傅里葉變換在信號(hào)與系統(tǒng)系統(tǒng)中的應(yīng)用

./聯(lián)合大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)〔論文題題目傅里葉變換在信號(hào)與系統(tǒng)中的應(yīng)用院系理學(xué)院專(zhuān)業(yè)班級(jí)07數(shù)學(xué)一班學(xué)生姓名劉帥學(xué)生學(xué)號(hào)200710050113指導(dǎo)教師佟玉霞20XX5月24日題目傅里葉變換在信號(hào)與系統(tǒng)中的應(yīng)用專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)帥學(xué)號(hào)3主要容、基本要求、主要參考資料等主要容傅里葉變換是一種重要的變換,且在與通信相關(guān)的信號(hào)與系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用。本文主要研究傅里葉變換的基本原理；其次,掌握其在濾波,調(diào)制、解調(diào),抽樣等方面中的應(yīng)用。分析了信號(hào)在通信系統(tǒng)中的處理方法,通過(guò)傅里葉變換推導(dǎo)出信號(hào)調(diào)制解調(diào)的原理,由此引出對(duì)頻分復(fù)用通信系統(tǒng)的組成原理的介紹。基本要求通過(guò)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)一個(gè)高通濾波,低通濾波,帶通濾波。用傅里葉變換推導(dǎo)出信號(hào)調(diào)制解調(diào)的原理。通過(guò)抽樣實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)離散化,簡(jiǎn)化計(jì)算。另外利用調(diào)制的原理推導(dǎo)出通信系統(tǒng)中的時(shí)分復(fù)用和頻分復(fù)用。參考資料[1]《信號(hào)與系統(tǒng)理論、方法和應(yīng)用》徐守時(shí)著中國(guó)科技大學(xué)20XX3月修訂二版[2]《信號(hào)與系統(tǒng)》第二版上、下冊(cè)君里、應(yīng)啟珩、為理著高等教育[3]《通信系統(tǒng)》第四版SimonHaykin著宋鐵成、徐平平、徐智勇等譯連豐審校電子工業(yè)[4]《信號(hào)與系統(tǒng)—連續(xù)與離散》第四版RodgerE.Ziemer等著肖志濤等譯騰建輔審校電子工業(yè)[5]《現(xiàn)代通信原理》亞雄主編電子工業(yè)[6]《信號(hào)與系統(tǒng)》樂(lè)正友著清華大學(xué)[7]《信號(hào)與線(xiàn)性系統(tǒng)》閻鴻森、王新風(fēng)、田惠生編交通大學(xué)[8]《信號(hào)與線(xiàn)性系統(tǒng)》衛(wèi)鋼主編晶、徐琨、徐建民副主編電子科技大學(xué)[9]baike.baidu./view/191871.htm//百度百科傅里葉變換[10]《通信原理》第六版樊昌信麗娜編著國(guó)防工業(yè)[11]A．V．Oppenheim,A.S.WillskywithS.H.Nawab.Siganalsandsystems<Secondedition>.Prentice-Hall,1997.中譯：樹(shù)棠。信號(hào)與系統(tǒng)。交通工業(yè)大學(xué)完成期限指導(dǎo)教師專(zhuān)業(yè)負(fù)責(zé)人20XX11月1日目錄1.引言12.傅里葉變換12.1傅里葉變換的提出及發(fā)展12.2傅里葉變換定義22.3傅里葉變換的分類(lèi)3傅里葉變換的性質(zhì)3.傅里葉變換在濾波技術(shù)中的應(yīng)用43.1濾波的概念43.2理想選擇性濾波器43.3系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性64.傅里葉變換在調(diào)制與解調(diào)技術(shù)中的應(yīng)用74.1調(diào)制與解調(diào)的原理84.2正弦調(diào)制過(guò)程94.3相干解調(diào)105.傅里葉變換在抽樣技術(shù)中的應(yīng)用115.1理想抽樣115.2抽樣的恢復(fù)135.3零階抽樣保持146.頻分復(fù)用與時(shí)分復(fù)用177.結(jié)束語(yǔ)19參考文獻(xiàn)19.1.