M＞m)的滑塊，通過(guò)不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)定滑輪連接，輕繩與斜面平行.兩滑塊由靜止釋放后，沿斜面做勻加速運(yùn)動(dòng).若不計(jì)滑輪的質(zhì)量和摩擦，在兩滑塊沿斜面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中()圖6A.輕繩對(duì)滑輪作用力的方向是豎直向下B.拉力和重力對(duì)M做功之和大于M動(dòng)能的增加C.拉力對(duì)M做的功等于M機(jī)械能的增加D.兩滑塊組成系統(tǒng)的機(jī)械能損失等于M克服摩擦力做的功答案BD解析因作用在滑輪上的左右兩邊繩子的拉力大小相等，但是與豎直方向的夾角不同，故由力的合成知識(shí)可知，輕繩對(duì)滑輪作用力的方向不是豎直向下，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)動(dòng)能定理，拉力、重力和摩擦力做功之和等于M的動(dòng)能增量，故拉力和重力對(duì)M做功之和大于M動(dòng)能的增加，選項(xiàng)B正確；由功能關(guān)系可知，拉力和摩擦力對(duì)M做的功等于M機(jī)械能的增加，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由功能關(guān)系可知，兩滑塊組成系統(tǒng)的機(jī)械能損失等于M克服摩擦力做的功，選項(xiàng)D正確.考題三動(dòng)力學(xué)和能量觀點(diǎn)的綜合應(yīng)用力學(xué)綜合問(wèn)題，涉及動(dòng)力學(xué)、功能關(guān)系，解決此類問(wèn)題關(guān)鍵要做好“四選擇”.(1)當(dāng)物體受到恒力作用發(fā)生運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變而且又涉及時(shí)間時(shí)，一般選擇用動(dòng)力學(xué)方法解題；(2)當(dāng)涉及功、能和位移時(shí)，一般選用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系或能量守恒定律解題，題目中出現(xiàn)相對(duì)位移時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇能量守恒定律；(3)當(dāng)涉及細(xì)節(jié)并要求分析力時(shí)，一般選擇牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)某一時(shí)刻的問(wèn)題選擇牛頓第二定律求解：(4)復(fù)雜問(wèn)題的分析一般需選擇能量的觀點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)與力的觀點(diǎn)綜合解題.例3如圖7所示，光滑管狀軌道ABC由直軌道AB和圓弧軌道BC組成，二者在B處相切并平滑連接，O為圓心，O、A在同一條水平線上，OC豎直，一直徑略小于圓管直徑的質(zhì)量為m的小球，用細(xì)線穿過(guò)管道與質(zhì)量為M的物塊連接，將小球由A點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)細(xì)線斷裂，小球繼續(xù)運(yùn)動(dòng).已知弧形軌道的半徑為R＝eq\f(8,3)m，所對(duì)應(yīng)的圓心角為53°，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g＝10m/s2.圖7(1)若M＝5m，求小球在直軌道部分運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小.(2)若M＝5m，求小球從C點(diǎn)拋出后下落高度h＝eq\f(4,3)m時(shí)到C點(diǎn)的水平位移.(3)M、m滿足什么關(guān)系時(shí)，小球能夠運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)？[思維規(guī)范流程]步驟1：在直軌道部分，對(duì)小球、物塊列牛頓第二定律方程對(duì)小球：F－mgsin53°＝ma ①對(duì)物塊：Mg－F＝Ma ②得a＝7m/s2 ③步驟2：在直角△OAB中，由幾何關(guān)系得xAB，由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得vBB到C，列機(jī)械能守恒方程過(guò)C后，平拋運(yùn)動(dòng)分方向列方程xAB＝eq\f(R,tan53°) ④vB＝eq\r(2axAB)＝2eq\r(7)m/s ⑤B→C：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋mgR(1－cos53°) ⑥過(guò)C點(diǎn)后：x＝vCt ⑦h(yuǎn)＝eq\f(1,2)gt2 ⑧得：x＝eq\f(4,3)m ⑨步驟3：A→B：列系統(tǒng)機(jī)械能守恒方程線斷后，對(duì)球由BC列動(dòng)能定理關(guān)系式A→B對(duì)(M，m)系統(tǒng)eq\f(1,2)(M＋m)v2＝MgxAB－mgxABsin53° ⑩B→C，小球恰好能到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，vC＝0－mgR(1－cos53°)＝0－eq\f(1,2)mv2 ?