專題01 一元二次方程（知識(shí)串講+5大考點(diǎn)）解析版

專題01一元二次方程考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）一元二次方程的定義及一般式（1）概念：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。（3）【注意】①只含有一個(gè)未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③整式方程。（二）一元二次方程的解（1）概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。（2）方法技巧：一元二次方程解的應(yīng)用方法，將解代入方程，化簡(jiǎn)式子求解（或是整體思想）考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：一元二次方程的識(shí)別典例1：（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列方程中，屬于一元二次方程的有______________________（填題號(hào)）．①2x2-3y-5=0；②23④1x+4=x2【答案】②③⑤【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】根據(jù)一元二次方程的定義，得②③⑤是一元二次方程，①④不是，故答案為：②③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義即含有一個(gè)未知數(shù)且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是1，且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)，則符合條件的一元二次方程可以是_______．（寫出一個(gè)方程即可）【答案】x2【分析】直接利用一元二次方程的解寫成符合題意的一個(gè)方程即可．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是1，且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)的一個(gè)一元二次方程可以是：x-12整理得x2故答案為：x2【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義、方程的根等知識(shí)點(diǎn)，正確掌握一元二次方程解是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·全國·九年級(jí)期中）下列方程：（1）2x-1=4-y（2）3x2-1=0（3）(x-1)x-3=x2（4）a2+1x2-2=x（【答案】（2）（4）/（4）（2）【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：（1）2x-1=4-y中未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，因此此方程不是一元二次方程；（2）3x2（3）(x-1)x-3=x2（4）a2+1x2-2=x（5）x+1（6）mx2+2x-3=0綜上分析可知，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（2）（4）．故答案為：（2）（4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握定義，是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）判斷下列各式是一元二次方程的是________．①x2+x+1；②9x2-6x=0；③12y2=0；④5x【答案】②③⑥【分析】直接根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①x2②9x③12④5x⑤x2+xy-3y⑥3y⑦(x+1)(x-1)=x2化簡(jiǎn)后沒有二次項(xiàng)，不是2∴②③⑥符合一元二次方程的定義．故答案為：②③⑥．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的辨別，熟練掌握一元二次方程的定義是解答此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：一元二次方程的定義求解字母的值典例2：（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程a-4xa-2+3x-2=0是一元二次方程，則【答案】-4【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出a-4≠0且a-2=2，再求出a【詳解】解：∵關(guān)于x的方程a-4x∴a-4≠0且a-2=2解得：a=-4．故答案為：-4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和絕對(duì)值，能根據(jù)一元二次方程的定義得出a-4≠0且a-2=2【變式1】（2023春·安徽·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若a-1x2+a+1x=2是關(guān)于x【答案】a≥-1且a≠1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及二次根式有意義的條件直接列不等式求解即可得到答案；【詳解】解：∵a-1x2+∴a-1≠0，a+1≥0，解得：a≥-1且a≠1，故答案為：a≥-1且a≠1；【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程定義及二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)．【變式2】（2023秋·云南保山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果關(guān)于x的方程(m+3)x|m+1|+4x-2=0是一元二次方程，則m【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，得到m+1=2，m+3≠0，求解即可得出m【詳解】解：(m+3)x|m+1|+4x-2=0∴m+1∴m=1或-3，∵m+3≠0，∴m≠-3，∴m=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題關(guān)鍵是理解一元二次方程的定義：只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0【變式3】（2023秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若a-3xa-1-2x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則【答案】-3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．【詳解】解：∵a-3xa-1∴a-3≠0a解得a=-3，故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如ax2+bx+c=0a≠0，考點(diǎn)3：一元二次方程一般形式（求系數(shù)）典例3：（2023春·安徽亳州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）方程3x+22x﹣3【答案】6【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后移項(xiàng)合并同類項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：∵3x+22x-3∴6x∴6x∴6x故答案為：6x【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a【變式1】（2022秋·山東青島·九年級(jí)?？计谥校┌岩辉畏匠?xx-2=4化為一般形式是_______________；其中二次項(xiàng)系數(shù)是____________，一次項(xiàng)是【答案】3x2【分析】先去括號(hào)，再移項(xiàng)即可化成一般式，從而可得出答案．【詳解】解：3xx-2=4化為一般形式是其中二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)是-6x．故答案為：3x2-6x-4=0；3【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般式及相關(guān)概念，形如ax2+bx+c=0a≠0（a、b、c是常數(shù)）的方程叫一元二次方程的上般式，其中ax2是二次項(xiàng)，bx是一次項(xiàng)，【變式2】（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程(2a-4)x2+(3a+6)x+a-8=0沒有一次項(xiàng)，則a【答案】-2【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式可知一次項(xiàng)為(3a+6)x，由方程沒有一次項(xiàng)可得3a+6=0，即可得答案．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程(2a-4)x2∴3a+6=0，解得：a=-2．