機(jī)器人動力學(xué)課件

3.1引言3.2牛頓—歐拉方程法3.3拉格朗日方程法習(xí)題動力學(xué)研究的問題：機(jī)器人各個關(guān)節(jié)的運(yùn)動與關(guān)節(jié)需要的驅(qū)動力（矩）之間的關(guān)系。正問題：已知關(guān)節(jié)運(yùn)動，求關(guān)節(jié)驅(qū)動力（矩）。逆問題：已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力（矩），求關(guān)節(jié)運(yùn)動。數(shù)學(xué)模型：關(guān)節(jié)運(yùn)動→位移、速度、加速度變化→關(guān)節(jié)驅(qū)動力（矩）→驅(qū)動力或驅(qū)動力矩→τi動力學(xué)方程：

，i=1，…，n正問題：已知

，求τi。逆問題：已知τi，求。3.1引言3.1.1靜力學(xué)分析3.1.2動力學(xué)分析l2l13.1.1靜力學(xué)分析機(jī)器人各個關(guān)節(jié)處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)負(fù)載為一重物時：關(guān)節(jié)承受的力和力矩：關(guān)節(jié)需要的驅(qū)動力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2m1=mg(l1+l2)τ1=0τ2=mgl2τ3=mg3.1引言機(jī)器人各個關(guān)節(jié)處于靜止?fàn)顟B(tài)。考慮桿件自重時：關(guān)節(jié)承受的力和力矩：關(guān)節(jié)需要的驅(qū)動力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)τ1=0τ2=mgl2τ3=mgm3gm2gm1g3.1引言3.1.1靜力學(xué)分析機(jī)器人各個關(guān)節(jié)處于運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)負(fù)載為一重物時：關(guān)節(jié)承受的力和力矩：關(guān)節(jié)需要的驅(qū)動力（矩）：3.1引言3.1.2動力學(xué)分析f3f2f1m2l2l1m1τ1τ2τ3m3牛頓—歐拉方程法原理：將機(jī)器人的每個桿件看成剛體，并確定每個桿件質(zhì)心的位置和表征其質(zhì)量分布的慣性張量矩陣。當(dāng)確定機(jī)器人坐標(biāo)系后，根據(jù)機(jī)器人關(guān)節(jié)速度和加速度，則可先由機(jī)器人機(jī)座開始向手部桿件正向遞推出每個桿件在自身坐標(biāo)系中的速度和加速度，再用牛頓——歐拉方程得到機(jī)器人每個桿件上的慣性力和慣性力矩，然后再由機(jī)器人末端關(guān)節(jié)開始向第一個關(guān)節(jié)反向遞推出機(jī)器人每個關(guān)節(jié)上承受的力和力矩，最終得到機(jī)器人每個關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動力（矩），這樣就確定了機(jī)器人關(guān)節(jié)的驅(qū)動力（矩）與關(guān)節(jié)位移、速度和加速度之間的函數(shù)關(guān)系，即建立了機(jī)器人的動力學(xué)方程。3.2牛頓—歐拉方程法牛頓—歐拉方程法遞推過程：正向遞推：已知機(jī)器人各個關(guān)節(jié)的速度和加速度→

從1～n遞推出機(jī)器人每個桿件在自身坐標(biāo)系中的速度和加速度→

機(jī)器人每個桿件質(zhì)心上的速度和加速度→

再用牛頓——歐拉方程得到機(jī)器人每個桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩。反向遞推：根據(jù)正向遞推的結(jié)果→