得：M≥eq\f(20,7)m ?①②⑥⑩??每式各2分，其余各式1分.變式訓(xùn)練6.(2016·天津理綜·10)我國(guó)將于2022年舉辦冬奧會(huì)，跳臺(tái)滑雪是其中最具觀賞性的項(xiàng)目之一.如圖8所示，質(zhì)量m＝60kg的運(yùn)動(dòng)員從長(zhǎng)直助滑道AB的A處由靜止開(kāi)始以加速度a＝3.6m/s2勻加速滑下，到達(dá)助滑道末端B時(shí)速度vB＝24m/s，A與B的豎直高度差H＝48m，為了改變運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)方向，在助滑道與起跳臺(tái)之間用一段彎曲滑道銜接，其中最低點(diǎn)C處附近是一段以O(shè)為圓心的圓弧.助滑道末端B與滑道最低點(diǎn)C的高度差h＝5m，運(yùn)動(dòng)員在B、C間運(yùn)動(dòng)時(shí)阻力做功W＝－1530J，取g＝10m/s2.圖8(1)求運(yùn)動(dòng)員在AB段下滑時(shí)受到阻力Ff的大??；(2)若運(yùn)動(dòng)員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，則C點(diǎn)所在圓弧的半徑R至少應(yīng)為多大.答案(1)144N(2)12.5m解析(1)運(yùn)動(dòng)員在AB上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)AB的長(zhǎng)度為x，則有veq\o\al(2,B)＝2ax ①由牛頓第二定律有mgeq\f(H,x)－Ff＝ma ②聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)解得Ff＝144N ③(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為vC，在由B到達(dá)C的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得mgh＋W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B) ④設(shè)運(yùn)動(dòng)員在C點(diǎn)所受的支持力為FN，由牛頓第二定律有FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R) ⑤由題意和牛頓第三定律知FN＝6mg ⑥聯(lián)立④⑤⑥式，代入數(shù)據(jù)解得R＝12.5m.7.過(guò)山車是游樂(lè)場(chǎng)中常見(jiàn)的設(shè)施.圖9是一種過(guò)山車運(yùn)行軌道的簡(jiǎn)易模型，它由豎直平面內(nèi)粗糙斜面軌道和光滑圓形軌道組成.過(guò)山車與斜面軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，圓形軌道半徑為R，A點(diǎn)是圓形軌道與斜面軌道的切點(diǎn).過(guò)山車(可視為質(zhì)點(diǎn))從傾角為θ的斜面軌道某一點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放并順利通過(guò)圓形軌道.若整個(gè)過(guò)程中，人能承受過(guò)山車對(duì)他的作用力不超過(guò)其自身重力的8倍.求過(guò)山車釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的距離范圍.圖9答案eq\f(R3＋2cosθ,2sinθ－μcosθ)≤L≤eq\f(R5＋2cosθ,2sinθ－μcosθ)解析過(guò)山車恰能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)從釋放的最低點(diǎn)到A點(diǎn)，由動(dòng)能定理mgL1sinθ－μmgL1cosθ＝eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,A)設(shè)過(guò)山車經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)速度為v，從A點(diǎn)到圓軌道的最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,A)＝mgR(1＋cosθ)＋eq\f(1,2)mv2在圓軌道最高點(diǎn)，由牛頓第二定律mg＝meq\f(v2,R)解得：L1＝eq\f