引言傅立葉變換是在傅立葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的。這方面的問(wèn)題也稱(chēng)為傅立葉分析。傅立葉分析的研究與應(yīng)用至今已經(jīng)歷了一百余年。1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉<J．Fourier,1768—1830>．提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦函數(shù)的原理．莫定了傅立葉變換的理論基礎(chǔ)。進(jìn)入20世紀(jì)以后。人們認(rèn)識(shí)到,在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用之中,采用頻率域<潁域>的分析方法較之經(jīng)典的時(shí)同域<時(shí)域>方法有許多突出的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)今。傅立葉分析方法已經(jīng)成為信號(hào)分析與系統(tǒng)設(shè)計(jì)不可缺少的重要工具。隨著計(jì)算機(jī)、數(shù)字集成電路技術(shù)的發(fā)展。在傅立葉變換方法中出現(xiàn)了所謂的"快速傅立葉變換"<F丌>．目前快速傅立葉變換的研究與應(yīng)用已相當(dāng)成熟,而且仍然在不斷更新與發(fā)展。傅立葉變換不僅應(yīng)用于電力工程、通信和控制領(lǐng)域之中．而且在力學(xué)、光學(xué)、量子物理和各種線(xiàn)性系統(tǒng)分析等許多有關(guān)效學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛普遍的應(yīng)用。濾波、調(diào)制和抽樣,將模擬信號(hào)數(shù)字化；對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理改善信號(hào)性能,產(chǎn)生新的較理想信號(hào)。另外通過(guò)調(diào)制,使不同頻率,不同時(shí)域信號(hào)可同時(shí)發(fā)送,從而達(dá)到節(jié)省頻帶的目的,即所謂時(shí)分復(fù)用、頻分復(fù)用。,電視等也都涉及到傅里葉的變換。傅里葉分析方法的建立經(jīng)歷了一段漫長(zhǎng)的歷史,涉及到許多人的工作和許多物理現(xiàn)象的研究。當(dāng)今傅里葉分析法已經(jīng)成為信號(hào)分析與系統(tǒng)不可缺少的重要工具。2.傅里葉變換2.1傅里葉變換的提出及發(fā)展1804年,法國(guó)科學(xué)家J.-B.-J.傅里葉由于當(dāng)時(shí)工業(yè)上處理金屬的需要,開(kāi)始從事熱流動(dòng)的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中,發(fā)展了熱流動(dòng)方程,并且指出如何求解。在求解過(guò)程中,他提出了任意周期函數(shù)都可以用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示的想法。他的這種思想,雖然缺乏嚴(yán)格的論證,但對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理、工程技術(shù)卻都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響,成為傅里葉變換的起源。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看,傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿(mǎn)足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線(xiàn)性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換通過(guò)對(duì)函數(shù)的分析來(lái)達(dá)到對(duì)復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究。最初,傅立葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解,都能夠表示為正弦函數(shù)的線(xiàn)性組合的形式,而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類(lèi)。