從n～1遞推出機(jī)器人每個關(guān)節(jié)上承受的力和力矩→

得到機(jī)器人每個關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動力（矩）。3.2牛頓—歐拉方程法3.2.1牛頓—歐拉方程3.2.2遞推計算公式3.2.3遞推算法應(yīng)用3.2牛頓—歐拉方程法3.2.1牛頓—歐拉方程1、牛頓方程→慣性力①矢量。②質(zhì)心上的線加速度。3.2牛頓—歐拉方程法2、歐拉方程→慣性力矩①矢量。②質(zhì)心上的慣性張量矩陣。3.2牛頓—歐拉方程法3.2.1牛頓—歐拉方程2、歐拉方程→慣性力矩慣性張量矩陣簡介：a.坐標(biāo)系：與桿件坐標(biāo)系同向，位于桿件質(zhì)心上。b.元素名稱：Icxx，Icyy，Iczz——慣量矩；Icxy=Icyx,Icyz=Iczy,Iczx=Icxz——慣量積。3.2牛頓—歐拉方程法3.2.1牛頓—歐拉方程2、歐拉方程→慣性力矩慣性張量矩陣計算：理論計算方法：實驗測試法：

慣量擺儀器。3.2牛頓—歐拉方程法3.2.1牛頓—歐拉方程1、正向遞推：已知機(jī)器人各個關(guān)節(jié)的速度和加速度：

①從1～n遞推出機(jī)器人每個桿件在自身坐標(biāo)系中的速度和加速度；②機(jī)器人每個桿件質(zhì)心上的速度和加速度；③機(jī)器人每個桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩。3.2.2遞推計算公式3.2牛頓—歐拉方程法1、正向遞推：（第一種桿件坐標(biāo)系）①桿件速度和加速度遞推計算公式建立相鄰兩個桿件的坐標(biāo)系：{i-1}、{i}Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式已知：i-1桿件速度和加速度i關(guān)節(jié)速度和加速度計算：i桿件速度和加速度ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式分析：I、坐標(biāo)系:相鄰桿件位姿矩陣II、關(guān)節(jié)速度和加速度的矢量化：Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式Oiii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式3.2牛頓—歐拉方程法關(guān)節(jié)iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式關(guān)節(jié)iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式關(guān)節(jié)iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式關(guān)節(jié)iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：②桿件質(zhì)心上的速度和加速度iXiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：③桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩慣性力：慣性力矩：iXiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：（第二種桿件坐標(biāo)系）①桿件速度和加速度遞推計算公式建立相鄰兩個桿件的坐標(biāo)系：{i-1}、{i}ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式已知：i-1桿件速度和加速度i關(guān)節(jié)速度和加速度計算：i桿件速度和加速度ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式分析：I、坐標(biāo)系:相鄰桿件位姿矩陣II、關(guān)節(jié)速度和加速度的矢量化：ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：②桿件質(zhì)心上的速度和加速度iXiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式1、正向遞推：③桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩慣性力：慣性力矩：iXiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式2、反向遞推：已知機(jī)器人各個桿件的慣性力和慣性力矩：①從n～1遞推出機(jī)器人每個關(guān)節(jié)承受的力和力矩；②機(jī)器人每個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力或驅(qū)動力矩。3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式2、反向遞推：（第二種桿件坐標(biāo)系）①關(guān)節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式建立相鄰兩個桿件的坐標(biāo)系：{i-1}、{i}ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式2、反向遞推：①關(guān)節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式已知：i-1桿件的慣性力和慣性力矩i關(guān)節(jié)承受的力和力矩計算：i-1關(guān)節(jié)承受的力和力矩ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式2、反向遞推：①關(guān)節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式分析：I、坐標(biāo)系:相鄰桿件位姿矩陣II、i-1桿件受力分析：ii-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式2、反向遞推：①關(guān)節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式以i-1桿件為研究對象，由達(dá)朗貝爾原理可得：i-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式2、反向遞推：①關(guān)節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式以i-1桿件為研究對象，由達(dá)朗貝爾原理可得：i-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式2、反向遞推：②關(guān)節(jié)驅(qū)動力（矩）平移關(guān)節(jié)：回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：則關(guān)節(jié)驅(qū)動力（矩）為：i-1關(guān)節(jié)iXi-1Zi-1Oi-13.2牛頓—歐拉方程法3.2.2遞推計算公式3.2.3遞推算法應(yīng)用1、遞推初始條件①正向遞推機(jī)座0的速度和加速度：*考慮桿件自重或手部負(fù)載為重物時：為描述在機(jī)座坐標(biāo)系{0}中的標(biāo)準(zhǔn)重力加速度。gx0z0o03.2牛頓—歐拉方程法1、遞推初始條件②反向遞推機(jī)器人手部負(fù)載：3.2牛頓—歐拉方程法l1l3l23.2.3遞推算法應(yīng)用2、遞推應(yīng)用條件①已知機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量及其速度和加速度；②已知任一桿件i相對于與自身坐標(biāo)系{i}方向相同的坐標(biāo)系{Ci}所描述的慣性張量及其質(zhì)心在自身坐標(biāo)系{i}中的位置矢量（可用實驗等方法確定）；③已知相鄰桿件的位姿矩陣及必要的初始數(shù)據(jù)。3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用2、遞推應(yīng)用條件第二種坐標(biāo)系下遞推算法——正向遞推:3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用2、遞推應(yīng)用條件第二種坐標(biāo)系下遞推算法反向遞推:3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用例：已知二自由度機(jī)器人如圖所示，機(jī)器人兩個桿件的長度分別為和，且其質(zhì)量和都集中在桿件的端頭。若用第二種方法建立機(jī)器人的坐標(biāo)系，當(dāng)機(jī)器人各個關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度已知時，試用牛頓——歐拉遞推算法計算各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩。θ1θ2m1m2xy關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)23.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：建立坐標(biāo)系如圖所示。相鄰桿件的位姿矩陣為：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y23.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：