(R3＋2cosθ,2sinθ－μcosθ)過(guò)山車在圓軌道最低點(diǎn)承受作用力最大從釋放的最高點(diǎn)到A點(diǎn)，由動(dòng)能定理mgL2sinθ－μmgL2cosθ＝eq\f(1,2)mvA′2從A點(diǎn)到圓軌道的最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律eq\f(1,2)mvA′2＋mgR(1－cosθ)＝eq\f(1,2)mv′2在圓軌道最低點(diǎn)，由牛頓第二定律FN－mg＝meq\f(v′2,R)FN＝8mg解得：L2＝eq\f(R5＋2cosθ,2sinθ－μcosθ)過(guò)山車釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的距離范圍eq\f(R3＋2cosθ,2sinθ－μcosθ)≤L≤eq\f(R5＋2cosθ,2sinθ－μcosθ)專題規(guī)范練1.(多選)(2016·全國(guó)甲卷·19)兩實(shí)心小球甲和乙由同一種材料制成，甲球質(zhì)量大于乙球質(zhì)量.兩球在空氣中由靜止下落，假設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力與球的半徑成正比，與球的速率無(wú)關(guān).若它們下落相同的距離，則()A.甲球用的時(shí)間比乙球長(zhǎng)B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功答案BD解析小球的質(zhì)量m＝ρ·eq\f(4,3)πr3，由題意知m甲>m乙，ρ甲＝ρ乙，則r甲>r乙.空氣阻力f＝kr，對(duì)小球由牛頓第二定律得，mg－f＝ma，則a＝eq\f(mg－f,m)＝g－eq\f(kr,ρ·\f(4,3)πr3)＝g－eq\f(3k,4πρr2)，可得a甲>a乙，由h＝eq\f(1,2)at2知，t甲<t乙，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；由v＝eq\r(2ah)知，v甲>v乙，故選項(xiàng)B正確；因f甲>f乙，由球克服阻力做功Wf＝fh知，甲球克服阻力做功較大，選項(xiàng)D正確.2.如圖1，不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩跨過(guò)光滑定滑輪，繩兩端各系一個(gè)小球a和b.a球質(zhì)量為m，靜置于水平地面；b球質(zhì)量為3m，用手托住，高度為h，此時(shí)輕繩剛好拉緊.現(xiàn)將b球釋放，則b球著地瞬間a球的速度大小為()圖1A.eq\r(gh)B.eq\r(2gh)C.eq\r(\f(gh,2))D.2eq\r(gh)答案A解析在b球落地前，a、b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且a、b兩球速度大小相等，設(shè)為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：3mgh＝mgh＋eq\f(1,2)(3m＋m)v2，解得：v＝eq\r(gh).3.如圖2所示，A、B、C三個(gè)一樣的滑塊從粗糙斜面上的同一高度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng).A由靜止釋放；B的初速度方向沿斜面向下，大小為v0；C的初速度方向沿水平方向，大小為v0.斜面足夠大，A、B、C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)相碰，下列說(shuō)法正確的是()圖2A.A和C將同時(shí)滑到斜面底端B.滑到斜面底端時(shí)，B的動(dòng)能最大C.滑到斜面底端時(shí)，C的重力勢(shì)能減少最多D.滑到斜面底端時(shí)，B的機(jī)械能減少最多答案B解析A、C兩個(gè)滑塊所受的滑動(dòng)摩擦力大小相等，A所受滑動(dòng)摩擦力沿斜面向上，C沿斜面向上的力是滑動(dòng)摩擦力的分力，所以C沿斜面向下的加速度大于A的加速度，C先到達(dá)斜面底端，故A錯(cuò)誤；重力做功相同，摩擦力對(duì)A、B做功相同，C克服摩擦力做功最大，而B(niǎo)有初速度，則滑到斜面底端時(shí)，B滑塊的動(dòng)能最大，故B正確；三個(gè)滑塊下降的高度相同，重力勢(shì)能減少相同，故C錯(cuò)誤；滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)，C運(yùn)動(dòng)的路程最大，C克服摩擦力做功最大，機(jī)械能減少最多，故D錯(cuò)誤.4.(多選)如圖3所示，小物塊以初速度v0從O點(diǎn)沿斜向上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)從O點(diǎn)斜向上拋出一個(gè)速度大小也為v0的小球，物塊和小球在斜面上的P點(diǎn)相遇.已知物塊和小球質(zhì)量相等，空氣阻力忽略不計(jì)，則()圖3A.