利用這一點(diǎn),傅里葉變換可通過(guò)對(duì)相對(duì)簡(jiǎn)單的事物的研究來(lái)了解復(fù)雜事物,而且現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì)：〔1傅里葉變換是線(xiàn)性算子,若賦予適當(dāng)?shù)臄?shù),它還是酉算子?！?傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類(lèi)似?！?正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線(xiàn)性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線(xiàn)性時(shí)不變的物理系統(tǒng),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取。〔4著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段。〔5離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出<其算法稱(chēng)為快速傅里葉變換算法<FFT>>。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。2.2傅里葉變換定義若在任一有限區(qū)間上滿(mǎn)足狄利克雷條件,且在〔－∞,＋∞上絕對(duì)可積〔如下積分收斂,即：〔1則有下式的傅立葉變換成立：〔2傅里葉逆變換：〔3其中,F<ω>稱(chēng)為的象函數(shù),稱(chēng)作F<ω>的原函數(shù)。2.4傅里葉變換的分類(lèi)連續(xù)傅里葉變換：一般情況下,若"傅立葉變換"一詞的前面未加任何限定語(yǔ),則指的是"連續(xù)傅里葉變換"。"連續(xù)傅里葉變換"將平方可積的函數(shù)f<t>表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級(jí)數(shù)形式,如式3。該式其實(shí)表示的是連續(xù)傅里葉變換,即將時(shí)間域的函數(shù)f<t>表示為頻率域的函數(shù)F<ω>的積分。反過(guò)來(lái),其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)F<ω>表示為時(shí)間域的函數(shù)f<t>的積分形式。一般可稱(chēng)函數(shù)f<t>為原函數(shù),而稱(chēng)函數(shù)F<ω>為傅里葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對(duì)<transformpair>。一種對(duì)連續(xù)傅里葉變換的推廣稱(chēng)為分?jǐn)?shù)傅里葉變換〔FractionalFourierTransform。當(dāng)f<t>為奇函數(shù)<或偶函數(shù)>時(shí),其余弦<或正弦>分量將消亡,而可以稱(chēng)這時(shí)的變換為余弦轉(zhuǎn)換<cosinetransform>或正弦轉(zhuǎn)換<sinetransform>.另一個(gè)值得注意的性質(zhì)是,當(dāng)f<t>為純實(shí)函數(shù)時(shí),F<?ω>=F<ω>成立.離散傅里葉變換：為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換,必須將函數(shù)x<n>定義在離散點(diǎn)而非連續(xù)域,且須滿(mǎn)足有限性或周期性條件。這種情況下,使用離散傅里葉變換,將函數(shù)x<n>表示為下面的求和形式：〔4其中X<k>是離散傅里葉變換。直接使用這個(gè)公式計(jì)算,而快速傅里葉變換〔FFT可以將復(fù)雜度大大降低。計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法。3.傅里葉變換在濾波技術(shù)中的應(yīng)用3.1濾波的概念利用電路容抗或感抗隨頻率變化的特性,對(duì)不同頻率的輸入信號(hào)產(chǎn)生不同的響應(yīng),讓需要的某一頻率的信號(hào)順利的通過(guò),而抑制不需要的其他頻率信號(hào),這一過(guò)程即為濾波,實(shí)現(xiàn)該過(guò)程的系統(tǒng)稱(chēng)為濾波器。