故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式ax【變式3】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）方程(x-1)2+5=(3x+2)(2x-3)化為一般形式是___________，其中二次項(xiàng)是___________，二次項(xiàng)系數(shù)是___________；一次項(xiàng)是___________，一次項(xiàng)系數(shù)是___________；常數(shù)項(xiàng)是【答案】5x2-3x-12=05x25【分析】根據(jù)一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步驟對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a【詳解】解：(x-1)去括號(hào)得：x即5∴方程(x-1)2+5=(3x+2)(2x-3)其中二次項(xiàng)是5x2，二次項(xiàng)系數(shù)是5；一次項(xiàng)是-3x，一次項(xiàng)系數(shù)是-3【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，將方程化為一般形式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：一元二次方程解的應(yīng)用——求字母的值典例4：（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的方程x2－mx－2=0的一個(gè)根為3【答案】7【分析】根據(jù)題意把3代入方程，得到關(guān)于m的方程，解方程即可得．【詳解】解：依題意得32解得：m=7故答案為：73【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知x=-1是關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0【答案】-5【分析】把x=【詳解】解：把x=-1解得：m=-5，故答案為：-5．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根，掌握一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程x2+kx-10=0的一個(gè)根是1，則k的值為【答案】9【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義把x=1代入到方程x2+kx-10=0中求出【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2+kx-10=0的一個(gè)根是∴1+k-10=0，∴k=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程a+1x2-ax+a2-1=0的一個(gè)根是【答案】1【分析】將x=0代入方程中結(jié)合一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0即可得出答案．【詳解】解：將x=0代入方程中得a2∴a=±1，∵a+1≠0，∴a=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程解的定義，熟記相關(guān)定義是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：一元二次方程解的應(yīng)用——求代數(shù)式的值典例5：（2022秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，則m3【答案】2024【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，變形m3【詳解】解：∵m是方程x2∴m2∴m==m=m+=1+2023=2024．故答案為：2024．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義及整體代入的思想，解決本題的關(guān)鍵是利用根的定義得關(guān)于m的等式，變形m3【變式1】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a是方程2x2-x-3=0的一個(gè)根，則6【答案】12【分析】根據(jù)a是原方程的解，求得2a2-a=3【詳解】解：∵a是方程2x2-x-3=0∴2a∴6a∴6a故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解的定義，通過已知方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)式內(nèi)式子相等關(guān)系的式子是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx-1=0a≠0有一根為x=1，則一元二次方程【答案】2【分析】利用整體思想設(shè)x-1=t，得到方程at2+bt-1=0，再根據(jù)a【詳解】解：∵在a(x-1)2∴a∵ax2∴在at2∴即在a(x-1)2∴x=2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，利用整體思想解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·江西吉安·九年級(jí)江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若a是方程x2+x-1=0的一個(gè)解，則代數(shù)式a2【答案】-1【分析】將a代入一元二次方程的得到a2=1-a，再將代數(shù)式中【詳解】解：∵a是方程x2∴a2∴a2∴a2故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，已知式子的值化簡(jiǎn)代數(shù)式，理解一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．同步過關(guān)一、單選題1．（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的為（）A．（a﹣1）x2﹣2＝0 B．x2+2x＝﹣1 C．x2﹣4＝2y D．﹣2x2+3＝【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程）逐個(gè)判斷即可．【詳解】A．當(dāng)a=1時(shí)，不是一元二次方程，故不符合題意；B．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合題意；C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故不符合題意；D．是一元二次方程，故符合題意；故答案選：D．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的定義，解題關(guān)鍵是熟記一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程．2．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是（）A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6【答案】D【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】解：3x2﹣3＝6x，移項(xiàng)得：3x2-6x-3=0，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是3和-6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，多項(xiàng)式的項(xiàng)和單項(xiàng)式的系數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），②找項(xiàng)的系數(shù)帶著前面的符號(hào)．3．（2022秋·福建漳州·九年級(jí)?？计谥校┌逊匠蘹2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【答案】D【分析】先把x2+2x＝5（x﹣2）化簡(jiǎn)，然后根據(jù)一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．【詳解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，則a＝1，b＝﹣3，c＝10，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程化為一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的方程(a-2)x2-4x+1=0A．a(chǎn)=2 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)=2或a=-2 D．a(chǎn)=-2【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義知：a-2≠0，據(jù)此可以求得a的取值范圍．