斜面只能是粗糙的B.小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)離斜面最遠(yuǎn)C.在P點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能大于物塊的動(dòng)能D.小球和物塊到達(dá)P點(diǎn)過(guò)程中克服重力做功的平均功率相等答案ACD解析把小球的速度分解到沿斜面方向和垂直斜面方向，則沿斜面方向的速度小于物塊的速度，若斜面光滑，則小球和物塊沿斜面方向的加速度相同，則不可能在P點(diǎn)相遇，所以斜面不可能是光滑的，故A正確；當(dāng)小球的速度方向與斜面平行時(shí)，離斜面最遠(yuǎn)，此時(shí)豎直方向速度不為零，不是運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；物塊在斜面上還受摩擦力做功，物塊的機(jī)械能減小，所以在P點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能應(yīng)該大于物塊的動(dòng)能，故C正確；小球和物塊初末位置相同，則高度差相等，而重力相等，則重力做功相等，時(shí)間又相同，所以小球和物塊到達(dá)P點(diǎn)過(guò)程中克服重力做功的平均功率相等，故D正確.5.蕩秋千是一種常見(jiàn)的休閑娛樂(lè)活動(dòng)，也是我國(guó)民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上的一個(gè)比賽項(xiàng)目.若秋千繩的長(zhǎng)度約為2m，蕩到最高點(diǎn)時(shí)，秋千繩與豎直方向成60°角，如圖4所示.人在從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以下說(shuō)法正確的是()圖4A.最低點(diǎn)的速度大約為5m/sB.在最低點(diǎn)時(shí)的加速度為零C.合外力做的功等于增加的動(dòng)能D.重力做功的功率逐漸增加答案C解析秋千在下擺過(guò)程中，受到的繩子拉力不做功，機(jī)械能守恒，則得：mgL(1－cos60°)＝eq\f(1,2)mv2，解得：v＝eq\r(gL)＝eq\r(10×2)m/s＝2eq\r(5)m/s，A錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)合力指向圓心，加速度不為零，B錯(cuò)誤；根據(jù)動(dòng)能定理合外力做的功等于增加的動(dòng)能，C正確；P＝mgv⊥，由于在豎直方向上的速度從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)過(guò)程中先增大后減小，故重力做功的功率先增大后減小，D錯(cuò)誤.6.(多選)(2016·浙江理綜·18)如圖5所示為一滑草場(chǎng).某條滑道由上下兩段高均為h，與水平面傾角分別為45°和37°的滑道組成，滑草車與草地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.質(zhì)量為m的載人滑草車從坡頂由靜止開(kāi)始自由下滑，經(jīng)過(guò)上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計(jì)滑草車在兩段滑道交接處的能量損失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8).則()圖5A.動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝eq\f(6,7)B.載人滑草車最大速度為eq\r(\f(2gh,7))C.載人滑草車克服摩擦力做功為mghD.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為eq\f(3,5)g答案AB解析對(duì)滑草車從坡頂由靜止滑下，到底端靜止的全過(guò)程，得mg·2h－μmgcos45°·eq\f(h,sin45°)－μmgcos37°·eq\f(h,sin37°)＝0，解得μ＝eq\f(6,7)，選項(xiàng)A正確；對(duì)經(jīng)過(guò)上段滑道過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得，mgh－μmgcos45°·eq\f(h,sin45°)＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(\f(2gh,7))，選項(xiàng)B正確；載人滑草車克服摩擦力做功為2mgh，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；載人滑草車在下段滑道上的加速度為a＝eq\f(mgsin37°－μmgcos37°,m)＝－eq\f(3,35)g，即加速度大小為eq\f(3,35)g，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.7.