設(shè)濾波器的輸入,輸出,則有濾波器系統(tǒng)的輸入關(guān)系如下：<5>由時(shí)域卷積定理知,式5可轉(zhuǎn)換為<6>其中：,,由式6知,借助傅里葉變換不僅使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化,而且為從頻域上對(duì)信號(hào)進(jìn)行研究,進(jìn)行頻譜分析提供了可能。又由式6知<7>其中稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù),可完全表征系統(tǒng)的性質(zhì)和特征。因此,若已知輸入及要求的輸出,對(duì)其分別進(jìn)行傅里葉變換后,便可根據(jù)需要設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)臑V波系統(tǒng),從而滿(mǎn)足適當(dāng)?shù)貪M(mǎn)足實(shí)際需要。3.2理想選擇性濾波器理想選擇濾波的頻率特性,具有對(duì)某個(gè)頻率圍的復(fù)指數(shù)信號(hào)或正弦信號(hào)能無(wú)失真地通過(guò),在頻率圍之外則給予徹底抑制。通常把信號(hào)能通過(guò)的頻率圍稱(chēng)為濾波器的通帶,阻止信號(hào)通過(guò)的頻率圍稱(chēng)為阻帶,通帶的邊界頻率稱(chēng)為截止頻率。根據(jù)濾波器通、阻帶所處的位置不同,可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器等基本濾波器,它們是信號(hào)和系統(tǒng)分析中重要的基本系統(tǒng)。1、理想低通濾波器理想低通濾波器是指能使某頻率圍的信號(hào)無(wú)失真的通過(guò),而高于一定頻率值的信號(hào)完全抑制的濾波器,其系統(tǒng)函數(shù)為1,<8>0,其中,是理想低通濾波器的截止頻率。頻譜如圖1所示。圖1理想低通濾波器的頻譜2、理想高通濾波器理想高通濾波器與理想低通濾波器相對(duì)應(yīng),是指使高于某個(gè)頻率值的信號(hào)無(wú)失真的通過(guò)而低于該頻率的信號(hào)則完全抑制,其系統(tǒng)函數(shù)為1,<9>0,其中,是理想高通濾波器的截止頻率。頻譜如圖2所示。圖2理想高通濾波器頻譜圖3、理想帶通濾波器理想帶通濾波器是一個(gè)允許特定頻段的信號(hào)波通過(guò)同時(shí)屏蔽其他頻段的濾波器,其系統(tǒng)函數(shù)為1,〔100,或其中,稱(chēng)帶通濾波器的低通截止頻率,稱(chēng)帶通濾波器的高通截止頻率。頻率響應(yīng)如圖3。圖3理想帶通濾波器頻譜圖4、理想帶阻濾波器理想帶阻濾波器與理想帶通濾波器相對(duì)應(yīng)是指衰減或抑制某一頻率圍的信號(hào),而允許此頻率圍以外的頻率的信號(hào)通過(guò)的濾波器,其系統(tǒng)函數(shù)為0,〔111,或頻率響應(yīng)如圖4示。圖4理想帶阻濾波器頻譜圖3.3系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性為了簡(jiǎn)單,理想濾波器通常都定義成頻域上具有實(shí)的和單位幅度的頻率響應(yīng),且有零相位特性。實(shí)際上,上述所有理想濾波器的頻率響應(yīng)再乘,仍能讓處于通帶的信號(hào)無(wú)失真地通過(guò),并完全抑制通帶外的信號(hào)。根據(jù)傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì),乘線(xiàn)性相移因子,只是使信號(hào)產(chǎn)生一個(gè)時(shí)間滯后,它們?nèi)匀皇抢硐霝V波器。為了和上述的零相位理想濾波器相區(qū)別,也可把具有線(xiàn)性相位理想濾波器。但是實(shí)際上,沒(méi)有真正意義的理想濾波器。實(shí)際的濾波器無(wú)法完全過(guò)濾掉所設(shè)計(jì)的允許通過(guò)的頻率圍之外的頻率的波。例如,在理想通帶邊界有一部分頻率衰減的區(qū)域,不能完全過(guò)濾,這一曲線(xiàn)被稱(chēng)作滾降斜率<roll-off>。滾降斜率通常用dB度量來(lái)表示頻率的衰減程度。一般情況下,濾波器的設(shè)計(jì)就是使這過(guò)渡帶盡可能的窄,以便該濾波器能最大限度接近理想通帶的設(shè)計(jì)。