【詳解】∵關(guān)于x的方程(a-2)x∴a-2≠0∴a≠2只有D選項(xiàng)符合題意，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解題的關(guān)鍵，一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．5．（2022秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程2x2+x-5=0A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．【詳解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2、1、-5，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）．6．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）已知m為方程x2+3x-2022=0的根，那么m3A．-2022 B．0 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根據(jù)題意有m2+3m-2022=0，即有【詳解】∵m為x2∴m2+3m-2022=0，且m∴m3則有原式=(m故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為x2+3x-2022=0得到7．（2023秋·廣東陽江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A．x2+3x=0 B．y2【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可.【詳解】A.x2B.y2-2x+1=0中含有C.x2-5x=2D.ax2-2=0當(dāng)故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義；判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．8．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）A．32x-1=0； B．x+1x2=3； C．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、為一元一次方程，不符合題意；B、是分式方程，不是整式方程，不符合題意；C、為一元一次方程，不符合題意；D、為一元二次方程，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解答本題的關(guān)鍵是理解掌握一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程．9．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列方程①x2﹣5x＝2022，②ax2+bx+c=0，③3x2+x6A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；②ax2+bx+c=0，當(dāng)③3x④(x-2)(x+6)=x所以，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是①③，共2個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考期中）若方程mx2+4x-3=2x2是關(guān)于xA．m>0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠-2【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)，可得答案．【詳解】解：由mx2+4x-3=2根據(jù)題意，得m-2≠0．解得m≠2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．11．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若x=2是關(guān)于x的一元二次方程ax2-x-b=0的一個(gè)根，則2+8a-2bA．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=2代入方程ax2-x-b=0得4a-b=2，再把2+8a-2b變形為2+2（4a【詳解】解：∵x=2是關(guān)于x的一元二次方程ax∴4a-2-b=0，∴4a-b=2，∴2+8a-2b=故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023·云南昆明·校考二模）已知a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式﹣2a2+6a+2019的值為（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【答案】B【分析】利用一元二次方程解的定義得到a2﹣3a＝2，再把﹣2a2+6a+2019變形為﹣2（a2﹣3a）+2019，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】∵a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴a2﹣3a﹣2＝0，∴a2﹣3a＝2，∴﹣2a2+6a+2019＝﹣2（a2﹣3a）+2019＝﹣2×2+2019＝2015．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．13．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若x=0是一元二次方程x2+b-1x+bA．2 B．-2 C．±2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=0代入x2+b-1x+b【詳解】解：把x=0代入x2+b-1x+b解得b=±2，∵b-1≥0，∴b≥1，∴b=2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．14．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）下列方程中，是一元二次方程的有（

）個(gè)①5x2=x；②x2-32-6=0；③xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷，應(yīng)僅有一個(gè)未知數(shù)，且是最高次數(shù)為2的整式方程．【詳解】①變形為x-5x②x2-32-6=0，整理變形為③x2=1，變形為④7x(x-2)=7x2變形為⑤x2故①③滿足，共有2個(gè)一元二次方程故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，一元二次方程應(yīng)僅有一個(gè)未知數(shù)，且是最高次數(shù)為2的整式方程．15．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知下面三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2A．0 B．1 C．3 D．不確定【答案】A【分析】把x=a代入3個(gè)方程得出a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，3個(gè)方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．【詳解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．∵a2+a+1=（a+12）2+34＞∴a+b+c=0．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．二、填空題16．（2023秋·四川成都·九年級(jí)成都七中萬達(dá)學(xué)校通錦校區(qū)?？计谥校╆P(guān)于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根為x＝﹣3，則k的值為____．【答案】-1【分析】將x=-3，代入x2-kx-6=0中，即可得到【詳解】解：將x=-3代入x2-323k=-3k=-1故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查知道一元二次方程的解的應(yīng)用，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題是重點(diǎn)．17．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）寫出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為2，且方程有一個(gè)根為0的一元二次方程是____________【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a、【詳解】由題意得：2故答案為2x【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般形式以及方程的解，難度較低，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.18．（2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)?？