(多選)(2016·全國(guó)丙卷·20)如圖6，一固定容器的內(nèi)壁是半徑為R的半球面；在半球面水平直徑的一端有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P.它在容器內(nèi)壁由靜止下滑到最低點(diǎn)的過(guò)程中，克服摩擦力做的功為W.重力加速度大小為g.設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度的大小為a，容器對(duì)它的支持力大小為N，則()圖6A.a＝eq\f(2mgR－W,mR) B.a＝eq\f(2mgR－W,mR)C.N＝eq\f(3mgR－2W,R) D.N＝eq\f(2mgR－W,R)答案AC解析質(zhì)點(diǎn)P下滑過(guò)程中，重力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得mgR－W＝eq\f(1,2)mv2，根據(jù)公式a＝eq\f(v2,R)，聯(lián)立可得a＝eq\f(2mgR－W,mR)，A正確，B錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)重力和支持力的合力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律可得，N－mg＝ma，代入可得，N＝eq\f(3mgR－2W,R)，C正確，D錯(cuò)誤.8.(多選)如圖7所示，豎直光滑桿固定不動(dòng)，套在桿上的彈簧下端固定，將套在桿上的滑塊向下壓縮彈簧至離地高度h＝0.1m處，滑塊與彈簧不拴接.現(xiàn)由靜止釋放滑塊，通過(guò)傳感器測(cè)量到滑塊的速度和離地高度h并作出滑塊的Ek－h(huán)圖象，其中高度從0.2m上升到0.35m范圍內(nèi)圖象為直線，其余部分為曲線，以地面為零勢(shì)能面，取g＝10m/s2，由圖象可知()圖7A.小滑塊的質(zhì)量為0.2kgB.彈簧最大彈性勢(shì)能為0.32JC.輕彈簧原長(zhǎng)為0.2mD.小滑塊的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能總和最小為0.18J答案AC解析從0.2m上升到0.35m的范圍內(nèi)，ΔEk＝－ΔEp＝－mgΔh，圖線的斜率絕對(duì)值為：k＝eq\f(ΔEk,Δh)＝eq\f(0－0.3,0.35－0.2)＝－2N＝－mg，所以：m＝0.2kg，故A正確；根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知，當(dāng)滑塊上升至最大高度時(shí)，增加的重力勢(shì)能即為彈簧最大彈性勢(shì)能，所以Epm＝mgΔh＝0.2×10×(0.35－0.1)J＝0.5J，故B錯(cuò)誤；在Ek－h(huán)圖象中，圖線的斜率表示滑塊所受的合外力，由于高度從0.2m上升到0.35m范圍內(nèi)圖象為直線，其余部分為曲線，說(shuō)明滑塊從0.2m上升到0.35m范圍內(nèi)所受作用力為恒力，所以h＝0.2m，滑塊與彈簧分離，彈簧的原長(zhǎng)為0.2m，故C正確；由圖可知，當(dāng)h＝0.18m時(shí)的動(dòng)能最大；在滑塊整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能之間相互轉(zhuǎn)化，因此動(dòng)能最大時(shí)，滑塊的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能總和最小，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒可知，Epmin＝E－Ekm＝Epm＋mgh－Ekm＝0.5J＋0.2×10×0.1J－0.32J＝0.38J，故D錯(cuò)誤.9.如圖8所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿一端連著質(zhì)量為m的小球，另一端用活動(dòng)鉸鏈固接于水平地面上的O點(diǎn)，初始時(shí)小球靜止于地面上，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的正方體左側(cè)靜止于O點(diǎn)處.現(xiàn)在桿中點(diǎn)處施加一大小始終為eq\f(6mg,π)(g為重力加速度)、方向始終垂直桿的拉力，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后撤去F，小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)，忽略一切摩擦，試求：圖8(1)拉力所做的功；(2)拉力撤去時(shí)小球的速度大??；(3)若小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)后由靜止開(kāi)始向右傾斜，求桿與水平面夾角為θ時(shí)(正方體和小球還未脫落)，正方體的速度大小.答案(1)mgL(2)