就時(shí)域特性而言,一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)必須是因果的即它的單位沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為零。從頻域特性來(lái)看,如果滿(mǎn)足平方可積的條件,即〔12圖5實(shí)際帶通濾波器幅度特性4.傅里葉變換在調(diào)制與解調(diào)技術(shù)中的應(yīng)用在許多工程問(wèn)題中,調(diào)制與解調(diào)的概念起著十分重要的作用,并有廣泛的應(yīng)用。所謂調(diào)制就是用一個(gè)信號(hào)去控制另一個(gè)信號(hào)的某個(gè)參量,產(chǎn)生已調(diào)制信號(hào),其實(shí)質(zhì)是把各種信號(hào)的頻譜搬移,使它們互不重疊地占據(jù)不同的頻率圍。在幾乎所有實(shí)際通信系統(tǒng)中,信號(hào)從發(fā)送端到接收端,為實(shí)現(xiàn)有效、可靠和遠(yuǎn)距離的信號(hào)傳輸,都需要調(diào)制和解調(diào)。比如無(wú)線(xiàn)通信。調(diào)制過(guò)程將信號(hào)頻譜搬移到任何所需的較高頻率圍,這就容易以電磁波形式輻射出去。調(diào)制的目的是把要傳輸?shù)哪M信號(hào)或數(shù)字信號(hào)變換成適合信道傳輸?shù)男盘?hào),這就意味著把基帶信號(hào)〔信源轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)相對(duì)基帶頻率而言頻率非常高的代通信號(hào)。該信號(hào)稱(chēng)為已調(diào)信號(hào),而基帶信號(hào)稱(chēng)為調(diào)制信號(hào)。調(diào)制可以通過(guò)使高頻載波隨信號(hào)幅度的變化而改變載波的幅度、相位或者頻率來(lái)實(shí)現(xiàn)。調(diào)制過(guò)程用于通信系統(tǒng)的發(fā)端。在接收端需將已調(diào)信號(hào)還原成要傳輸?shù)脑夹盘?hào),也就是將基帶信號(hào)從載波中提取出來(lái)以便預(yù)定的接受者〔信宿處理和理解的過(guò)程。該過(guò)程稱(chēng)為解調(diào)。從另一方面講,如果不進(jìn)行調(diào)制而是把被傳送的信號(hào)直接輻射出去,那么各電臺(tái)所發(fā)出的信號(hào)頻率就會(huì)相同,它們混在一起,收信者將無(wú)法選擇所要接受的信號(hào)。解調(diào)則是相反的過(guò)程,即從已調(diào)制信號(hào)中恢復(fù)出原信號(hào),實(shí)質(zhì)是把各種信號(hào)的頻譜搬移,使它們互不重疊地占據(jù)不同的頻率圍,也即信號(hào)分別依附于不同頻率的載波上,接收機(jī)就可以分離出所需要頻率的信號(hào),不致互相干擾。4.1調(diào)制與解調(diào)的原理在無(wú)線(xiàn)電技術(shù)中,將一個(gè)稱(chēng)為載波的高頻電振蕩〔電流、電壓的參數(shù)〔振幅、頻率、相位按照欲傳輸?shù)男盘?hào)的特征變化的過(guò)程稱(chēng)為調(diào)制。低頻信號(hào)〔指欲傳輸?shù)男盘?hào)輻射效率低,不能直接用于發(fā)射,調(diào)制的目是借助于高頻電振蕩將低頻信號(hào)連帶傳送出去。不同的低頻信號(hào)可以附載在不同頻率的高頻電振蕩上同時(shí)傳送,這樣就可以充分利用無(wú)線(xiàn)電頻譜同時(shí)傳輸許多路廣播信號(hào),而且它們之間不會(huì)相互干擾。根據(jù)高頻載波的振幅、頻率或相位隨低頻信號(hào)變化的特點(diǎn),調(diào)制相應(yīng)地分為調(diào)幅、調(diào)頻或調(diào)相。此外,如果先用信號(hào)去調(diào)制脈沖序列的參數(shù)〔脈沖幅度、脈沖寬度或脈沖位置等,再用這組經(jīng)過(guò)調(diào)制的脈沖序列去調(diào)制一個(gè)高頻正弦波載波,這種調(diào)制方式稱(chēng)為脈沖調(diào)制。解調(diào)是調(diào)制的反過(guò)程,指將已調(diào)信號(hào)恢復(fù)為原始信號(hào)的過(guò)程。目前使用的解調(diào)方法有相干解調(diào)和非相干解調(diào)。這些方法能有效地解調(diào)出調(diào)制信號(hào)的全部特征〔幅度、頻率、初相位。