(1)正向遞推已知關(guān)節(jié)速度和加速度分別為，由于考慮桿件的重量，所以機(jī)座的運(yùn)動參數(shù)（初始條件）設(shè)為：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(1)正向遞推θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推由于機(jī)器人手部無負(fù)載，所以初始條件為：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推關(guān)節(jié)2受的力：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推關(guān)節(jié)2受的力矩：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推關(guān)節(jié)2的驅(qū)動力矩：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推關(guān)節(jié)1受的力：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推整理可得關(guān)節(jié)1受的力：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推關(guān)節(jié)1受的力矩：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推關(guān)節(jié)1的驅(qū)動力矩：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用解：(2)反向遞推關(guān)節(jié)1和2的驅(qū)動力矩為：θ1θ2m1m2x0y0關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2x1x2y1y2g3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用將得到的關(guān)節(jié)驅(qū)動所需力矩簡寫為如下形式：當(dāng)機(jī)器人有n個關(guān)節(jié)時，上式可推廣為普遍形式：

3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用將上式進(jìn)一步簡化為如下所示的矩陣形式：

上式也稱為機(jī)器人的動力學(xué)模型。式中：是機(jī)器人動力學(xué)模型中的慣性力項；表示機(jī)器人操作機(jī)的質(zhì)量矩陣，它是n×n階的對稱矩陣；是n×1階矩陣，表示機(jī)器人動力學(xué)模型中非線性的耦合力項，包括離心力（自耦力）和哥氏力（互耦力）；也是n×1階矩陣，表示機(jī)器人動力學(xué)模型中的重力項。

3.2牛頓—歐拉方程法3.2.3遞推算法應(yīng)用拉格朗日方程的一般形式為：

式中，——廣義力，它可以是力，也可以是力矩；

——系統(tǒng)選定的廣義坐標(biāo)；

——廣義坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)，即速度；

——拉格朗日函數(shù)，又稱為拉格朗日算子，它被定義為系統(tǒng)的動能與勢能之差L=T-U。3.3拉格朗日方程法

對給定的機(jī)器人，可以按以下幾個步驟建立拉格朗日動力學(xué)方程：