贾軠y(cè)）請(qǐng)你寫出一個(gè)有一根為1，另一個(gè)根介于-2和1之間的的一元二次方程：_______________________.【答案】x-1x+1【詳解】試題分析：此題答案不唯一.因另一個(gè)根介于-2和1之間，設(shè)另一個(gè)根為-1，利用兩交點(diǎn)式建立方程即可.解：根據(jù)題意，設(shè)中另一個(gè)根為-1，∴x-1x+1故答案為x-1x+119．（2022秋·貴州黔東南·九年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x方程(m-2)x|m|+2x+3=0是一元二次方程，則m【答案】-2【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得，m-2≠0,m【詳解】解：∵關(guān)于x方程(m-2)x∴m-2≠0,m解得：m=-2．故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．20．（2020春·四川內(nèi)江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的方程ax+m2+b=0的解是x1=-2，x2=1【答案】x1=-4【分析】把后面一個(gè)方程中的x＋2看作整體，相當(dāng)于前面一個(gè)方程中的x求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝?2，x2＝1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），∴方程a(x＋m＋2)2＋b＝0變形為a[(x＋2)＋m]2＋b＝0，即此方程中x＋2＝?2或x＋2＝1，解得x＝?4或x＝?1．故答案為：x1＝?4，x2＝?1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了方程解的定義．注意由兩個(gè)方程的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．21．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是1，且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)，則符合條件的一元二次方程可以是_______．（寫出一個(gè)方程即可）【答案】x2【分析】直接利用一元二次方程的解寫成符合題意的一個(gè)方程即可．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是1，且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)的一個(gè)一元二次方程可以是：x-12整理得x2故答案為：x2【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義、方程的根等知識(shí)點(diǎn)，正確掌握一元二次方程解是解題關(guān)鍵．22．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)階段練習(xí)）方程(m-2)xm-5x+m-3=0【答案】﹣2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出答案.【詳解】解：∵(m-2)xm-5x＋m-3＝0是一元二次方程，∴m＝2，m－【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.23．（2023秋·湖北襄陽·七年級(jí)階段練習(xí)）若m-2xm【答案】-2

【詳解】∵m-2x∴m-2≠0m-1=1，解得：點(diǎn)睛：方程m-2xm-1-4=0是一元一次方程需同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）m-2≠0；（224．（2022秋·青海西寧·九年級(jí)校考期末）關(guān)于x的方程(m-1)xm+1+3x-2=0是一元二次方程，則【答案】m=-1【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【詳解】根據(jù)題意得：{|m|+1=2解得：m=-1．故答案為m=-1.．【點(diǎn)睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．25．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0有兩個(gè)不等的整數(shù)根，m為整數(shù)，那么m【答案】-1.【分析】先利用根的判別式，確定m的范圍，后利用公式法，確定用m表示的方程的根，根據(jù)m的整數(shù)性質(zhì)，根的整數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】∵一元二次方程mx∴△＞0，∴[-(m+1)]2-4m＞∴(m-1)2＞0∴m≠1，∵x=m+1±|m-1|∴當(dāng)m＞1時(shí)，x=m+1±∴x1=m+1+m-12m∵一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0∴m=1，與m≠1矛盾，∴此種情形不成立；∴當(dāng)m＜1時(shí)，x=m+1±∴x1=m+1+1-m∵一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0∴m=-1，∴此種情形成立；綜上所述，m的值為-1，故答案為：-1.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式，整數(shù)根的意義，熟練利用公式法求方程的根，并活用分類思想，化簡(jiǎn)絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵.三、解答題26．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）判斷下列方程哪些是一元二次方程．（1）3x2+6=3x；

（2）x-23x=0；（4）-x2=0；

（5【答案】（1）（4）【分析】本題根據(jù)一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）．一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【詳解】方程（1）3x方程（2）x-2方程（3）4x方程（4）-x方程（5）x(5x-1)=x(x+3)+4x2經(jīng)化簡(jiǎn)為4x故一元二次方程為（1）（4）．【點(diǎn)睛】判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．27．（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）x=2是下列方程的解嗎？（1）3x+10-x=20；

（2）【答案】（1）不是；（2）是．【分析】將x=2分別代入（1）（2）中的方程判斷等式兩邊是否相等即可求解．【詳解】解：（1）將x=2代入3x+10-x方程左邊=3×2+10-2=14，方程右邊∵左邊≠右邊，∴x=2不是方程3x+10-x（2）將x=2代入2x方程左邊=2×22+6=14，方程右邊∵左邊=右邊，∴x=2是方程2x【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程解的含義，將x=2代入（1）（2）中的方程看等式是否成立是解題的關(guān)鍵．28．（2022·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線，記成abcd，定義abcd＝ad－【答案】是，x【分析】根據(jù)題意直接可列出方程，然后根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：x+1?2x-整理，得x2它是一元二次方程，一般形式為x2【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．29．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）若一元二次方程（m﹣3）x2+mx+m2﹣3m=0的常數(shù)項(xiàng)是0，求m的值．【答案】m=0【分析】根據(jù)題意得到m的一元二次方程m2﹣3m=0，且m﹣3≠0，求解方程即可.【詳解】∵一元二次方程（m﹣3）x2+mx+m2﹣3m=0的常數(shù)項(xiàng)是0，∴m2﹣3m=0，且m﹣3≠0，解得m=0，m=3（不符合題意舍）．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的定義，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意可得到m的方程，需要注意的是關(guān)于x的方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.30．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a為方程2x2-3x-1=0【答案】1【分析】將a代入方程中得2a2-3a=1，將所求代數(shù)式化簡(jiǎn)整理后，把【詳解】解：∵a為方程2x∴2a∴2a∴原式=a2【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整體代入法求代數(shù)