4.2正弦調(diào)制過(guò)程載波信號(hào)為,它的傅里葉變換是F[]=[]調(diào)制信號(hào)為,其頻譜為G<>,占據(jù)-至的有限頻帶,將與進(jìn)行時(shí)域相乘便可得到已調(diào)信號(hào),如式〔14示：=對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換并由傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)得：F[]==<1/2>*[]=1/2[]由此,信號(hào)的頻譜被搬移到附近,實(shí)現(xiàn)了頻譜的搬移。頻譜搬移過(guò)程實(shí)現(xiàn)過(guò)程如圖6示：圖6調(diào)制原理方框及其頻譜4.3相干解調(diào)設(shè)信號(hào)是接收端的本地載波信號(hào),它與發(fā)送端的載波同頻同相。與相乘的結(jié)果使頻譜向左、右分別移動(dòng)<并乘以系數(shù)1/2>,得到頻譜,也可以從時(shí)域的相乘關(guān)系得到解釋?zhuān)?[]=1/2+1/2F[]==1/2+1/4[]再利用一個(gè)適當(dāng)?shù)屯V波器,濾除在頻率位附近的分量,即可取出,完成解調(diào)。解調(diào)過(guò)程如圖7示。圖7相干解調(diào)方框圖及頻譜這種解調(diào)器稱(chēng)為相干解調(diào)〔或同步解調(diào),需要在接收端產(chǎn)生與發(fā)送端頻率相同的本地載波,這將使接收機(jī)復(fù)雜化。為了在接收端省去本地載波,可采用如下方法。在發(fā)射信號(hào)中加入一定強(qiáng)度的載波信號(hào)A,這時(shí),發(fā)送端的合成信號(hào)為[A+],如果A足夠大,對(duì)于全部t,有A+>0,于是已調(diào)信號(hào)的包絡(luò)檢波器,即可提取包絡(luò),恢復(fù),不需要本地載波。此方法可降低接受機(jī)的成本,但付出的代價(jià)是要使用價(jià)格昂貴的發(fā)射機(jī),因?yàn)樾杼峁┳銐驈?qiáng)的信號(hào)A之附加功率。在此種調(diào)制方法中,載波的振幅隨信號(hào)成比例地改變,因而稱(chēng)為"振幅調(diào)制"或"調(diào)幅〔AM。也可以控制載波的頻率或相位,使它們隨信號(hào)成比例地變化,它們的原理也是使的頻譜搬移。5.傅里葉變換在抽樣技術(shù)中的應(yīng)用抽樣定理論述了在一定條件下,一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以用該信號(hào)在等時(shí)間間隔上的瞬時(shí)值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)時(shí)間信號(hào)的全部信息,利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f(shuō),抽樣定理在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)之間架起了一座橋梁。由于離散時(shí)間信號(hào)〔數(shù)字信號(hào)>的處理更為靈活、方便,在許多實(shí)際應(yīng)用〔如數(shù)字通信系統(tǒng)等,首先將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的離散信號(hào),并進(jìn)行加工處理,然后再將處理后的離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。取樣定理為連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)的互相轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。通過(guò)傅里葉變換可以知道：一定條件下,一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)或離散序列均可惟一地用其等間隔的樣本值來(lái)表示,這種表示是完全和充分的。換言之,這組等間隔的樣本值包含了原信號(hào)或序列的全部信息,且原信號(hào)可以由這組樣本值完全恢復(fù)出來(lái)。5.1理想抽樣一般地說(shuō),在沒(méi)有任何附加條件下,不能指望一個(gè)連續(xù)函數(shù)都能惟一地由其一組等間隔的樣本值來(lái)表征,因?yàn)樵诮o定的等間隔時(shí)間點(diǎn)上,有無(wú)限多個(gè)信號(hào)都可產(chǎn)生一組相同的樣本。然而,如果是帶限的連續(xù)時(shí)間信號(hào),且樣本取得足夠密,那么該信號(hào)就能惟一地由其樣本值來(lái)表征,且能從這些樣本值完全恢復(fù)出原信號(hào)。設(shè)原連續(xù)時(shí)間信號(hào)是一帶限于的連續(xù)時(shí)間帶限信號(hào),即F[]=,且=0,<18>如果抽樣間隔滿(mǎn)足：<或=>2<19>則就惟一地由其樣本值{x<n>,n=0,1,2……}所確定。抽樣脈沖信號(hào)是一沖激信號(hào),即<20>其時(shí)域波形及頻譜如圖5.1.2示。已抽樣信號(hào)也是一個(gè)沖激串,每個(gè)沖激的強(qiáng)度等于以為間隔的樣本值。即<21>它是通過(guò)圖8所示的理想抽樣來(lái)實(shí)現(xiàn)的。帶限信號(hào)與周期的沖激串相乘,便可得到已抽樣信號(hào),即<22>相乘相乘圖8理想抽樣系統(tǒng)方框圖圖9〔a中畫(huà)出了對(duì)某個(gè)理想抽樣的時(shí)域波形。利用傅里葉變換可以在頻域中直觀(guān)觀(guān)察該理想抽樣過(guò)程。圖9<b>畫(huà)出了上述過(guò)程的頻譜。抽樣脈沖信號(hào)的頻譜為<23>利用頻域卷積性質(zhì),可得的頻譜為<24>上示表明的頻譜是的周期復(fù)制并乘以〔1/。圖9〔a沖激串抽樣時(shí)的信號(hào)波形〔b相應(yīng)信號(hào)的頻譜5.2抽樣的恢復(fù)由圖9中可以看出,如果抽樣頻率不小于2,已抽樣信號(hào)的頻譜是無(wú)重疊地周期重復(fù)。只要滿(mǎn)足19式的條件,從頻域上看,如實(shí)地在抽樣頻率的整數(shù)倍頻率上重現(xiàn),因此,可以用一個(gè)低通濾波器,把從中完全恢復(fù)或重建出來(lái)。該低通濾波器的頻率響應(yīng)為,=<25>0,其中,是理想低通濾波器的截止頻率。頻率響應(yīng)如圖10所示。為討論方便,取相位特性為零,Ts是抽樣脈沖序列的周期。圖10低通濾波器H<w>的頻譜圖濾波器沖激響應(yīng)表達(dá)式為=Sa<><26>若已抽樣信號(hào)?s<t>為?s<t>=<27>利用時(shí)域卷積關(guān)系可求得輸出信號(hào),即原連續(xù)時(shí)間信號(hào)?<t>?<t>=?s<t>*=*Sa<>=<28>式28表明,連續(xù)時(shí)間信號(hào)可展開(kāi)成Sa函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)的系數(shù)等于抽樣值?<nTs>。也可以說(shuō)在抽樣信號(hào)?s<t>的每個(gè)抽樣值上畫(huà)有一個(gè)峰值為?<nTs>的Sa函數(shù)波形,由此合成的信號(hào)就是?<t>。按照線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的疊加性,?s<t>通過(guò)理想低通濾波器時(shí),抽樣序列的每個(gè)沖激信號(hào)產(chǎn)生一個(gè)響應(yīng),將這些響應(yīng)疊加就可以還原?<t>,從而達(dá)到由?s<t>恢復(fù)?<t>的目的。5.3零階抽樣保持設(shè)是原連續(xù)時(shí)間信號(hào),為抽樣脈沖序列,是已抽樣信號(hào),它們波形圖如圖11所示。在抽樣瞬間,脈沖序列對(duì)抽樣,保持這一樣本。經(jīng)傳輸?shù)竭_(dá)接收端后需要恢復(fù)出信號(hào),=〔29>=1/〔30>式中為抽樣周期,=2/是重復(fù)角頻率,是?<t>的頻譜。零階抽樣保持系統(tǒng)零階抽樣保持系統(tǒng)f<t>fsop<t>圖11零階抽樣保持框tttttTsf<t>fsop<t>fs<t>圖12零階抽樣保持波形設(shè)零階保持系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,即=u<t>-u<t-><31>其波形圖如圖13示。1fs<t>fso<t>0Tst圖13系統(tǒng)函數(shù)h〔t的波形則輸出信號(hào)可表示如下：=?s<t>*ho<t>〔32>式中的傅里葉變換式為F[]=Sa<ωTs/2>〔33由頻域關(guān)系式：=F[]=?F[]=∑F<w-n>Sa<ω/2><34>可以看出,零階抽樣保持信號(hào)的頻譜的基本特征仍然是F<w>頻譜以周期重復(fù),但是要乘上Sa<ω/2>函數(shù),還附加了延時(shí)因子項(xiàng)。當(dāng)F<w>頻帶受限且滿(mǎn)足抽樣定理時(shí),在接收端引入具有如下補(bǔ)償特性的低通濾波器/Sa<ω/2>,<|w|≤/2>Hor<w>=〔350,<|w|≥/2>圖14補(bǔ)償?shù)屯ㄌ匦运姆l特性|Hor<w>|和相頻特性曲線(xiàn)如圖14示。當(dāng)信號(hào)通過(guò)此補(bǔ)償濾波器后,即可恢復(fù)出原信號(hào)?<t>。從頻域解釋,將與Hor<w>相乘,得到F<w>。一般情況下,在通信系統(tǒng)中,只要求幅頻特性盡可能的滿(mǎn)足補(bǔ)償要求,而相頻特性只要滿(mǎn)足線(xiàn)性相移特性即可。6.頻分復(fù)用與時(shí)分復(fù)用將若干路信號(hào)以某種方式匯合,統(tǒng)一在同一信道中傳輸稱(chēng)為多路復(fù)用。復(fù)用技術(shù)已經(jīng)滲透到我們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中。像手機(jī),它能夠接受音頻、視頻等不同頻率的信號(hào),就離不了復(fù)用技術(shù)的應(yīng)用。在近代通信系統(tǒng)中普遍采用多路復(fù)用技術(shù)。多路復(fù)用技術(shù)主要有頻分復(fù)用和時(shí)分復(fù)用兩種。頻分復(fù)用是指用正弦幅度調(diào)制把各種信號(hào)的頻譜搬移,使它們互不重疊地占據(jù)不同的頻率圍,也即信號(hào)分別附載于不同頻率的載波上,這樣就可以用同一信道傳輸。在接收端利用若干濾波器就可以將各路信號(hào)分離,再經(jīng)解調(diào)即可還原為各路原始信號(hào),圖15示出頻分復(fù)用原理方框圖。通常,相加信號(hào)?<t>還要進(jìn)行第二次調(diào)制,在接受端將此信號(hào)解調(diào)后再經(jīng)帶通濾波器分路解調(diào)。時(shí)分復(fù)用的理論依據(jù)是抽樣定理。由抽樣定理可知,頻帶受限于-?m～+?m的信號(hào),可由間隔為的抽樣值惟一地確定。從這些瞬時(shí)抽樣值可以恢復(fù)原始的連續(xù)信號(hào)。因此,允許只傳送這些抽樣值,信道僅在抽樣瞬間被占用,其余的空閑時(shí)間可供傳送第二路、第三路……等各路抽樣信號(hào)使用。將各路信號(hào)的抽樣值有序地排列起來(lái)就可以實(shí)現(xiàn)時(shí)分復(fù)用,在接收端,這些抽樣信號(hào)值由適當(dāng)?shù)耐綑z測(cè)器分離。當(dāng)然,實(shí)際傳送的信號(hào)并非沖激抽樣,可以占有一段時(shí)間。圖16示出兩路抽樣信號(hào)有序地排列經(jīng)同一信道傳輸〔時(shí)分復(fù)用的波形。對(duì)于頻分復(fù)用系統(tǒng),每個(gè)信號(hào)在所有時(shí)間里都存在于信道中并混雜在一起。但是,每一信號(hào)占據(jù)著不同的頻率區(qū)間,此區(qū)間不被其他信號(hào)占用。在時(shí)分復(fù)用系統(tǒng)中,每一信號(hào)占據(jù)著不同的時(shí)間區(qū)間,此區(qū)間不被其他信號(hào)占用,但是所有信號(hào)的頻譜可以具有同一頻率區(qū)間的任何分量。從本質(zhì)上講,頻分復(fù)用信號(hào)保留了頻譜的個(gè)性,在時(shí)分復(fù)用信號(hào)中保留了波形的個(gè)性。由于信號(hào)完全由其時(shí)間域特性或完全由其頻率域特性完全確定,因此,在接收機(jī)里總是可以在相應(yīng)的域應(yīng)用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)將復(fù)用信號(hào)恢復(fù)分離。解調(diào)1解調(diào)2解調(diào)N帶通1帶通N帶通2∑調(diào)制N調(diào)制2調(diào)制1f<t>信道gN<t>發(fā)送端〔af1<t>g1<t>cos<w1t>f2<t>g2<t>解調(diào)1解調(diào)2解調(diào)N帶通1帶通N帶通2∑調(diào)制N調(diào)制2調(diào)制1f<t>信道gN<t>發(fā)送端〔af1<t>g1<t>cos<w1t>f2<t>g2<t>f<t>cos<w2t>信道fN<t>gN<t>cos<wNt><b>接收端fN<t>gN<t>